热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识

1. 热传导的基本概念1.1温度场一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导，即产生热流。

因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。

温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。

因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。

〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳态的导热状态。

若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。

若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为一维稳态温度场。

1.2 等温面在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。

因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。

1.3 温度梯度从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。

温度随距离的变化程度沿法向最大。

温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。

〖说明〗温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。

稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅立叶定律物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。

傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。

定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表面的面积，m2λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度“－”表示热流方向与温度梯度方向相反3. 导热系数将傅立叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。

因此，导热系数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。

其大小取决于物质的组成结构、状态、温度和压强等。

导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。

3.1 固体的导热系数金属：35～420W/(m·℃)，非金属：0.2～3.0W/ (m·℃)〖说明〗固体中，金属是最好的导热体。

纯金属：t↗，λ↘；金属：纯度↗，λ↗非金属：ρ，t↗，λ↗。

对大多数固体，λ值与温度大致成线性关系：λ=λ0（1+βt）式中：λ是固体在温度为 t℃时的导热系数，W/(m·℃)λ0是固体在温度为0℃时的导热系数，W/(m·℃)β是温度系数，大多数金属：β<0，大多数非金属：β>03.2 液体的导热系数液体导热系数：0.07～0.7W/(m·℃)t↗，λ↘（水、甘油除外）★金属液体：其λ比一般液体高，其中纯Na最高★非金属液体：纯液体的λ比其溶液的大3.3 气体的导热系数气体的导热系数：0.006～0.67W/(m·℃)温度的影响：t↗，λ↗P的影响：★一般压强范围内，λ随压强变化很小，可忽略★过高（>2×105kPa）、过低（<3kPa）时，P↗，λ↗气体的导热系数小，对导热不利，但有利于保温、绝热3.4 影响导热系数的因素不同的物体有不同的λ，λ金属> λ固> λ液> λ气（与分子距离有关）；同种物体的化学组成愈纯、λ越大；如纯铜λ=330[千卡/米·时·℃]，如纯铜中含有微量的砷时λ=122[千卡/米·时·℃]；内部结构愈紧密、λ值愈大；如聚异氰酸酯塑料λ=0.18[千卡/米·时·℃],而聚异氰酸酯泡沫塑料（低温保冷材料）的λ=0.015～0.023[千卡/米·时·℃]；物理状态：λ冰=1.93[千卡/米·时·℃]，λ水=0.49[千卡/米·时·℃]，λ水蒸气=0.0139[千卡/米·时·℃]；湿度：湿材料的导热系数比同样组成的材料要高。

因为湿材料含水多，而干材料有空气。

（λ水>λ气）；温度：气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大。

大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低；压强：因为液体可视为不可以压缩，因此压强影响可以忽略。

压强对气体的影响（高于2×105[kPa]或低于3[Kpa]）下，才考虑压强的影响，此时导热系数随压强增高而变大。

导热本质是分子振动传热，它取决于物质（分子排列）的疏松程度和温度（分子振动的速度）。

矛盾的主要方面决定事物的性质，所以气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大；大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低。

在工程计算时，温度的变化在不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：λ = λo(1+b t )式中：t 为温度λo为温度为0℃时的导热系数b是由实验测定的常数。

在实际计算时，一般可以取其平均温度时的导热系数的数值，在计算中作为常数处理。

按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350℃，导热系数的数值不大于0.12W/M·K材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。

特点：是内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体。

但由于其空隙细小，气体在其内部可视为静止的，主要以导热的方式传热，高温时还伴有辐射方式。

气体导热系数小，最终使得整个隔热材料的导热系数（也称表观导热系数）的数值非常小，达到隔热保温的作用。

影响因素：对绝热保温材料，除了要考虑温度的影响以外，还必须注意到湿度的影响。

在使用这类绝热保温材料的场合，必须要注意防潮。

热传导方程--抛物型偏微分方程简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。

热传导方程是最简单的一种抛物型方程。

热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。

根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程[507-01](1)式中是温度;[kg2]是拉普拉斯算符;是导温系数;[507-00]；[kg2]是热传导系数；[kg2]分别是比热和密度；[507-03]；是外加热源密度自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。

定解问题 为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。

初始条件：[507-04] (2) 边界条件，最通常的形式有三类。

第一边界条件（或称狄利克雷条件）：[507-05] (3)即表面温度为已知函数。

第二边界条件（或称诺伊曼条件）：[507-06] (4)式中是的外法向，即通过表面的热量已知。

第三边界条件（或称罗宾条件）：[508-01](5)式中≥0；即物体表面给定热交换条件。

除了以上三类边界条件外还可以在边界[kg1]上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。

方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。

若≡,[kg2]则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。

基本解与格林函数 基本解是点热源的影响函数。

如果在=0时刻在(,,)处给定单位点热源,即(,，,0)=(,,)（是狄克函数），则当>0时由它引起的在全空间的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。

通过傅里叶变换可以得到它的表达式。

当>0时[508-02][508-03]热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成[508-04][508-05][508-06]。

对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在(,,)处给定一个单位点热源(,,,0)=(，，),当>0时由它引起在内的温度分布（即热传导方程的解）称为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作(-,-,-,)。

根据格林公式[508-07][508-08]，式中是的共轭算子，[508-09]任意第一边值问题(1)(2)、(3)的解都可通过格林函数表为[508-10][508-11][508-12]；格林函数可以通过基本解来表示：[508-13][508-14]这里[508-15]时是一个定义在×[0,∞)上的充分光滑函数。

对于一维问题或为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法去求得。

极值原理 一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中≥0）,它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。

事实上，还可以有更强的结论：①如果在=[kg1][kg1]时在内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻以前(即<时)整个物体的温度等于常数，这就是所谓的强极值原理；②如果这个最低温度只在[kg1]=[kg1][kg1]时刻的某一边界点[kg1][kg1]达到，那么在这一点上[508-16](是的外法向)，此即所谓的边界点引理。

极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用，它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。

至于初值问题(1)(2)的解的惟一性,它与解在无穷远点的性态有关。

如果对于初值问题(1)(2),附加上无穷远点增长阶的限制[508-17]，这里，是任意给定正常数,那么由极值原理可以证明初值问题(1)、(2)的解必惟一。

解的正则性（光滑性） 若≡0，则由初值问题解的表达式可看出,若(,,)有界连续,则初值问题(1)、(2)的解(,,,)当>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量，，是解析的，关于时间变量属于谢弗莱二类函数，即在｜｜<内满足[508-18]当0时,热传导方程解的可微性质与[kg1]的性质有关,例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定(,，,)连续以外,还要求对，，或对是赫尔德连续的。

解的渐近性如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即[508-19])，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当→∞时,不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布(,,)），它是椭圆边值问题：[508-23][508-24]的解。

解的半群性质 热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。