切换系统来源于实际控制系统,所以对其研究不但是现代控制理论发展的需要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统,切换系统在运行过程中,切换规则起着重要作用,不同的切换规则将导致完全不同的动态特征:若干个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子系统在适当的切换下可使整个系统稳定,即其子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性.
1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析的综述文章,并归结为如下三个基本问题:
问题1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件;
问题2:切换系统在受限切换下是否渐近稳定;
问题3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定.
以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。
我们在研究切换系统稳定性的时候，大多围绕这三个问题展开.在对控制系统进行分析的过程中，已经有了很多的研究方法，在研究切换系统的稳定性时，我们经常用到的方法有：单Lyapunov 函数方法，共同Lyapunov 函数方法，多Lyapunov 函数方法，共同控制Lyapunov 函数方法，backstepping 方法，LMI等。
切换系统基本知识
定义1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式
ẋ=fσ（x）（1）其中这里{f p：p∈P}是一族R n→R n的充分正则函数，σ：[0,+∞)→P是关
于时间的分段.常值函数，称为切换新号。σ有可能取决于时间t或状态x
（t）
，或两者都有。P是某个指标集。以下非特别指明假设P都是有限集。如果这里所有的子系统都是线性的，我们就得到一个线性切换系统，
ẋ=Aσ(x)（2）
1任意切换下稳定
很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系统都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。
存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。共同Lyapunov 函数法与传统的Lapunov直接法基本是一致的。其主要思想是:对于切换系统，如果各子系统存在共同Lyapunov函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定的。
定理1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具，具体如下:
对于切换系统（1），如果存在正定连续可微的函数V：R n→R n，正定连续的函数W：R n→R n，满足
V(x)=∂V
∂x
f p(x)≤−W(x) ∀x，∀p∈P
那么显然系统是稳定(渐近稳定)的。如果V (x )是径向无界的，则结果是全局的。因此，这样一个Lapunov 函数(称为共同Lyapunov 函数)是研究切换系统的一个重要课题。对于线性系统 (1)，一般要找的是二次Lyapunov 函数。
定义 2给定一组稳定矩A i ，i ∈Q ，若存在一个正定矩阵P>0使得
A i T P +PA i <0，∀i ∈Q
则称它为A i ，i ∈Q 的一个共同二次Lyapunov 函数。
引理 1如果切换系统的子系统存在不稳定的凸组合，
ẋ=∑μi f i （x ）n
i=1
其中，μi >0 ，∑μi =1n i=1，那么该切换系统不具有共同Lyapunov 函数。由以上引理可见，切换系统存在共同Lyapunov 函数V (x )的必要条件为切换系统的子系统的凸组合均稳定。
另外，对于下列一对二阶渐近稳定的线性系统还有以下充分必要条件。
ẋ=A i (x )，A i ∈R 2×2，i =1,2
考虑两个子系统的矩阵凸组合
γα(A 1，A 2)≜αA 1+(1−α)A 2，α∈（0,1）
定理 2一对二阶渐近稳定的线性切换系统具有共同二次Lyapunov 函数当且仅当γα(A 1，A 2)和γα(A 1，A 2−1)中的矩阵都稳定。
定理3 如果{A p ：p ∈P}是由一些可交换的Hurwitz 矩阵组成的有限集，那么这个相应的线性切换系统（2）是全局一致指数稳定的。
令{A 1,A 2,….，A m }是一个给定的由交换的Hurwitz 矩阵构成的集合，令P 1是下面的Lyapunov 方程的唯一的正定解
A 1T P
1+P 1A 1=−I 对于i=1,…,m ，令P i 是下面的Lyapunov 方程的唯一的正定解
A i T P i +P i A i =−P i−1
然后函数
V (x )=x T P m x
是所期望的给定的线性切换系统（2）的一个二次共同Lyapunov 函数。P m 由以下公式给出 P m =∫e
A m T t m …(∫e A 1T
t 1∞0e A 1t 1dt 1)∞
0…e A m t m dt m
由于A i ，i =1,…,m 是可交换的，所以我们可以将上式可以重新写成下面的形式
P m =∫e A i T
t i ∞0Q i e A i t i dt i
这里Q i >0。
定理4 如果{f p ：p ∈P}是由可交换的一次连续可微的斜向量场组成的有限集，并且所有的子系统的原点是一个全局渐进稳定的平衡点，那么交换的切换系统（1）
是全局一致渐进稳定的。
这里没有给出共同Lyapunov 函数的明确结构，有两种方法能够构造这样的一个函数，但是，他们都要依靠更强的条件：系统（1）的各子系统是指数稳定的。并且仅仅给出一个局部的共同Lyapunov 函数。
方法一 考虑这样一个线性化的矩阵
A p :=∂f p ∂x (0)，p ∈P .
如果非线性的斜向量场可交换，那么线性化的矩阵A p 也可交换。（假设f p ∈C 1，f p (0)=0，∀p ∈P ）。
线性化的矩阵可交换是一个弱解条件。矩阵A p 是Hurwitz 的当且仅当斜向量场f p 是指数稳定的。这样对于线性化的系统的一个二次共同Lyapunov 函数，就可以作为这个有限子族非线性系统原点处的一个局部的共同Lyapunov 函数。 方法二 令P ={1,…,m}，系统（1）的各子系统f p 是指数稳定的。对于任意的p ∈P ，令φp （t ，z ）表示系统ẋ=f p （x ）满足初始条件x (0)=z 的解，定义
V 1（x ）≔∫|φ1（τ，z ）|2
T
0dτ
V i （x ）≔∫V i−1（φi （τ，z ））T 0dτ， i=2,…,m
这里T 是一个足够大的正常数。那么V m 是一个各子系统的局部共同Lyapunov 函数。如果函数f p ：p ∈P 满足全局Lipschitz 条件，，那么我们就得到一个全局的共同Lyapunov 函数。
定理 5（共同Lyapunov 存在逆定理）假设切换系统（1）是全局一致渐进稳定的，集合{f p （x ）：p ∈P}对∀x 有界，函数f p （x ）对于x 和一致的p 满足局部Lipschitz 条件，那么这个系统的各子系统有一个径向无界的光滑的共同Lyapunov 函数。
2受限切换稳定
多Lyapunov 函数法是Branicky 从切换系统的特点出发提出的，这是因为共同Lyapunov 要满足的条件往往过强，实际系统中存在共同Lyapunov 函数的情形并不多见，而且很多切换系统虽然不存在共同Lyapunov 函数，却可以选择适当
