一元二次不等式地解法课件

一元一次不等式及其解法（课件）一、教学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．二、重、难点：1.一元二次不等式的解法2.一元二次不等式恒成立问题3.一元二次不等式的实际应用三、教学过程：1.基础知识梳理：1): 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：有两相等实根x＝x2＝－1{x|x≠－ }2):用一个程序框图来表示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程：2.课堂互动讲练：1）.课前热身训练1．(2009年高考安徽卷)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是( )A．{1,2,3} B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}2．设p：x2－x－20>0，q：1－x2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.不等式2≤x2－2x<8的解集是________．4．已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为________．5. 若a<0，则不等式x2－2ax－3a2<0的解集为______．2）.考点归纳考点一：一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．典型例题解析：例一：解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3<0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.【思路点拨】首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集．解析：(1)∵Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－8<0.∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根．∴2x2＋4x＋3<0的解集为∅.(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥43 .∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式等价于16x2－8x＋1≤0⇔(4x－1)2≤0.∴只有当4x－1＝0，即x＝14时不等式成立，故不等式解集为{14 }．点评：对于解一元二次不等式首先必须化二次项系数为正，然后再根据判别式来求解。

考点二：含有参数的一元二次不等式的解法对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．典型例题分析：例二：解关于x的不等式(1－ax)2<1.【思路点拨】将不等式左边化成二次三项式，右边等于0的形式，并将左边因式分解，据a的取值情况分类讨论．解析：由(1－ax)2<1得a2x2－2ax＋1<1.即ax(ax－2)<0.(1)当a＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2) (2)当a<0时，不等式转化为x(ax－2)>0，即x(x－2a)<0.∵2a<0，∴不等式的解集为{x|2a<x<0}．(3)当a>0时，不等式转化为x(ax－2)<0，又2a>0，∴不等式的解集为{x|0<x<2a }．综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a<0时，不等式解集为{x|2a<x<0}；当a>0时，不等式解集为{x|0<x<2a }．【误区警示】(1)讨论不全面，如仅按a>0和a<0两种情况讨论；(2)当a<0时，x系数化1时不等号方向未变向；(3)讨论结束后未按讨论的情况作出结论，或将各种结果求并作答．考点三：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．典型例题分析：例三：已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论．解析：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.方法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ>0a ≤－1g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1.点评：熟悉一元二次方程的求解方法，同时对一元二次函数图像分析一定要清晰明了。

考点四：一元二次不等式的实际应用不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要理清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键．典型例题分析：例四：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【思路点拨】 表示税率调低后的税收收入→列不等关系→解不等式→得结论 解析：设税率调低后的税收总收入为y 元， 则y ＝2400m (1＋2x %)×(8－x )% 由题意知，0<x ≤8，要使税收总收入不低于原计划的78%， 须y ≥2400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2， 又0<x ≤8，∴0<x ≤2，所以，x 的取值范围是(0,2].点评及小结：不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)解不等式．(4)回归实际问题．3.课堂练习：1），基础练习：1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a2．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是 （ ）A ．b a 11>B ．ab a 11>- C ．3131b a <D ．3232b a >3．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ）A ．最小值21和最大值1B ．最小值43和最大值1C ．最小值21和最大值43D ．最小值15. 已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．提高练习：6. 要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m ，4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 ．7. 设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a8. 设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值． 9. 设集合},0)2(2|{},045|{22=++-=>+-=a ax x x B x x x A若A B ≠ ，求实数a 的取值范围．高考题链接：10. (2009·天津高考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．11. (2009·山东高考)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为 ( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)12. (本题满分8分)2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，某超市从2008年1月1日开始代销某种奥运会纪念品，记2008年1月1日为x ＝1,1月2日为x ＝2，依次类推，经过10天的销售，超市得到日销售P 可用函数P=615830012++-x x 来模拟，已知每销售一个纪念品，超市获利2元，试问该超市销售该纪念品有多少天日获利不少于500元？4.课后练习：一：选择题1．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4-<aB ．4->aC ．12->aD ．12-<a2．若)21,0(∈x 时总有,0)21(log 12>--x a 则实数a 的取值范围是（ ）A ．1||<aB ．2||<aC ．2||>aD ．2||1<<a3．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间 以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲 乙两人谁先到达指定地点 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．甲乙同时到达 D ．无法判断4．设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值（ ）A ．8，3B ．4，2C ．6，4D ．1，05．设f (x )是奇函数，对任意的实数x 、y ，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当则f (x )在区间[a ,b ]上 （ ） A ．有最大值f (a ) B ．有最小值f (a )C ．有最大值)2(b a f +D ．有最小值)2(ba f +6. 与不等式同解的不等式是[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0二：填空题7. 已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．8．已知=-+⋅-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,7234,20221 ．9．函数11)(22+++=x x x x f 的值域为 ．三：解答题10. 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋211. 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．12．一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．C ．≥230--x x ≤，若，求的范围．0}B A a ⊆。