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湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（答案在最后）命题单位：考试满分：150分考式用时：120分钟注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后、用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.一组数据2，5，3，7，1，6，4的第70百分位数是A.1B.4.9C.4D.52.若圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为A.23π3B.C.22π3D.3.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为DB 上靠近点D 的三等分点，N 为1CC 的中点.设11111,,A B a A D b A A c === ，则MN =A.211332a b c +- B.211332a b c -- C.211332a b c ++ D.211332a b c -+- 4.从{}1,2,3和{}4,5两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是A.16 B.13 C.12 D.235.已知2sin 3a a +=，则πcos 23a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.1625- B.79- C.4981 D.456.已知实数x ，y 满足22||||x y x y +=+，则|3|x y +-的最小值与最大值之和为A.4B.5C.6D.77.已知直线a ，b ，c 和平面,,a βγ，则下列命题正确的是A..平面a 内不一定存在和直线a 垂直的直线B.若,a γβγ⊥⊥，则//a βC.若a ，b 异面且,,//,//a a b a b a ββ⊂⊂，则//a βD.若,,a a a b c βγβγ⋂=⋂=⋂=，则直线a ，b ，c 可能两两相交且不过同一点8.设函数22()sin cos ,N*f x x x n ⋅=+∈，下列命题正确的是A.当π2=时，()f x 的最小正周期为πB.当3n =时，()f x 的最大值为14C.()f x 的最小值与n 的取值无关D.()f x 的最大值与n 的取值无关二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数1()cos cos 22f x x x =+，则下列结论正确的是A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 在[0.2π]上有2个零点C.()f x 的最大值为32D.()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函放10.下列命题正确的是A.若事件A ，B ，C 两两互斥．则()()()()P A B C P A P B P C ⋃⋃=++成立B.若事件A ，B ，C 两两独立．则()()()()P ABC P A P B P C =成立C.若事件A ，B 相互独立．则A 与B 不一定相互㹨立D.若()0,()0P A P B >>，则事件A 、B 相互独立与A 、B 互斥不能同时成立11.记C 为圆22:6490C x y x y +--+=的圆心.H 为y 轴上的动点．过点H 作圆C 的两条切线，切点分别是M ，N ，则下列结论正确的是A.MN 的最大值为4B.直线MN 过定点5.23⎛⎫ ⎪⎝⎭C.存在点H ，使得MH NH ⊥D.四边形HMCN 的面积的最小值为三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量a b ，满足3()(2)2a b a b +⋅-=- ，则a b ⋅= ______.13.已知有3名男生和2名女生，其中3名男生的平均身高为170cm ．方差为30，2名女生的平均身高为165cm ，方差为41，则这5名学生身高的方差为______．14.在正方体1111ABCD A B C D -中，6,AB E =为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的三等分点（靠近点1D ），过点A ，E ，F 作该正方体的截面．则该截面的周长是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1(12i)112iz +=+（1）求1z ；（2）若复数z 满足12,z z z -=在复平面内对应的点为Z ，且点(1,0),(1,0)A B -，求ZA ZB ⋅ 的取值范围．16.（15分）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=.（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4a =，求ABC 的周长的取值范围.17.（15分）甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为35，乙校获胜的概率为25；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为13，乙校获胜的概率为23.设各局比赛相互之间没有影响且无平局.（1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率；（2）求甲校以3:1获胜的概率.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面,22ABCD PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面EDB .（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值.（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF ⊥平面EDB ？若存在，求出线段BF 的长；若不存在，说明理由．19.（17分）已知点M 与定点(6,0)A 和点M 与原点O 的距离的比为2，记点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程.（2）已知直线:4l x =与x 轴交于点B .①过点B 的直线m 与曲线C 交于D ，E 两点，求线段DE 的中点F 的轨迹方程；②求证BD BE ⋅ 为定值，并求出这个定值.恩施州高中教育联盟2024年秋季学期高二年级期中考试数学参考答案1.D2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.ABC 10.AD 11.BD12.1213.40.414.522++15.解：（1）设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以(12i)(i)112i a b +-=+，即211,22,a b a b +=⎧⎨-=⎩所以3,4a b ==，即134i z =+.设i,(,)z m n Z m n =+，由12z z -=知，(,)Z m n 在以(3,4)为圆心，2为半径的圆上，即32cos ,42sin ,m n θθ=+⎧⎨=+⎩所以(42cos ,42sin )(22cos ,42sin )ZA ZB θθθθ⋅=----⋅----=16sin 12cos 2820sin()28[8,48]θθθϕ++=++∈，即ZA ZB ⋅ 的取值范围是[8，48].16.解：（1）因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理可知，sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，即sin cos sin sin 0C A A C C --=.又sin 0C ≠，所以π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππ66A -=或5π6，即π3A =或π（舍去）．（2）由（1）得π3A =，则2π3B C +=.由正弦定理可知,b Bc C ==，所以πsin )8sin6b c B C B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角，所以π2ππ0,0232B B <<<-<，即ππππ2π,62363B B <<<+<，即π8sin 6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ABC的周长的取值范围为(4+.17.解：（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校获胜，概率为1331355325P =⨯⨯=；乙校获胜，概率为2222855375P =⨯⨯=．故恰好比赛三局，比赛结束的概率123817257575P P P =+=+=.（2）甲校以3：1获胜的情况如下？①前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为23321253325P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为4321142553375P =⨯⨯⨯⨯=.故甲校以3：1获胜的概率34242257515P P P '=+=+=.18.（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE .因为E 是PC 的中点，O 是AC 的中点，所以//PA OE ，又OE ⊂平面,EDB PA ⊂/平面EDB ，所以//PA 平面EDB.（2）解：如图，以DA DC DP 、、的方向分别为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，即()()()0,0,0,1,2,0,0,1,1D B E 则(1,2,0),(0,1,1)DB DE == .设平面EDB 的法向量为(,,)m x y z = ，则20,0,DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1y =-，得2,1x z ==，所以可取(2,1,1)m =- .易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n = .设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则||6cos |cos ,|6||||m n m n m n θ⋅=〈〉=== ，所以平面EDB 和平面PAD 夹角的余弦值为6.（3）解：由（2）知(0,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,2)D B E P ，则(1,1,1),(1,2,2),(,2,2)(01),EB BP BF BP EF EBλλλλλ=-=--==--<<= (1,1,1)(,2,2)(1,12,12)BF λλλλλλ+=-+--=---+ .由（2）知平面EDB 的一个法向量可为(2,1,1)m =- ，则直线//EF m ，即12121λλ-=-+，解得35λ=，故当35λ=时，95BF =，则BF 的长为95.19.解：（1）设(,)M x y ，则||2||MA MO =2=，化简得22(2)16x y ++=.（2）①不妨设曲线C 的圆心为C ，所以当C ，F 不重合时，CFB 为直角三角形，取BC 的中点(1,0)G ，则3FG =，所以F 的轨迹方程为222(1)93x y x ⎛⎫-+=< ⎪⎝⎭.（2）由题意知，直线DE 的斜率一定存在，设为k ，则:(4)DE l y k x =-，代入22(2)16x y ++=，得()()222214816120k x k x k ++-+-=，且240,5k ∆><.不妨设()()1122,,,D x y E x y ，则22121222841612,11k k x x x x k k--+==++，故()()()()()[211221212124,4,441BD BE x y x y x x y y k x x ⋅=-⋅-=-⋅-+=+- ()1241620x x ⎤++=⎦.。
隐秘★启用前2022年重庆一中高2021级高二下期期末考试数 学 试 题 卷（文科）2022.7数学试题共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.一. 选择题 (每小题5分, 共60分)1. 已知集合{|31}A x x =-<<, 2{|20}B x x x =-≤, 则AB =( )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|11}x x -<≤D ．{|21}x x -<≤2. 已知向量(3,1)a =, (sin ,cos )b αα=, 且a ∥b , 则tan α=( )A. 3B. 3-C. 13D. 13-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =( )A ．325B ．2C ．645 D ．5324. 已知 1.120.5log 3,log ,0.9x y z π-===, 则 ( )A ．z y x <<B ．x y z <<C ．x z y <<D ．z x y <<5. 已知:11p x ,2:230q x x , 则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.将函数()2sin 2f x x =的图像向右移动ϕ(02πϕ<<)个单位长度, 所得的部分图像如右图所示, 则ϕ的值为( )A.6πB. 3πC. 12πD. 23π度为3,7. 直线被圆所截得的弦的长则实数的值是( )A ．B ．C ．D ．2-8. 右图的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入209m =, 121n =, 则输出的m 的值为( )A. 0B. 11C. 22D. 889. 设抛物线28y x =的焦点为F , 准线为l , P 为抛物线上一点, 且PA l ⊥,A 为垂足, 假如直线AF 的斜率为1, 则PF 等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1210. 若变量,x y 满足1ln0x y -=, 则y 关于x 的函数图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知ABC ∆的内角,,A B C 对的边分别为a ,b ,c , 且sin 2sin 2sin A B C +=,则cos C 的最小值等于( ) A. 624-B. 64 C. 624+ D. 2412. (原创) 已知定义在R 上的偶函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=, 函数2()1f x x =-的图像是()g x 的图像的一部分. 若关于x 的方程22()(1)g x a x =+有3个不同的实数根, 则实数a 的取值范围为( )A. 1(,)8+∞ B. 122(,)33 C. 2(,)4+∞ D. (22,3)二. 填空题 (每小题5分, 共20分)13. 复数z 满足(12)43z i i +=+, 则z =_______.14. 若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴, 则a =________.15. 若,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x , 则3z x y =+的最大值为________.16. (原创) 已知函数3()1817sin f x x x x =++, 若对任意的R θ∈, 不等式(sin 2)(12cos 2)0f a f θθ+++≥恒成立, 则a 的取值范围是____________.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (原创) (本小题满分12分) 已知二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=, 若(1)(2)f f -=, 且函数x x f y -=)(的值域为[0,)+∞.(1) 求函数)(x f 的解析式;:8630l x y --=22:20O x y x a +-+=a 1-01(2) 若函数()2xg x k =-, 当[1,2]x ∈时, 记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,, 若A B A =, 求实数k 的值．18. (本小题满分12分) 随着电子商务的进展, 人们的购物习惯正在转变, 基本上全部的需求都可以通过网络购物解决. 小韩是位网购达人, 每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价. 现对其近年的200次成功交易进行评价统计,(1) 是否有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关? 请说明理由;(2) 若针对商品的好评率, 接受分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易, 并从中选择两次交易进行观看, 求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）19. (本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足153,15a a ==, 数列{}n b 满足154,31b b ==, 设正项等比数列{}n c 满足n n n c b a =-.(1) 求数列{}n a 和{}n c 的通项公式;(2) 求数列}{n b 的前n 项和.20. (原创) (本小题满分12分) 已知函数()()ln x xf x e ax b e x =+-.(1) 若函数()f x 在1x =处取得极值, 且1b =，求a ;(2) 若b a =-, 且函数()f x 在[1,)+∞上单调递增, 求a 的取值范围.21. (原创) (本小题满分12分)已知椭圆方程22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为3, 短轴长为2.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 直线:l y kx m =+(0k ≠)与y 轴的交点为A (点A 不在椭圆外), 且与椭圆交于两个不同的点,P Q . 若线段PQ 的中垂线恰好经过椭圆的下端点B , 且与线段PQ 交于点C , 求ABC ∆面积的最大值.。
四川省万源高2026届期中试题（高二·上）数学试题（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个互异平面α和β有三个不共线的交点【答案】C 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，共线的三点无法确定一个平面，A 错误；对于B ，空间四边形不是平面图形，B 错误；对于C ，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C 正确；对于D ，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D 错误.故选：C.2.已知()4,1,3A ，()2,4,3B -，则线段AB 中点的坐标是（）A.51,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5132,,⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.330,2,⎛⎫- ⎪⎝⎭D.330,2,⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.【详解】由中点坐标公式得线段AB 中点的坐标为4(2)1433,,222+-++⎛⎫⎪⎝⎭，即51,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 的中点，设1AA a =，AB b = ，AD c =，则1A N等于（）A.12a b c-++ B.a b c -++ C.12a b c--+ D.12a b c-+ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 的中点，所以111111111222A N AB BN A A A B BC AA AB AD a b c =+=++=-++=-++ .故选：A .4.已知Rt O A B '''△是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A.22B.1C.2 D.22【答案】D 【解析】【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，其中2,22cos 45OB O B OA O A O B ''''''===== ，AOB 90∠= ，所以这个平面图形的面积为122S =⨯⨯=.故选：D5.设两条直线l ，m ，两个平面α，β，则下列条件能推出//αβ的是（）A.l α⊥，m β⊥，且//l mB.//l α，//m β，且//l mC.l α⊂，m β⊂，且//l mD.l α⊂，m α⊂，且l //β，//m β【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的性质推理判断A ；举例说明判断BCD.【详解】对于A ，由l α⊥，//l m ，得m α⊥，而m β⊥，所以//αβ；对于B ，若//l α，//m β，且//l m ，此时α，β可能相交，如下图所示：当n αβ= ，m α⊂，l β⊂，l m ,都与n 平行时，α，β相交，B 错误；对于C ，若l α⊂，m β⊂，且//l m ，此时α，β可能相交，如下图所示：当n αβ= ，l m ,都与n 平行时，α，β相交，C 错误；对于D ，若l α⊂，m α⊂，且l //β，//m β，此时α，β可能相交，如下图所示：当n αβ= ，l m ,都与n 平行时，α，β相交，D 错误.故选：A6.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）A.在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在 imSiC.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在[)60,80【答案】B 【解析】【分析】根据统计图中的数据分析及极差的概念作出判断.【详解】A 选项，由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数，从而无法确定在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数和晚睡人数，A 错误；B 选项，由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在[)80,90内，B 正确；C 选项，在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，C 错误.D 选项，晚睡人群睡眠指数主要集中在[)50,60内，D 错误.故选：B7.已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）A.16π3B.165π3C.205π3D.20π3【答案】C 【解析】【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可.【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为O '，其外接球的圆心为点O ，则1OO '=，ABO '△为等边三角形，故2AO '=，OA 即为其外接球的半径R ，所以R AO ====所以该正六棱柱的外接球的体积为34205ππ33=.故选：C.8.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-．如果1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ，那么20252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.52-B.12-C.12D.52【答案】B 【解析】【分析】确定出函数的周期性，然后由周期性和奇偶性求值．【详解】()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又()()1f x f x +=-，所以(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期为2的周期函数，20251111()(1012)()(22222f f f f =+==--=-，故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B.若向量AB ，CD，满足AB CD = ，则//AB CDC.空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底D.对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R ，且1x y z ++=），则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD 【解析】【分析】利用空间向量运算判断A ；利用相等向量的意义判断B ；利用空间的一个基底的意义判断C ；利用空间共面向量定理判断D.【详解】对于A ，0AB BC CD DA +++=，A 正确；对于B ，当AB CD =时，A ，B ，C ，D 四点可能在一条直线上，B 错误；对于C ，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C 错误；对于D ，若OP xOA yOB zOC =++ ，则()()()OP x y z OA y OB OA z OC OA =+++-+-，化简得AP y AB z AC =+，因此P ，A ，B ，C 四点共面，D 正确.故选：AD10.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若把函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（）A.π3ϕ=B.函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D.函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点【答案】BC【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合条件求ϕ，由此可得函数()f x 的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由已知可得ππ2sin 2sin 2π333f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像关于原点对称，则2ππ,Z 3k k ϕ-+=∈，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，则1k =-时，π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故A 错误；因为()π2πsin πsin π0333f ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；当ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦时，则π4π2π,332x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且函数sin y x =在4ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，所以函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；令()πsin 203f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即()π2πZ 3x k k -=∈，，解得ππ,Z 62k x k =+∈，又π3π,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21,π3k x ==，72,π6k x ==共两个零点，故D 错误；故选：BC.11.在三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，OP ⊥平面ABC 于点P ，设,,,AOB BOC AOC ABC △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，下列命题中正确的是（）A.ABC V 可能为直角三角形B.点P 为ABC V 的垂心C.22221111OP OA OB OC =++D.3333123S S S S >++【答案】BCD 【解析】【分析】假设OA a =，OB b =，OC c =，求出AB ，BC ，AC ，根据长度和三角形形状的关系判断A 选项，根据垂心的定义判断B 选项，根据海伦公式求出2S 判断C 选项，求出2S 和21S 、22S 、23S 的关系判断D 选项.【详解】假设OA a =，OB b =，OC c =，所以AB =，BC =AC =，因为任何两边的平方和大于第三边的平方，所以ABC V 是锐角三角形，故A 选项错误；由,,OA OB OC 两两垂直易证AO ⊥平面BOC ，所以AO BC ⊥，因为OP BC ⊥，所以易证⊥BC 平面AOP ，所以BC AP ⊥，同理可得CP AB ⊥，BP AC ⊥，所以点P 为ABC V 的垂心，故B 选项正确；设ABC V 的面积为S ，因为四面体体积为16abc ，所以1316S abc OP ⋅=，等式两边平方可得2222214S OP a b c =，由海伦公式可得2()()()S k k AB k BC k AC =---，其中2AB BC CAk ++=，所以2116S ==2222221()][()]16a b a b +-+-+=2222221()4a b a c b c ++，所以代回可得22221111OP a b c =++，故C 选项正确；112S ab =，212S bc =，312S ac =，OP =，因为1316S abc OP ⋅=，所以12S =所以22222222221231()4S a b b c a c S S S =++=++，因为1S S >，2S S >，3S S >，所以()3222333123123S S S S S S S S =++>++，故D 选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出2S 判断C 选项，求出2S 和21S 、22S 、23S 的关系判断D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______.【答案】74【解析】【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为127,,x x x 则12757x x x +++= ，所以12735x x x +++= ，()()()22212755527x x x -+-++-= ，所以()()()22212755514x x x -+-++-= .当加入新数据5后，平均数127558x x x x ++++== ，方差()()()()[]2222212711755555140884s x x x ⎡⎤=-+-++-+-=+=⎣⎦ .故答案为：7413.已知点()2,3,1P -关于坐标平面Oxy 的对称点为1P ，点1P 关于坐标平面Oyz 的对称点为2P ，点2P 关于z 轴的对称点为3P ，则3PP =______．【答案】【解析】【分析】依次写出()12,3,1P ，()22,3,1P -，()32,3,1P -，利用空间两点间距离公式求出答案.【详解】由题意得()12,3,1P ，()22,3,1P -，()32,3,1P -，故3PP ==故答案为：14.如图，边长为2a 的正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ．已知A ED ' 是AED △绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是______．（1）三棱锥A FED ¢-的体积有最大值（2）异面直线A E '与BD 不可能互相垂直（3）恒有平面A GF '⊥平面BCED（4）动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】通过底和高来确定体积、证明线面垂直、异面直线所成角、面面垂直的性质等逐个判断即可.【详解】对于（1）：三棱锥A FED ¢-的底面△FED 的面积是定值，高是点A '到平面FED 的距离，当A G '⊥平面FED 时距离（即高）最大，三棱柱A FED ¢-的体积最大，故（1）正确；对于（2）：由BD EF ∥得A EF '∠是异面直线A E '与BD 所成的角（或其补角），因为正三角形ABC 的边长为2a ，所以A F '的长度的取值范围是()，当A F '=时，222A E EF A F ''+=，所以90A EF ¢Ð=°，此时直线A E '与BD 互相垂直，故（2）错误；对于（3）：在正三角形ABC 中，AF 为中线，ED 为中位线，所以,AF BC DE BC ⊥∥，所以,DE A G DE GF '⊥⊥，又AG GF G '⋂=，所以DE ⊥平面A GF '，又DE ⊂平面BCED ，所以平面A GF '⊥平面BCED ，故（3）正确；对于（4）：过A '作A H AF '⊥，垂足为H ，则A H '⊂平面A GF '，又平面A GF '⊥平面BCED ，平面A GF '⋂平面BCED AF =，所以A H '⊥平面ABC ，则动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上，故（4）正确；故答案为：（1）（3）（4）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）三棱锥11F A EC -的体积大小．【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）连接1111B D A C M = ，取11D C 的中点为N ，利用平行公理及线面平行的判断推理即得.（2）由（1）的结论，利用等体积法转化求出体积.【小问1详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1111B D A C M = ，取11D C 的中点N ，连接,MN ME CN ,，有M 为11B D 的中点，则11111//,2MN B C MN B C =，又1111//,,BC B C BC B C =E 为BC 的中点，于是//,MN EC MN EC =，则四边形CNME 是平行四边形，//ME NC ，又F 为CD 的中点，则有11//,ND CF ND CF =，即四边形1CFD N 是平行四边形，1//CN FD ，因此1//EM FD ，又EM ⊂平面11A EC ，1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC .【小问2详解】由（1）知，1//D F 平面11A EC ，则点F 到平面11A EC 的距离等于点1D 到平面11A EC 的距离，而正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，//BC 平面111AC D ，则点E 到平面111AC D 的距离为C 到平面111A C D 的距离1，所以三棱锥11F A EC -的体积111111*********11113326F A EC D A EC E A C D A C D V V V S ---===⨯=⨯⨯⨯⨯= .16.已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----．（1）若3c = ，且c BC ∥，求向量c 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）()2,1,2c =- 或()2,1,2c =--（2）32【解析】【分析】（1）可求()2,1,2,BC =- 由已知可设c mBC =，通过模长公式计算可得1m =±，即可得出结果；（2）通过数量积公式求得cos ,AB AC <>，利用三角形面积公式计算即可得出结果.【小问1详解】空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----，()()()3,0,41,1,22,1,2,BC =----=-3c = ，且c BC ∥，设()()2,1,22,,2c mBC c mBC m m m m =∴==-=- ，()33,1,2,1,2c m m c ∴===∴=±∴=-或()2,1,2c =-- ．【小问2详解】∵()()()1,1,0,1,0,2,2,1,2AB AC BC =--=-=-，1,AB AC AB AC ∴⋅=-==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅∴==-⋅，sin ,AB AC ∴<>=，113sin ,222ABCS AB AC AB AC ∴=⨯⨯⨯=⨯ ．17.某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)20,30，[)30,40， im i ， imǡi ，[]60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？（2）经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和 im i 的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．【答案】（1）盈利（2）25．【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质求a 的值，再利用加权平均数的算法求收取的费用，和支出的费用比较，可得问题答案.（2）先根据分层抽样的概念确定选取的6人中年龄分别在[)30,40和[)40,50的人数，从中选2人，列出所有可能，找出保险费用超过150元的所有情况，根据古典概型的计算公式求相应的概率.【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=，解得0.032a =保险公司每年收取的保费为：()100000.07300.16600.32900.251200.2150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．10000100.51005000=⨯=因为10050001000000>，所以2023年度公司为盈利.【小问2详解】选取的6人中，有2人来自年龄在[)30,40，记这2人分别为1a ，2a ，有4人来自年龄在[)40,50，记这4人分别为1b ，2b ，3b ，4b ，从这6人中任取2人的所有基本事件有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b 共15种，其中保费超过150元的有()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b 共6种，所以被免去保费超过150元的概率为62155P ==．18.已知点N 在ABC V 所在平面内，满足,NA NB CN AN +=与BC 的交点为D ，平面向量()1,1m =- 与()cos ,sin n a C b c C =-相互垂直.（1）求A ；（2）若a ABC = ，求AD .【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得cos sin 0a C b c C --+=，利用正弦定理及辅助角公式化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求解即可；（2）根据面积公式得4bc =，由余弦定理求得2216b c +=，利用向量运算及数量积求模公式求解即可.【小问1详解】由向量()1,1m =-与()cos ,sin n a C b c C =- 相互垂直得，cos sin 0a C b c C --+=，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C B C A C --+=，πA B C ++= ，()πB A C ∴=-+，()sin cos sin sin sin 0A C A C C A C ∴-+-=，即()sin cos sin cos cos sin sin sin 0A C A C A C C A C -+-=，)cos 1sin 0A A C ∴--=.0πC << ，sin 0C ∴≠cos 10A A --=cos 1A A -=，312sin cos 122A A ⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭，π2sin 16A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0πA << ，ππ66A ∴-=，即π3A =.由13sin 24ABC S bc A bc === ，得4bc =.由余弦定理22222121cos 282b c a b c A bc +-+-===，得2216b c +=.NA NB CN += ，0NA NB NC ∴++=，即点N 为ABC V 的重心，∴点D 是BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+，()()()2222211122cos 1645444AD AB AC AB AC c b bc A ∴=++⋅=++=⨯+= .AD AD ∴==.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//,,22AD BC AD AB AB BC AD ⊥===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的余弦值为4，若存在，求出线段BP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）53131（3）存在；2【解析】【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.因为四边形EDCF 为矩形，平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD DC =，所以ED DC ⊥，则ED ⊥平面ABCD ，根据题意可以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，易知()()1,0,0,1,2,0A B，((((),1,2,,1,2,,0,2,0E F BE AB -∴=--=，设平面ABE 的法向量()20,,,20n AB y n x y z n BE x y ⎧⋅==⎪=∴⎨⋅=--+=⎪⎩，不妨令0,1x y z ===，则)n =，又(1,DF =-，0,DF n DF n ∴⋅=∴⊥ ，又DF ⊄ 平面,//ABE DF ∴平面ABE ．【小问2详解】由上可知((1,,BE BF =--=- ，设平面BEF 的法向量(),,m a b c =，2020m BE a b m BF a ⎧⋅=--+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令4a b c =⇒==，则()4m =，531cos 31m n m n θ⋅∴===⋅ ，∴平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值为53131．【小问3详解】设(()[]1,,2,0,1DP DF λλλλλ==-=-∈，(),2P λλ∴-()1,2BP λλ∴=---，又 平面ABE的法向量)n =，由直线BP 与平面ABE所成角的余弦值为4，3sin cos ,4BP n θ∴===，28610λλ∴-+=，12λ∴=或14λ=．当12λ=时，3,1,,222BP BP ⎛⎫=--∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ；当14λ=时，533,,,2424BP BP ⎛⎫=--∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ．综上，2BP =．。
2024-2025学年七年级语文上学期期末模拟卷1（满分120分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。
将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．测试范围：七年级上册第1~6单元。
5. 难度系数：0.75。
6．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（27分）1．阅读下面的文字，按要求作答。
（8分）2023年12月22日，第七十八届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日。
从①（A．神采奕奕B.喜气洋洋）的中国传统民俗节日，到其乐融融的联合国假日，传承赓续数千年历史底蕴的文明瑰宝，焕发更加夺目的时代。
，无论是贴春联、吃年夜饭、拜年等传统方式，还是城市周边短途游、非遗大集买年货、文博场馆过大年的崭新尝试，浓郁的年味儿里总少不了沁人心脾的文化味儿。
正是在中华优秀传统文化的创造性转化、创新性发展中，新春佳节与时俱进，在传统底色上描绘现代色彩，在传统语境下进行现代表达，承载（）着情感寄托，浓缩着文化张力、时代活力。
春节正式成为联合国假日，②（A．赋予B.赐予）传统佳节以更深意蕴、更多意义，春节正在不断走向世界，世界也在热chén（）拥抱春节。
(1)选择正确的词语填入①②处。
（只填字母）（2分）①②(2)给加点字注音或根据注音写汉字。
（2分）承载( ) 热chén( )(3)文中画波浪线的句子有语病，请写出修改后的句子。
山东省济南市2023-2024学年高二上学期语文期末试卷姓名：__________ 班级：__________考号：__________1．下列各项中，字形和加点字的读音都正确的一项是（）A．复辟．(pì) 恫．吓(hè) 着．(zhuó)人送还谬种流传能曲能伸B．给．(jǐ)养诨．(hún)名曲学阿．(ē)世互相厮拼背景离乡C．包扎．(zā) 炮．(páo)制呱．(guā)呱坠地翻然觉醒毕恭毕敬D．摒．(bìng)弃骨殖．(shi) 书声琅琅．．(láng) 决无妥协共克时艰2．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一项是（）①米考伯太太告诉我，“她娘家的人”认定，米考伯先生可以_ 破产债务人法，请求释放。
②例如，老古·冯·居利希在自己的枯燥的材料汇集中的确____了能够说明无数政治事实的大量材料，可是他的著作又有谁读过呢！③今天，要____“三害”，要把它们从兰考土地上像瘟神一样驱走，必须进行大量艰苦细致的工作，付出高昂的代价。
④门捷列夫根据原子量的变化，____了元素周期表，有人赞同，有人怀疑，争论不休。
⑤诚然，霍布斯看出了现今的人们对自然的____所作的种种解释的缺点，然而从他自己所作的解释中得出的结论就可看出，他的解释的着眼点也是错误的。
⑥革命导师们____提出了实践是检验真理的唯一标准____，亲自作出了用实践去检验一切理论包括自己所提出的理论的光辉榜样。
A．援用搜集制服制定权力既……又B．使用搜集制伏制订权力既……又C．援用收集制伏制定权利不仅……而且D．使用制服制订权利收集不仅……而且3．下列各句中加点熟语的使用，全都正确的一项是（）①他们从欧美日本回来，只知生吞活剥．．．．地谈外国。
他们起了留声机的作用，忘记了自己认识新鲜事物和创造新鲜事物的责任。
②走进屠宰场的动物发出的哀鸣，表明它们对所看到的恐怖情景是身临其境．．．．的。
浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BCD11.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意易知，则，，则．16.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；122DM a b c =--+ 12BE b c =+ 2()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ 2a b c === 2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=a（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.【小问1详解】∵，∴【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：，方案（1）人均日收入为：元，方案（2）人均日收入为：元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为前6组的频率和为∵，设该销售的每日的平均业务量为，则，∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.【解析】【分析】（1）设P (x,y )，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】x x ()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=0.02a =()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=100622224+⨯=()20062504248+-⨯=404000.1÷=()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=0.80.90.95<<x ()750.0150.80.9x -⨯+>81.7x >N x *∈x 4PA PB ⋅=- P设P (x,y )，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，有圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切直线的方程为或.18.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．【小问1详解】证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】的(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- ()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=C ()()22241x y -+-=C ()2,4(1,2)A 1x =C (1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =3450x y -+=(1,2)A C 1x =3450x y -+=DE ⊥ABCD D DA x DC y DE z BDF CDE BDM BDF EC M BDM ⊥BDF EM ECADEF ABCD AD AD DE ⊥DE ⊂ADEF DE ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD ED ⊥由（1）可得，，又，如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面【小问3详解】若与重合，则平面的一个法向量,由（2）知平面的一个法向量,,，则，则此时平面与平面不垂直．若与不重合，如图设，则,,，设平面的一个法向量,,，则，为AD DE ⊥CD DE ⊥AD CD ⊥D DA DC DE x y z D xyz -1AD =(0D 0)(1B 0)(1F 1)(0C 0)(0E 1)CDE (1,0,0)DA = BDF (n x = y )z ()()1,1,0,1,0,1DB DF == 00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ 1x =1y z ==-(1n = 1-1)-BDF CDE θcos cos ,DA n θ=== BDF CDE M C BDM ()00,0,1m = BDF (1n = 1-1)-010m n ⋅=-≠ BDF BDM M C (01)EM ECλλ=<<(0M 2λ1)λ-BDM 0(m x = 0y 0)z 00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，，所以，平面平面等价于，即，所以．所以，线段上存在点使平面平面，且．19.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得 ,解得故椭圆E 的方程为．【小问2详解】证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，的000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩01x =01y =-021z λλ=-21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭BDM ⊥BDF 0m n ⋅=r r 21101λλ+-=-1[0,1]2λ=∈EC M ⊥BDFBDM 12EM EC =,a b ()()0,1,1,0A F AF 41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭,AP BP ,C D 2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=()()0,1,1,0A F AF 1y x =-+22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩224400x x -=0x =43x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,P t AP 112t y x -=+BP 31212t y x t +=--()()1122,,,C x y D x y联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，得从而．因为，，即，所以三点共线，所以直线经过点F ．2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩()()2223410t t x t x -++-=2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=222416163963x t t t t +=++22244321t t x t t +=++22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+22222222210021321441211321DF t t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++CF DF k k =,,C D F CD。
2024-2025学年度高二期末自主练习地理试题（文科）2024.1留意事项：本考试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分100分。
考试限定用时90分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（以下各小题只有一个正确答案，共25小题，每小题2分，共50分）我国分为三大自然区，地理学家把东部的四个地区，东北，华北，华中华南合并为一个自然区，据此回答1-3题。
1、东部四个地区内部差异形成的主导因素是（）A.热量B.水分C.光照D.地形2、东部○1○2○3○4四个地区合并为一个自然区，它们的共同特点是A.地形都属于平原地区B.各地受到夏季风的影响C.河流都属于太平洋水系D.各地受到冬季风的影响3. 民间谚语是劳动人民才智的火花，谚语“山北黄牛下地，山南水牛犁田”中“山”的位置，正确的是A.位于○1○2之间B.位于○2○3之间C.位于○3○4之间D.位于○3○6之间读唐诗“君不见走马川雪海边平沙茫茫黄入天，轮台九月风夜吼一川碎石大如斗，随风满地石乱走”，结合下图，完成4-5题。
4.该诗描述的地区最可能见到的景观是5.该诗描述的地区，最突出的生态环境问题是A.酸雨B.水土流失C.气候变暖D.土地荒漠化，下图是东汉时期的生产图，图中上半部分是弋射图，两个射手正在向疾飞的群鸟弯弓瞄射，下半部是收获图，描写农夫们收割、采实、挑运的劳动场面。
据此回答回答6-7题。
6.该图反映出图示地区发展处于A.初级阶段B.成长阶段C.转型阶段D.再生阶段。
7.关于这一时期人地关系的正确叙述是A.寻求人地协调B.折服自然，试图成为自然的主宰C.崇拜自然，对自然既恐惊又依靠D.改造自然，开发利用土地水资源读某区域示意图，回答8-9题8.图中图示区域中县界划分的主要依据是（）A.山脉B.湖泊C.河流D.交通线9.依据图示信息分析，该区域最相宜发展A.化学工业B.电子工业C.建材工业D.纺织工业读某企业建立的循环经济产业链示意图，回答10-11题。
北京市2023-2024学年高二上学期语文期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、现代文阅读阅读下面材料，完成下题。
材料一鲁迅的散文抒情性浓郁，具有能穿透岁月的美感力量。
在那夜气如磐的年代里，鲁迅用他的文章表达对革命者和先驱们的崇仰与缅怀，寄托自己对未来的热烈向往。
深化思绪于曲折的层次中，让思绪在曲折的逻辑中出奇制胜地推演，这是鲁迅散文抒情的主要特点。
《记念刘和珍君》一文是在“说（写）”还是“不说（不写）”之间徘徊，往返起伏。
这构成了整篇文章内在的心理线索，也形成了“文气”的跌宕。
鲁迅的内心始终交织着两种情感欲求：一方面是情感喷发的冲动，另一方面却是克制激情的欲求。
正是这情感的喷发和反抑的内在冲突所形成的张力，赋予了鲁迅情感表达形式上一波三折的曲折性。
如第一节所显示的：将欲发，又觉“无话可说”；仿佛已是“痛定之后”，却因学者文人的阴险论调平添阵阵“悲凉”；决心显示“最大哀痛”，又顾及于“非人间”的“快意”；直至无可逃遁，才拼将一腔悲痛，全数掷出，化作灵前至哀至烈的声声哭诉。
情感的热流与冷流交错对流，汇合成了心灵的大颤动。
将感情渗入叙事，在极平静的叙述中，表现出最强烈的感情是鲁迅散文抒情的又一个特点。
他并没有身临其境，却能以雄辩的细节，描绘出现场感，把节制的情感释放出来。
这就把新闻报道的摘录变成了中国历史家所强调的“实录”，变成了春秋笔法的“寓褒贬”，没有直接的判断，义愤尽在叙述之中。
极强烈的情感包裹沉淀在极严峻冷静的写实中，出之以中国气派的简洁凝练，也就构成了鲁迅前期作品所特有的美学风格。
它使读者深切地感受到中国革命的艰难和中国知识分子选择道路的艰难。
鲁迅还善于运用多样的抒情手段，形成丰富多变的抒情风格。
他的情感，有时如火山奔突，瀑布直流；有时如清泉流水，细波微澜；有时又如深山幽谷，沉郁顿挫。
如果说在《记念刘和珍君》里，汪洋恣肆的激怒与哀痛，形成了诗意汹涌的感情波涛；那么，在《为了忘却的记念》里，却把那动人心魄的感情力量蕴藉在心，出之于笔端的，是深沉的纪实。
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.在复平面内,复数1i +的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量()()1,2,1,3,,a b x y =-= 且a ∥b ,那么b = （）A. B.6 C.9 D.183.在空间直角坐标系中,点()1,2,3P 关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.()1,2,3-B.()1,2,3-C.()1,2,3--D.()1,2,3-4.设()()120,1,1,1,0,1v v ==-分别是空间中直线12,l l 的方向向量,则直线12,l l 所成角的大小为（）A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π35.过()2,0-和()0,2两点的直线的倾斜角是（）A.1-B.1C.3π4 D.π46.“1a =”是“直线1:20l ax y +-=与()2:2120l x a y +++=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AA a AB b AD c ===,点P 在1AC 上,且1:1:2A P PC =,则AP = （） A.211333a b c++ B.122333a b c++ C.112333a b c -++ D.122333a b c--8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为1BB 的中点,则1B 到平面11A D E 的距离为（）5 B.255 C.253 D.2359.在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是线段11A C 上任意一点,则AE 与平面ABCD 所成角的正弦值不可能是（）A.13 B.23 C.53 D.6310.已知点()()0,1,0,1A B -,直线:2l y kx =-,若直线l 上至少存在三个M ,使得MAB 为直角三角形,直线l 倾斜角的取值范围是（）A.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D.πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.复数5i 12iz =-,则z =__________.12.已知点()()1,1,4,1,4,2A B -,点C 在线段AB 上,且2AC CB =,则点C 坐标为__________.13.若平面αβ⊥,平面α的法向量为()11,2,3n = ,平面β的法向量为()2,,0n x y = ,写出平面β的一个法向量__________.14.已知点()()1,3,1,4A B -,直线:2l y ax =-与线段AB 无交点,则直线l 在y 轴上的截距为__________,a 的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱111ABC A B C -中,13,3,90AB BB BC ABC ∠==== ,1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤.记(),f x y AH HP =+,给出下列四个结论：①存在H ,使得任意P ,都有AH HP ⊥.②对于任意点H ,都不存在点P ,使得平面AHP ⊥平面11A B C .③(),f x y 的最小值为3.④当(),f x y 取最小时,过点,,A H P 作三棱柱的截面,则截面周长为56.其中,所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知ABC 的顶点坐标为()()()1,52,14,3A B C ---､､.（1）求过点B 且与直线AC 平行的直线的方程.（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.（3）求AB 边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥底面,ABC D 是11A C 的中点,且12AC BC CC ===.（1）求证：1BC ∥平面1AB D .（2）若AC BC ⊥,求直线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值.（3）若AC BC ⊥,求平面1AB D 与平面11ACC A 所成角的余弦值.18.（本小题14分）设ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小.（2）从下列三个条件中选择一组作为已知,使ABC 存在且唯一,并求ABC 的面积.条件①：3,sin 2sin b C A ==.条件②：21,5b a ==.条件③：217b C ==.注：如果选择的条件使ABC 不存在或不唯一,第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =+,且()f x 的图像过点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.（2）若函数()f x 在π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点,求实数m 的取值范围.（3）设函数()()()g x f x t t =-∈R ,记函数()g x 在π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,求()M t 的最小值及此时t 的值.20.（本小题15分）如图,已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为4的正方形,CD ⊥平面,PAD PAD 是正三角形,,,,E F G O 分别为,,,PC PD BC AD 的中点.（1）求证：PO ⊥平面ABCD .（2）求点A 到平面EFG 的距离.（3）线段PC 上是否存在点M ,使得三棱锥M EFG -的体积为33,若存在,求PM PC 的值,若不存在,说明理由.21.（本小题15分）给定正整数2n ≥,设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣.对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β= 和()12,,,n y y y γ= ,记1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ .设A M ⊆,且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣,对于A 中任意元素,i j αα,若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(),T n p .（1）判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ,集合()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =是否具有性质()4,2T ,（直接写出答案,结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质()4,T p 的集合A ,并加以证明.（3）若集合A 具有性质(),T n p ,证明：()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题,每小题4分,共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B 二､填空题（共5小题,每小题5分,共25分）12.()1,3,013.()2,1,0-（不唯一,共线即可）14.2-,()6,5-（注：第一问3分,第二问2分）15.①③④（注：对一个2分,两个3分,有选错0分）三､解答题（共6小题,共85分）16.（共13分）解：（1）直线AC 的斜率532145AC k -==---过点B 且与直线AC 平行的直线的斜率为25-过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()21225905y x x y +=-+⇒++=（2）设BC 边的中点为D ,因为()()2,14,3B C --､.所以点D 的坐标为2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()1,1D .51211AD k -==---所以BC 边的中线所在直线方程为()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为15621AB k --==-+.所以AB 边的高线所在直线的斜率为16-.因此AB 边的高线所在直线方程为()13462206y x x y -=--⇒+-=.17.（共14分）（1）证明：连接1A B ,设11A B AB E ⋂=,连接DE .由111ABC A B C -为三棱柱,得1A E BE =.又D 是11AC 的中点,所以DE 是11ΔA BC 的中位线.1BC ∴∥DE .1BC ⊄ 平面1,AB D DE ⊂平面1AB D .1BC ∴∥平面1AB D .（2）解：1CC ⊥ 底面,ABC AC BC ⊥.以C 为原点,1,,CA CB CC 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B .()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D .()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 设平面1AB D 的法向量为(),,n x y z =由12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,得()2,1,1n = .设直线1CC 与平面1AB D 所成角为θ.则1116sin cos ,6n CC n CC n CC θ⋅=<>== .∴直线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值为66.（3）设平面1AB D 与平面11ACC A 所成角为,αα为锐角.平面11ACC A 的法向量为()0,1,0m = .6cos cos ,6n m n m n m α⋅=<>== .平面1AB D 与平面11ACC A 所成角余弦值为66.18.（共14分）解：（1）sin cos b A B = ,由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin cos B A A B =.在ABC 中,sin 0,tan A B ≠=.()0,πB ∈ .π3B ∴=.（2）若选①,sin 2sin ,2C A c a== 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得222944cos a a a B =+-.解得a c ==1sin 22S ac B ∴==.若选③,217b C == ()57sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：4c =1sin 2S bc A ==选择②,面积公式2分,余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意,2πππ3sin 2cos 2063624f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解得a =()22cos f x x x ∴=+.cos21x x =++.π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.()f x 的最小正周期2ππ2T ==.()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2） 函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点所以,函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.又因为ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦所以ππ262m +≥,解得π6m ≥.∴实数m 的取值范围是π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（3）()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦当ππ262x +=时,()f x t -取最大值3t -当π3π262x +=时,()f x t -取最小值1t --所以,当1t ≤时,()3M t t=-当1t >时,()1M t t =+所以,当1t =时,min ()2M t =20.（共15分）（1）证明：因为PAD 是正三角形,O 是AD 的中点.所以PO AD ⊥.又因为CD ⊥平面,PAD PO ⊂平面,PAD CD PO ⊥.,,AD CD D CD AD ⋂=⊂平面ABCD .所以PO ⊥面ABCD .解：（2）因为,,OA OG OP 两两互相垂直.以O 点为原点,,,OA OG OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,O A B C D P --.(((),,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-== 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =.由2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ,得)n =(AE =- .点A 到平面EFG的距离AE n d n⋅== （3）设11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,12,4M EM λλλλ--=--- 所以点M 到面EFG的距离为定值2PF n d nλ⋅==-cos ,2||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>==- .1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=11sin ,363M EFG EFG V S h EF EG EF EG h -==<>= .解得：14PM PC λ==或34.21.（共15分）（1）集合A 具有性质()3,2T .集合B 不具有性质()4,2T .（2）当4n =时,集合A 中的元素个数为4.由题设{}0,1,2,3,4p ∈.假设集合A 具有性质()4,T p ,则①当0p =时,(){}0,0,0,0A =,矛盾.②当1p =时,()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =,不具有性质()4,1T ,矛盾.③当2p =时,()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆.因为()1,1,0,0和()0,0,1,1至多一个在A 中,()1,0,1,0和()0,1,0,1至多一个在A 中,()1,0,0,1和()0,1,1,0至多一个在A 中,故集合A 中的元素个数小于4,矛盾.④当3p =时,()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =,不具有性质()4,3T ,矛盾.⑤当4p =时,(){}1,1,1,1A =,矛盾.综上,不存在具有性质()4,T p 的集合A .（3）记()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= ,则12n c c c np +++= .若0p =,则(){}0,0,,0A =,矛盾.若1p =,则(){}1,0,0,,0A = ,矛盾.故2p ≥.假设存在j 使得1j c p +,不妨设1j =,即11c p +.当1c n =时,有0j c =或()12,3,,j c j n == 成立.所以12,,,n ααα 中分量为1的个数至多有()1212n n n n np +-=-<.当11p c n +<时,不妨设11211,111,0p n t t t t +===== .因为n n p αα⋅=,所以n α的各分量有p 个1,不妨设23,11n n n p t t t +==== .由i j ≠时,1i j αα⋅=可知,{}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 中至多有1个1.即121,,,p ααα+ 的前1p +个分量中,至多含有121p p p ++=+个1.又()11,2,,1i n i p αα⋅==+ ,则121,,,p ααα+ 的前1p +个分量中,含有()()1122p p p +++=+个1,矛盾.所以()1,2,,j c p j n = .因为12n c c c np +++= .所以()1,2,,j c p j n == .所以()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .。
