【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：5.2 等差数列及其前n项和 Word版含解析]

[第29讲 等差数列及其前n 项和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知a ，b ，c 三个数成等差数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b 的值为( )A ．2 6 B. 6C ．5D ．102．在等差数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＋a 4＝10，a n ＝39，则n ＝( )A ．19B ．20C ．21D ．223．[2013·昆明质检] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 11＝22，则数列{a n }的公差d 为( )A ．－1B ．－13C.13D ．1 4．[2013·湖南卷] 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________．能力提升5．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．446．[2013·包头一模] 已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32C.12D.327．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94C.134D.1748．等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 259．已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14310．[2013·北京卷] 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________．11．[2013·长春一调] 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 4＝________．12．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________．13．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为________．14．(10分)[2013·福建卷] 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．15．(13分)[2013·吉林摸底] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)．(1)求a 1和a n ；(2)记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．难点突破16．(12分)[2013·丰台二模] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ＋1(n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n －n，证明：b n ≤49.课时作业(二十九)【基础热身】1．C [解析] 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c ，则b ＝12(a ＋c )＝5，故选C. 2．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝10，得a 1＋d ＋a 1＋3d ＝10，即d ＝14(10－2a 1)＝2， 由a n ＝39，得1＋2(n －1)＝39，n ＝20，故选B.3．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，11a 1＋11×102d ＝22，解得a 1＝7，d ＝－1， ∴数列{a n }的公差d ＝－1，故选A.4．25 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 4＝7，所以a 4＝a 1＋3d ⇒d ＝2， 故S 5＝5a 1＋10d ＝25.【能力提升】5．C [解析] 由S 8－S 3＝10，得a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10，因为a 4＋a 8＝a 5＋a 7＝2a 6，则5a 6＝10，即a 6＝2，∴S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11·2a 62＝22，故选C. 6．A [解析] 由已知得a 5＝2π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝4π3，则cos(a 2＋a 8)＝－12，故选A. 7．C [解析] 由已知，得，⎩⎨⎧8a 1＋8×72d ＝30，4a 1＋4×32d ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋14d ＝15，4a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，d ＝1， 则a 4＝a 1＋3d ＝134，故选C. 8．B [解析] 因为a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝…＝a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝20，故选B.9．A [解析] 因为{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝55，得a 1＋a 5＝22，所以2a 3＝22，a 3＝11，所以k PQ ＝a 4－a 34－3＝4.故选A. 10．1 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得，a 1＝a 3－a 2＝d ＝12，所以a 2＝2d ＝2×12＝1. 11．7 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝25，a 1＋d ＝3，解得d ＝2，∴a 4＝a 2＋2d ＝7. 12．105 [解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝15，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝80， 即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝5－a 1，a 1（a 1＋2d ）＝16，消去d ，得 a 21－10a 1＋16＝0，解得a 1＝2或a 1＝8.当a 1＝2时，d ＝3，a 11＋a 12＋a 13＝a 1＋10d ＋a 1＋11d ＋a 1＋12d ＝3a 1＋33d ＝105； 当a 1＝8时，d ＝－3，不符合题意，舍去．13．20 [解析] 方法一：由对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，知S k 是S n 的最大值． 由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝2a 4，a 2＋a 8＝2a 5，代入已知条件，得 a 4＝33，a 5＝31，则公差d ＝a 5－a 4＝－2，a 1＝33－3d ＝39，∴S n ＝39n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400， 则当n ＝20时，S n 有最大值，故k 的值为20. 方法二：由题设对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，知求k 的值即求S n 最大时的项数n . 由等差数列的性质，有a 1＋a 7＝2a 4， a 2＋a 8＝2a 5，代入已知条件，得 a 4＝33，a 5＝31，则公差d ＝a 5－a 4＝－2，a 1＝33－3d ＝39， ∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧41－2n ≥0，41－2（n ＋1）<0，解得19.5<n ≤20.5， ∴当n ＝20时，S n 取得最大值，故k ＝n ＝20.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2. 进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．15．解：(1)∵S n ＝10n －n 2，∴a 1＝S 1＝10－1＝9. ∵S n ＝10n －n 2，当n ≥2，n ∈N *时，S n －1＝10(n －1)－(n －1)2＝10n －n 2＋2n －11， ∴a n ＝S n －S n －1＝(10n －n 2)－(10n －n 2＋2n －11) ＝－2n ＋11.又n ＝1时，a 1＝9＝－2×1＋11，符合上式． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)．(2)∵a n ＝－2n ＋11，∴b n ＝|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋11（n ≤5），2n －11（n >5）， 设数列{b n }的前n 项和为T n ，当n ≤5时，T n ＝n （9－2n ＋11）2＝10n －n 2； 当n >5时，T n ＝T 5＋（n －5）（b 6＋b n ）2＝25＋（n －5）（1＋2n －11）2＝25＋(n －5)2＝n 2－10n ＋50，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2（n ≤5，n ∈N *），n 2－10n ＋50（n >5，n ∈N *）. 【难点突破】16．解：(1)因为a 1＝4，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ＋1， 所以a 2＝a 1＋p ·31＋1＝3p ＋5；a 3＝a 2＋p ·32＋1＝12p ＋6. 因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列，所以2(a 2＋6)＝a 1＋a 3，即6p ＋10＋12＝4＋12p ＋6，所以p ＝2.依题意，a n ＋1＝a n ＋2·3n ＋1，所以当n ≥2时，a 2－a 1＝2·31＋1，a 3－a 2＝2·32＋1，…a n －1－a n －2＝2·3n －2＋1，a n －a n －1＝2·3n －1＋1.相加得a n －a 1＝2(3n －1＋3n －2＋…＋32＋3)＋n －1，所以a n －a 1＝2×3（1－3n －1）1－3＋(n －1)， 所以a n ＝3n ＋n .当n ＝1时，a 1＝31＋1＝4成立，所以a n ＝3n ＋n .(2)证明：因为a n ＝3n ＋n ，所以b n ＝n 2（3n ＋n ）－n ＝n 23n . 因为b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13n ＋1(n ∈N *)．若－2n 2＋2n ＋1<0，则n >1＋32，即n ≥2时b n ＋1<b n . 又因为b 1＝13，b 2＝49，所以b n ≤49.。

第二节等差数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.1.以选择题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用，如2012年某某T6，T10，某某T12等．2.以解答题的形式考查等差数列的概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质等，如2012年某某T17等.[归纳·知识整合]1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为a n－a n－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.亦可以用数列中的第m项a m与公差d表示为a n＝a m＋(n－m)d.[探究] 1.已知等差数列{a n}的第m项为a m，公差为d，则其第n项a n能否用a m与d表示？提示：能，a n＝a m＋(n－m)d.3．等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2.4．等差数列的前n项和公式S n＝na1＋n n－12d＝n a1＋a n2.[探究] 2.等差数列前n 项和公式的推导运用了什么方法？ 提示：倒序相加法．3．等差数列前n 项和公式能否看作关于n 的函数，该函数是否有最值？提示：当d ≠0时，S n 是关于n 的且常数项为0的二次函数，则(n ，S n )是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．5．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ， 特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．[自测·牛刀小试]1．(2012·某某高考)在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：选B 数列{a n }的公差d ＝5－12＝2，则a 1＝－1，a 5＝7，可得S 5＝15.2．(2012·某某高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选B 因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝88.3．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＝15，a 7＝15，则a 2的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．2解析：选B 由题意知，a 2＋a 7＝a 4＋a 5，所以a 2＝a 4＋a 5－a 7＝0.4．(教材习题改编)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________．解析：∵a 2－a 1＝14(y －x )，b 2－b 1＝13(y －x )，∴a 2－a 1b 2－b 1＝34.答案：345．(教材习题改编)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：两个等差数列的公共项为2,14,26，…即新数列的首项为2，公差为12. 故a n ＝2＋(n －1)×12＝12n －10. 答案：12n －10等差数列的判定与证明[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .[自主解答] (1)证明： ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，①∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1. 由上式，若S n －1≠0，则S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n＝1，－12n n －1，n≥2.若将条件改为“a1＝2，S n＝S n－12S n－1＋1(n≥2)”，如何求解．解：(1)证明：∵S n＝S n－12S n－1＋1，∴1S n＝2S n－1＋1S n－1＝1S n－1＋2.∴1S n－1S n－1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝12＋(n－1)×2＝2n－32，即S n＝12n－32.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝12n－32－12n－72＝－2⎝⎛⎭⎪⎫2n－32⎝⎛⎭⎪⎫2n－72；当n＝1时，a1＝2不适合a n，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＝1，－2⎝⎛⎭⎪⎫2n－32⎝⎛⎭⎪⎫2n－72n≥2.———————————————————等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解：(1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1 ＝a na n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a n －1＝－52， ∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．故当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.等差数列基本量的计算[例2] (1)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．7(2)(2012·某某高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. (3)(2012·高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.[自主解答] (1)两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－34)＝1.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝a 1＋d 2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，1＋2d ＝1＋d2－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝±2.由于等差数列{a n }是递增的等差数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(3)设等差数列的公差为d ，则2a 1＋d ＝a 1＋2d ，把a 1＝12代入得d ＝12，所以a 2＝a 1＋d＝1，S n ＝na 1＋n n －12d ＝14n (n ＋1)．[答案] (1)B (2)2n －1 (3)1 n n ＋14———————————————————等差数列运算问题的通法等差数列的通项公式及前n 项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组求解，体现了用方程思想解决问题的方法．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．2．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1，n ∈N *)． 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3， 解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果.等差数列前n 项和的最值[例3] 已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22， (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项和最大，并求出这个最大值． [自主解答] (1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31，∴d ＝－2. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由(1)知，⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋n －1·－2＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·－2＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.若将“a 1＝31，S 10＝S 22”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值时，S n 取得最大值？ 解：法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，解得d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二：同法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130.——————————————————— 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值X 围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中，哪一个最大，并说明理由． 解：(1)设数列首项为a 1，公差为d ，由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋12×12×12－1d >0，S13＝13a 1＋12×13×13－1d <0.将a 1＝a 3－2d ＝12－2d 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，即－247<d <－3.(2)法一：S n ＝na 1＋n n －12d ＝(12－2d )n ＋n n －12d ＝d2n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫52d －12n ，其中－247<d <－3.由二次函数知识可得S 6最大．法二：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －3)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋n －3d ≥0，12＋n －2d ≤0.∴－12d ＋2≤n ≤－12d ＋3.而－247<d <－3， ∴112<n <7.∴n ＝6. ∴前6项和S 6最大．法三：由S 13＝13a 7<0，S 12＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 7<0，a 6>0.∴前6项和S 6最大．等差数列性质的应用[例4] (1)(2013·江门模拟)等差数列{a n }前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( )A ．3B ．6C ．17D ．51(2)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144 D ．297[自主解答] (1)由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.(2)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.[答案] (1)A (2)B ———————————————————在等差数列有关计算问题中，结合整体思想，灵活应用性质，可以减少运算量，达到事半功倍的效果.4．(1)(2013·某某四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600(2)(2012·某某高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析：(1)选B 依题意得3(a 1＋a 20)＝90，即a 1＋a 20＝30，数列{a n }的前20项的和等于20a 1＋a 202＝300.(2)法一：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7.所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.法二：∵2a 3＝a 1＋a 5,2b 3＝b 1＋b 5， ∴a 5＋b 5＝2(a 3＋b 3)－(a 1＋b 1) ＝2×21－7＝35. 答案：351个技巧——利用等差数列的性质妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2种选择——等差数列前n 项和公式的选择等差数列前n 项和公式有两个，如果已知项数n 、首项a 1和第n 项a n ，则利用S n ＝n a 1＋a n2，该公式经常和等差数列的性质结合应用．如果已知项数n 、首项a 1和公差d ，则利用S n ＝na 1＋n n －1d2，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用．3个结论——等差数列前n 项和S n 的几个结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n. (3)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .4种方法——等差数列的判断方法①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法.数学思想——整体思想在数列中的应用利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少数列题，其首项、公差无法确定或计算繁琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[典例] (2013·某某模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )则它的前m ＋n 项的和S m ＋n ＝________.[解析] 法一：设{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋nn －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋mm －12d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －12d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．法二：设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m ， ④③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m . ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1. ∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )， 即S m ＋n ＝－(m ＋n )． [答案] －(m ＋n ) [题后悟道]1．本题的两种解法都突出了整体思想，其中法一把a 1＋m ＋n －12d 看成了一个整体，法二把A (m ＋n )＋B 看成了一个整体，解起来都很方便．2．整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征．3．本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误．[变式训练]1．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n＝( )A.23B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4解析：选Ba nb n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －1＝22n －132n －1＋1＝2n －13n －1. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知其前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n >6)，求该数列的项数n 及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＋a n －5＝180，∴6(a 1＋a n )＝36＋180＝216. ∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝324，∴n a 1＋a n2＝324，即n ＝2×32436＝18.∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是( ) A ．4 B ．14 C ．－4 D ．－14解析：选A 因为a 3＋a 9＝4a 5，所以根据等差数列的性质可得a 6＝2a 5.所以a 1＋5d ＝2a 1＋8d ，即a 1＋3d ＝0.又a 2＝－8，即a 1＋d ＝－8，所以公差d ＝4.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝a ，则a 2＋a 9＋a 16等于( ) A.a17B.4a 17 C.3a 17D ．－3a 17解析：选C ∵S 17＝a 1＋a 17×172＝a ，∴17a 9＝a ，a 9＝a 17.∴a 2＋a 9＋a 16＝3a 9＝3a 17.3．(2013·某某模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选D 依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5.4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：选B ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n >0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.94B.32 C.53D ．4 解析：选A 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.6．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }中a 1＝1，前n 项和S n 满足S 4S 2＝4，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设公差为d ，则由S 4S 2＝4得4a 1＋6d2a 1＋d＝4.又∵a 1＝1，∴d ＝2. ∴S n ＝na 1＋n n －1d2＝n ＋n (n －1)＝n 2.答案：n 28．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n >1且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0. ∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2013·某某模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012·(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011<a 2；④S 2 011<S 2.解析：由f (x )＝x 3＋2 012 x 为奇函数，f ′(x )＝3x 2＋2 012>0，f (1)＝2 013>1知f (1)>f (a 2－1)，故a 2－1<1即a 2<2又f (a 2－1)＝－f (a 2 011－1)＝1，故a 2 011<a 2，a 2－1＝(a 2 011－1)即a 2＋a 2 011＝2，S 2 012＝a 1＋a 2 0122×2 012＝2 012，S 2 011＝S 2 012－a 2 012＝2 012－(2－a 2＋d )＝2 010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，又假设S 2 011＝2 011，则a 1＝1，a 2 011＝1矛盾．综上，正确的为②③. 答案：②③三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值X 围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7.所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值X 围为d ≤－22或d ≥2 2.11．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.故a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n＝S nn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2n⎝⎛⎭⎪⎫n－12n＋c.∵c≠0，∴可令c＝－12，得到b n＝2n.∵b n＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{b n}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{b n}也为等差数列．12．已知S n是数列{a n}的前n项和，S n满足关系式2S n＝S n－1－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＋2(n≥2，n为正整数)，a1＝12.(1)令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求S n的取值X围．解：(1)由2S n＝S n－1－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＋2，得2Sn＋1＝S n－⎝⎛⎭⎪⎫12n＋2，两式相减得2an＋1＝a n＋⎝⎛⎭⎪⎫12n，上式两边同乘以2n得2n＋1a n＋1＝2n a n＋1，即b n＋1＝b n＋1，所以b n＋1－b n＝1，故数列{b n}是等差数列，且公差为1.又因为b1＝2a1＝1，所以b n＝1＋(n－1)×1＝n.因此2n a n＝n，从而a n＝n·⎝⎛⎭⎪⎫12n.(2)由于2S n＝S n－1－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＋2，所以2Sn－S n－1＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1，即Sn＋a n＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1.S n＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－an，而a n＝n·⎝⎛⎭⎪⎫12n，所以Sn＝2－⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－n·⎝⎛⎭⎪⎫12n＝2－(n＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫12n.所以S n＋1＝2－(n＋3)·⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1，且Sn＋1－S n＝n＋12n＋1＞0.所以S n≥S1＝12，又因为在S n＝2－(n＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫12n中，(n＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫12n＞0，故Sn＜2，即S n的取值X围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2.1．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{a n＋1－a n}是等差数列．解：(1)a n＋1－a n＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{a n}是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0时，数列{a n }是等差数列． (2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数， ∴{a n ＋1－a n }是等差数列．2．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列， 故a 22＝a 1a 4.而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d .于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d ，化简得a 1＝d . (2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110， 故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1,2,3，…)． 3．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于多少？解：由已知得，{a n }是首项为正，公差为负的递减等差数列． 由a 11a 10<－1得a 10＋a 11<0且a 10>0，a 11<0， ∴S 20＝20a 1＋a 202＝20a 10＋a 112＝10(a 10＋a 11)<0.而S 19＝19a 10>0， ∴S n 取最小正值时n ＝19.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n ， 又a 1＝S 1＝4，故a n ＝4n .当n ≥2时，由b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1，得b n ＝12b n －1，又T 1＝2－b 1，即b 1＝1，故b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝21－n.。

第5章 第2节[ 课时作业1．(2011·江西高考)设{an}为等差数列，公差d ＝－2，Sn 为其前n 项和．若S10＝S11，则a1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24【解析】 因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d ，所以a1＝20. 【答案】 B 2．(2010·全国大纲高考)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【解析】 ∵{an}为等差数列， a3＋a4＋a5＝12， ∴a3＋a4＋a5＝(a3＋a5)＋a4＝3a4＝12.∴a4＝4. a1＋a2＋…＋a7＝＋2＝7×2a42＝7×2×42＝28.【答案】 C3．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( ) ①{an ＋3}；②{a2n}；③{an ＋1－an}；④{2an}；⑤{2an ＋n}． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 {an}为等差数列，则由其定义可知①，③，④，⑤仍然是等差数列，故选D. 【答案】 D4．设等差数列{an}的前n 项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d ＝2，所以Sn ＝－11n ＋n(n －1)＝n2－12n ＝(n －6)2－36，因此当Sn 取得最小值时，n ＝6. 【答案】 A5．(2012·淄博一中高三阶段检测)数列{an}满足a1＝1，a2＝12，并且an(an －1＋an ＋1)＝2an ＋1an －1(n≥2)，则数列的第2012项为( ) A.12100 B.122012 C.12012 D.1100【解析】 ∵an(an －1＋an ＋1)＝2an ＋1an －1，∴1an －1＋1an ＋1＝2an ，∴1an 是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1an ＝1＋(n －1)＝n ，∴an ＝1n ，∴a2012＝12012. 【答案】 C6．在等差数列{an}中，前n 项和是Sn ，若S15＞0，S16＜0，则在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是( ) A.S1a1 B.S8a8 C.S9a9D.S15a15【解析】 由于S15＝＋2＝15a8＞0，S16＝＋2＝8(a8＋a9)＜0，所以可得a8＞0，a9＜0，这样S1a1＞0，S2a2＞0，…，S8a8＞0，S9a9＜0，S10a10＜0，…，S15a15＜0，而S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8， 所以在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是S8a8.【答案】 B 二、填空题 7．(文)(2012·江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.【解析】 两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35. 【答案】 35(理)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26.记Tn ＝Snn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，Tn≤M 都成立，则M 的最小值是________． 【解析】 ∵{an}为等差数列，由a4－a2＝8， a3＋a5＝26，可解得Sn ＝2n2－n ，∴Tn ＝2－1n ，若Tn≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需Tn 的最大值≤M 即可．又Tn ＝2－1n <2， ∴只需2≤M ，故M 的最小值是2. 【答案】 28．已知数列{an}满足递推关系式an ＋1＝2an ＋2n －1(n ∈N*)，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________．【解析】 由an ＋1＝2an ＋2n －1，可得an ＋12n ＋1＝an 2n ＋12－12n ＋1，则an ＋1＋λ2n ＋1－an ＋λ2n ＝an ＋12n ＋1－an 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an －12n 是公差为12的等差数列．【答案】 －19．(文)在等差数列{an}中，若a1＜0，S9＝S12，则当n 等于________时，Sn 取得最小值． 【解析】 设数列{an}的公差为d ，则由题意得 9a1＋12×9×(9－1)d ＝12a1＋12×12×(12－1)d ， 即3a1＝－30d ，∴a1＝－10d. ∵a1＜0，∴d ＞0.∴Sn ＝na1＋12n(n －1)d ＝12dn2－212dn ＝d 2(n －212)2－441d 8.∴Sn 有最小值，又n ∈N*，∴n ＝10，或n ＝11时，Sn 取最小值． 【答案】 10或11(理)若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn ＝an·an ＋1·an ＋2(n ∈N*)，{bn}的前n 项和用Sn 表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n 等于________时，Sn 取得最大值． 【解析】 (先判断数列{an}中正的项与负的项) ∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0， 解得a5＝－565d ＞0，∴d ＜0，∴a1＝－765d ， 故{an}是首项为正数的递减数列．由⎩⎪⎨⎪⎧an≥0an ＋1≤0⇒⎩⎨⎧－765d ＋－－765d ＋nd≤0⇒1515≤n≤1615，∴n ＝16.∴a16>0，a17<0，a18<0，a19<0， ∴n ＝16时，Sn 取得最大值． 【答案】 16 三、解答题10．已知数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn ，且满足2Sn ＝a2n ＋n －4. (1)求证{an}为等差数列； (2)求{an}的通项公式．【解】 (1)证明：当n ＝1时，有2a1＝a21＋1－4， 即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)． 当n≥2时，有2Sn －1＝a2n －1＋n －5， 又2Sn ＝a2n ＋n －4， 两式相减得2an ＝a2n －a2n －1＋1， 即a2n －2an ＋1＝a2n －1，也即(an －1)2＝a2n －1， 因此an －1＝an －1或an －1＝－an －1.若an －1＝－an －1，则an ＋an －1＝1，而a1＝3， 所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an －1＝an －1，即an －an －1＝1， 因此{an}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，d ＝1，所以数列{an}的通项公式an ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即an ＝n ＋2. 11．等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n 项和Sn. 【解】 (1)设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得8＝a1q2,64＝a1q5，解得q ＝2，a1＝2. 所以an ＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b1＋2d ＝8，b1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝－16.d ＝12.从而bn ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{bn}的前n 项和Sn ＝－16＋12n －2＝6n2－22n.12．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an ；(2)若数列{bn}满足bn ＝Snn ＋c ，是否存在非零实数c 使得{bn}为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质得，a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d ＝4，故通项为an ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知Sn ＝＋4n －2＝2n2－n ，所以bn ＝Sn n ＋c ＝2n2－nn ＋c.法一：所以b1＝11＋c ，b2＝62＋c ，b3＝153＋c (c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c ＝－12. 当c ＝－12时，bn ＝2n2－n n －12＝2n ，当n≥2时，bn －bn －1＝2.故当c ＝－12时，数列{bn}为等差数列． 法二：当n≥2时， bn －bn －1＝2n2－nn ＋c －－－－n －1＋c＝2n2＋－－3c n2＋－＋－，欲使{bn}为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c(c －1)(c≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{bn}为等差数列．四、选做题 13．(2011·湖北高考)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a1＝a(a≠0)，an ＋1＝rSn(n ∈N*，r ∈R ，r≠－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在k ∈N*，使得Sk ＋1，Sk ，Sk ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N*且m≥2，am ＋1，am ，am ＋2是否成等差数列，并证明你的结论． 【解】 (1)由已知an ＋1＝rSn ，可得an ＋2＝rSn ＋1， 两式相减可得an ＋2－an ＋1＝r(Sn ＋1－Sn)＝ran ＋1， 即an ＋2＝(r ＋1)an ＋1.又a2＝ra1＝ra ，所以当r ＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…； 当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n ∈N*)， 于是由an ＋2＝(r ＋1)an ＋1，可得an ＋2an ＋1＝r ＋1(n ∈N*)，∴a2，a3，…，an ，…成等比数列， ∴当n≥2时，an ＝r(r ＋1)n －2a.综上，数列{an}的通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，＋－2a ，n≥2.(2)对于任意的m ∈N*，且m≥2，am ＋1，am ，am ＋2成等差数列．证明如下：当r ＝0时，由(1)知，an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，0，n≥2.∴对于任意的m ∈N*且m≥2，am ＋1，am ，am ＋2成等差数列；当r≠0，r≠－1时，∵Sk ＋2＝Sk ＋ak ＋1＋ak ＋2，Sk ＋1＝Sk ＋ak ＋1， 若存在k ∈N*，使得Sk ＋1，Sk ，Sk ＋2成等差数列， 则Sk ＋1＋Sk ＋2＝2Sk ，∴2Sk ＋2ak ＋1＋ak ＋2＝2Sk ，即ak ＋2＝－2ak ＋1. 由(1)知，a2，a3，…，am ，…的公比r ＋1＝－2，于是对于任意的m ∈N*且m≥2，am ＋1＝－2am ，从而am ＋2＝4am ， ∴am ＋1＋am ＋2＝2am ，即am ＋1，am ，am ＋2成等差数列．综上，对于任意的m ∈N*，且m≥2，am ＋1，am ，am ＋2成等差数列．。

第二节 等差数列及其前n 项和 等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数的关系．知识点一 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．易误提醒1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：72知识点二 等差数列的通项及求和公式 等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 必记结论1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．2．前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：设等差数列公差为d ，则有a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由S 8＝8×(a 1＋a 8)2，又a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝18，∴S 8＝8×182＝72.答案：D5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0， 所以S 5a 5＝5a 1＋5×42da 1＋4d ＝5a 1＋10d a 1＋4d ＝155＝3.答案：3考点一 等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：法一：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝5(a 1＋2d )＝5.法二：数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d 为________．解析：∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. 答案：12 0153．(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝－2，公差d ＝－2，那么数列{a n }的前5项和S 5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S 5＝5(a 2－d )＋5×42d ＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．考点三 等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18＝( )A ．20B ．60C ．90D ．100[解析] 因为{a n }是等差数列，所以S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 5＋a 14)＝90，故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] 本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10,2n ＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值． [解] ①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)， 解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．2．(2015·深圳调研)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝18，则a 8＝________.解析：等差数列性质可得S 3＝3，S 6－S 3＝15，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8成等差数列，故有2(S 6－S 3)＝S 3＋S 9－S 6⇒2×15＝3＋3a 8，解得a 8＝9.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94B.32C.53D ．4[思路点拨] 若利用a ，d 基本计算较繁，可考虑S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－S 20＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60. 答案：60A 组 考点能力演练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n＝n2n －1. 答案：n2n －18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1， ∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2)，② ①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝12，故λ>12.B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B. 答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B.答案：B3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0解析：若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：因为a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列，所以前9项和S 9＝9＋9×82×12＝27. 答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92， 即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32， 解得a 1＝1，d ＝12， 故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

第五篇 第2节一、选择题1．(2014唐山二模)在等差数列{a n }中，2a 4＋a 7＝3，则数列{a n }的前9项和等于( )A ．9B ．6C ．3D ．12解析：设等差数列{a n }公差为d ，∵2a 4＋a 7＝3，∴2(a 1＋3d )＋a 1＋6d ＝3，整理得a 1＋4d ＝1，即a 5＝1.∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9.故选A. 答案：A2．(2012年高考福建卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2，故选B.答案：B3．(2014云南省昆明一中测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35 C.65 D.35 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －(6a 1＋15d )＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.故选D. 答案：D4．(2014山东省烟台市莱州一中质量检测)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：由c n ∥b n 得，na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n， 所以数列a n n是常数列，所以a n ＝na 1， 故数列{a n }是等差数列，故选D.答案：D5．(2014云南师大附中高考适应性训练)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－9，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取得最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝2，∴a 6＝－1，a 7＝1，∴S 6最小．故选D.答案：D6．(2014云南省玉溪一中第四次月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( ) A.S 6a 6B.S 7a 7C.S 9a 9D.S 8a 8解析：由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，得a 8>0. 由S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16(a 9＋a 8)2<0， 得a 9＋a 8<0，所以a 9<0，且d <0.所以数列{a n }为递减数列且a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15>0，则S 6a 6>0，S 7a 7>0，S 8a 8>0，S 9a 9<0， 又S 8>S 7>S 6，a 8<a 7<a 6，则S 6a 6<S 7a 7<S 8a 8， 所以最大的项为S 8a 8，故选D. 答案：D二、填空题7．(2014吉林高三期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，则a 4＋a 5＋a 6＝________.解析：法一 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，n ＝1，a 1＝3也符合公式．所以数列{a n }是等差数列．所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3×11＝33.法二 a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝33.答案：338．(2014黑龙江省哈师大附中高考模拟)等差数列{a n }满足a 3＝3，a 6＝－3，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：法一 由a 3＝3，a 6＝－3得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋8n ＝－(n －4)2＋16. ∴当n ＝4时S n 有最大值16. 法二 由a 3＝3，a 6＝－3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a n ＝9－2n . 则n ≤4时，a n >0，当n ≥5时，a n <0，故前4项和最大且S 4＝4×7＋4×32×(－2)＝16. 答案：169．由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n b n ＝2n －13n －1，则S 5T 5＝________.解析：由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3， T 5＝5(b 1＋b 5)2＝5b 3，得S 5T 5＝a 3b 3＝2×3－13×3－1＝58. 答案：5810．(2014浙江模拟)数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若数列a n ＋λ2n 为等差数列，则λ＝________.解析：n ≥2时，a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝a n －2a n －1－λ2n ， ∵a n ＝2a n －1＋2n －1，∴a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝2n －1－λ2n ＝1－1＋λ2n . 又∵数列a n ＋λ2n 为等差数列． ∴1－1＋λ2n 为常数．∴λ＝－1. 答案：－1三、解答题11．(2014贵州省贵阳市高三适应性检测)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，则数列{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0，(舍去)． 所以a n ＝3n －2.(2)数列{b n }的最小项是第4项，因为S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2， 所以b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n－1≥23n ·48n －1 ＝23， 当且仅当3n ＝48n， 即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4.∴通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. ∴当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12或c ＝0(舍去)， 故c ＝－12.。

第五章 数列第2课时 等 差 数 列第六章 (对应学生用书(文)、(理)72～73页)1. (必修5P 58习题2改编)在等差数列{a n }中，a 1＝2，d ＝3，则a 6＝________． 答案：17解析：a 6＝a 1＋(6－1)d ＝17.2. (必修5P 44习题6改编)在等差数列{a n }中 (1) 已知a 4＋a 14＝2，则S 17＝________； (2) 已知a 11＝10，则S 21＝________； (3) 已知S 11＝55，则a 6＝________；(4) 已知S 8＝100，S 16＝392，则S 24＝________． 答案：(1) 17 (2) 210 (3) 5 (4) 876 解析：(1) S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17（a 4＋a 14）2＝17.(2) S 21＝21（a 1＋a 21）2＝21×2a 112＝210.(3) S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝55，∴ a 6＝5.(4) S 8，S 16－S 8，S 24－S 16成等差数列，∴ 100＋S 24－392＝2(392－100)，∴ S 24＝876.3. (必修5P 44习题7改编)在等差数列{a n }中，S 12＝354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________． 答案：5解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227，∴ S 奇＝162，S 偶＝192，∴ 6d ＝30，d ＝5.4. (必修5P 44习题10改编)已知数列{a n }为等差数列，若a 1＝－3，11a 5＝5a 8，则使前n项和S n 取最小值的n ＝________． 答案：2解析：∵ a 1＝－3，11a 5＝5a 8，∴ d ＝2，∴ S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴ 当n ＝2时，S n 最小．1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2) 符号语言：a n ＋1－a n ＝d(n∈N)． 2. 等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 推广：a n ＝a m ＋(n －m)d. 3. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 和b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2．4. 等差数列的前n 项和公式 (1) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．(2) S n ＝n （a 1＋a n ）2．5. 等差数列的性质(1) 等差数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．(2) 等差数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝a m ＋(n －m)d(n 、m∈N *)．(3) 等差数列{a n }中依次每m 项的和仍成等差数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等差数列．[备课札记]题型1 数列中的基本量的计算例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9. (1) 求首项a 1和公差d 的值； (2) 若S n ＝100，求n 的值．解：(1) 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2.(2) 由S n ＝na 1＋n （n －1）2×d ＝100，得n 2＝100，解得n ＝10或－10(舍)，所以n ＝10.变式训练设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝－62，S 6 ＝－75，求： (1) {a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ；(2) |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|.解：(1) 设等差数列首项为a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－62，6a 1＋15d ＝－75，解得a 1＝－20，d ＝3.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －23，S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝n （－20＋3n －23）2＝32n 2－432n.(2) ∵ a 1＝－20，d ＝3，∴ {a n }的项随着n 的增大而增大．设a k ≤0且a k ＋1≥0得3k －23≤0，且3(k ＋1)－23≥0， ∴ 203≤k ≤233(k∈Z )，故k ＝7.即当n≤7时，a n <0；当n≥8时，a n >0.∴ |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＋(a 8＋a 9＋…＋a 14)＝S 14－2S 7＝147. 题型2 判断或证明一个数列是否是等差数列例2 已知等差数列{a n }中，公差d>0，其前n 项和为S n ，且满足a 2·a 3＝45, a 1＋a 4＝14. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设由b n ＝S n n ＋c (c≠0)构成的新数列为{b n }，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．(1) 解：∵ 等差数列{a n }中，公差d>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝45a 1＋a 4＝14 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝45a 2＋a 3＝14 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9 d ＝4 a n ＝4n －3.(2) 证明：S n ＝n （1＋4n －3）2＝n(2n －1)，b n ＝S n n ＋c ＝n （2n －1）n ＋c .由2b 2＝b 1＋b 3，得122＋c ＝11＋c ＋153＋c， 化简得2c 2＋c ＝0，c ≠0，∴ c ＝－12.反之，令c ＝－12，即得b n ＝2n ，显然数列{b n }为等差数列，∴ 当且仅当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n≥2)，a 1＝12.(1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2) 求a n 的表达式．(1) 证明：等式两边同除以S n S n －1，得1S n －1－1S n ＋2＝0，即1S n －1S n －1＝2(n≥2)．∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列． (2) 解：由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴ S n ＝12n ，当n≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1）.又a 1＝12，不适合上式，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，12n （1－n ），n ≥2.题型3 等差数列的性质例3 (1) 已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝________．(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 答案：(1) 8 (2) 45解析：(1) 由等差数列性质，知a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴ a 8＝8.∴ m＝8.(2) 由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴ 2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∴ a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45. 备选变式（教师专享）(1) 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝________；(2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为________．答案：(1) 15 (2) 405解析：(1) 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2，S 9＝5，知⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋6×52d ＝2，9a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－127，d ＝427，∴S15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D＝227， ∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. (2) S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405.题型4 等差数列中的最值问题例4 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且满足a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝2S n ＋48n，则数列{b n }的最小项是第几项，并求该项的值．解：(1) 设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝14，7a 1＋21d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，∴ a n ＝3n －2.(2) S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2，b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号．∴ {b n }最小项是第4项，该项的值为23.备选变式（教师专享）已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1) 求S n ；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1) ∵ S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，S 10＝S 22，∴ a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，12（a 11＋a 22）2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31，∴ d ＝－2，∴ S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝31n －n(n －1)＝32n －n 2.(2) 解法1：由(1)知S n ＝32n －n 2，∴ 当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.解法2：由S n ＝32n －n 2＝n(32－n)，欲使S n 有最大值，应有1<n<32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1. (2013·重庆)若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________． 答案：72解析：由9＝2＋4d 得d ＝74，则c －a ＝2d ＝72.2. (2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．答案：20解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.3. (2013·安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 答案：－6解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×72d ＝4（a 1＋2d ），a 1＋6d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝－2，故a 9＝10＋8×(－2)＝－6.4. (2013·新课标)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________． 答案：5解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，则d ＝1，由a m ＝2及S m ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）＝2，ma 1＋m （m －1）2＝0，解得m ＝5.1. 已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1) 求a 及k 的值；(2) 设数列{b n }的通项b n ＝S nn，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1) 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k.由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2) 由(1) S n ＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.2. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，求使得S n ＜0的n 的最小值．解：由题意知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，a 10＋a 11＜0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d>0，a 1＋10d<0，2a 1＋19d<0，d<0，得－192<a1d <－9.S n＝na1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，由S n ＝0得n ＝0或n ＝1－2a 1d .∵ 19<1－2a 1d <20，∴ S n ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫n∈N *⎪⎪⎪n>1－2a 1d ，故使得S n ＜0的n 的最小值为20.3. 已知数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1) 由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10.(2) 令a n ≥0，得n≤5.即当n≤5时，a n ≥0；n≥6时，a n <0.∴ 当n≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－(－n 2＋9n)＋2×(－52＋45)＝n 2－9n ＋40，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.4. (2013·大纲卷)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1) 求{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23＋…＋(2n －2n ＋1)＝2n n ＋1.1. 等差数列问题，首先应抓住a 1和d ，通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了．但若恰当地运用性质，可以减少运算量．2. 等差数列的判定方法有以下几种：① 定义法：a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)；② 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2；③ 通项公式法：a n ＝pn ＋q(p ，q 为常数)；④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数)．3. 注意设元，利用对称性，减少运算量．4. 解答某些数列问题，有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果，可采用整体代换的思想．请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

2014年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）数列概念及等差数列一．【课标要求】1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等差数列与一次函数的关系.二．【命题走向】数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。

对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高.预测2014年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题.三．【要点精讲】1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a =(1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。