2018年一轮复习课时作业:平面向量的数量积及其应用
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第四章§3:平面向量的数量积及平面向量的应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100,训练时间45钟一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x)满足条件(8a -b)·c =30,则x 等于A .6B .5C .4D .32.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∠B =45°,AB =2CD =2,M 为腰BC 的中点,则M A →·M D →等于A .1B .2C .3D .43.已知向量|a|=|b|=3,且(a +b)·(2a -b)=92,则b 在a 方向上的投影等于 A .-332 B .-32 C .32 D .3324.已知向量O A →=(3,1),O B →=(cosθ,sinθ),θ∈R ,其中O 为坐标原点,则△AOB 面积的最大值为A .2B . 3C .1D .325.在△ABC 中,(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,则三角形ABC 的形状一定是A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.a =(2,1),b +a =(1,k),若a ⊥b ,则实数k =________.7.已知向量a ,b 满足|a|=|b|=1,|2a -b|=2,则a 与a +b 的夹角的余弦值为________.8.在△ABC 中,BC →=a ,CA →=b ,AB →=c ,已知a·b =a·c =b·c ,则△ABC 的形状是________.三、解答题:本大题共2小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分18分,(1)小问5分,(2)小问6分,(3)小问7分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b.求(b·c)·a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知向量m=(3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(23,1).(1)若m∥p,求sinx·cosx的值;(2)△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角θ的取值集合为M.当x∈M时,求函数f(x)=m·n的值域.参考答案及其解析一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分.1.解析:(8a -b)=(8,8)-(2,5)=(6,3),∴由(8a -b)·c =30得6×3+3x =30,∴x =4. 答案:C2.解析:由已知得|B C →|=2,B A →,B C →夹角为45°,∴M A →·M D →=(12CB →+B A →)·(-12C B →+CD →) =-14C B →2+12C B →·C D →-12C B →·B A →+B A →·CD → =-12+12C B →·(12B A →)-12C B →·B A →+|BA →|·|CD →|·cos0° =-12-14C B →·B A →+2=32-14·2·2·cos135°=2. 答案:B3.解析:设a 与b 的夹角为θ,∵(a +b)·(2a -b)=92, ∴2a 2+a·b -b 2=92. 又∵|a|=|b|=3,∴2×9+3×3cosθ-9=92, ∴cosθ=-12. ∴b 在a 方向上的投影为|b|cosθ=3×(-12)=-32. 答案:B4.解析:|OA →|=2,|OB →|=1,cos 〈O A →,O B →〉=O A →·O B →|OA →||OB →|=sin(π3+θ), S △AOB =12|O A →||O B →|sin 〈O A →,O B →〉=12×2×1×1-[sin (π3+θ)]2, 当sin(π3+θ)=±1时,△AOB 面积有最大值,且最大值为1. 答案:C5.解析:∵(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,∴(BC →+BA →)·AC →-AC →2=0,∴(BC →+BA →-AC →)·AC →=0,∴(BC →+BA →+CA →)·AC →=2BA →·AC →=0,∴BA →⊥AC →.∴∠A =90°,∴△ABC 为直角三角形.答案:C二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.解析:由已知得b =(1,k)-a =(-1,k -1),又a ⊥b ,∴a·b =0,∴-2+k -1=0,k =3.答案:37.解析:∵|2a -b|2=4,∴4a 2-4a·b +b 2=4,∴4a·b =1,即a·b =14. ∴(a +b)2=a 2+b 2+2a·b =2+12=52, ∴|a +b|=102. ∴cos θ=a·(a +b )|a|·|a +b|=1+14102=104. 答案:1048.解析:∵a·b =a·c ,∴a·(b -c)=0,如图,∠CBD =π2, ∴|AB →|=|AC →|,同理|AB →|=|BC →|,|BC →|=|AC →|.∴△ABC 为正三角形.答案:正三角形三、解答题:本大题共2小题,共36分.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵a =(1,2),b =(2,-2),∴c =4a +b =(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c =2×6-2×6=0,∴(b·c)·a =0·a =0.(2)a +λb =(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a +λb 与a 垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ,向量a 在b 方向上的投影为|a|cosθ. ∴|a|cosθ=a·b |b|=1×2+2×(-2)22+(-2)2=-222=-22.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵m ∥p ,∴3sinx -23cosx =0.∴tanx =2.∴sinx·cosx =sinxcosx sin 2x +cos 2x =tanx tan 2x +1=25. (2)f(x)=m·n =3sinxcosx +cos 2x =32sin2x +12cos2x +12=sin(2x +π6)+12. ∵b 2=ac ,∴cosB =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -ac 2ac =12. ∴0<B ≤π3, ∴M ={θ|0<θ≤π3}. ∵x ∈M ,∴π6<2x +π6≤5π6. ∴1≤f(x)≤32,即f(x)的值域为[1,32].。
第 03节 平面向量的数量积及其应用A 基础巩固训练1.若向量 a2,0,b1,1,则下列结论正确的是()A . a b 1 B.| a || b | C . (a b ) b D . a //b【答案】C 【解析】计算得 a b 2 ,| a | 2| b |, a b (1,1), (a b )b 11 0 ,故选C .2.若 a 1, b 2,且a ba,则 a 与b 的夹角是( )A.6B.3 C.5 6D.2 3【答案】D3.ABC 中,D 是 BC 中点, AD m , BC n ,则 AB AC 等于() A . m 21 n2 B . m 2 1 n 2 C . 1 m 2 n 2D . 122mn4444【答案】A n 【解析】由已知BD DC, DCDB , 2222n 221 2AB AC (AD DB )(AD DC ) (AD DB )(AD DB ) AD DBm ( ) m n24.4.【湖北卷】已知向量OA AB ,| OA | 3,则OA OB.【答案】9【解析】因为OA AB,|OA|3,- 1 -所以OA OB OA(OA AB ) | OA |2 OA OB | OA |2 32 9 .5.【 2017课 标 1, 理 13】 已 知 向 量 a , b 的 夹 角 为 60°, |a |=2, |b |=1, 则 | a +2 b |=.【答案】 2 3B 能力提升训练1.【重庆卷】已知非零向量 a ,b 满足|b |=4|a |,且a(2a +b ) 则 a 与b 的夹角为( ) A.3B.2C.2 3D. 56【答案】C2【解析】由已知可得 a (2a b ) 0 2a a b 0,设 a 与b 的夹角为 ,则有222 a 4 a122a ab cos,又因为[0, ],所以cos 0,故选 C.2232.【2017浙江台州 10月】已知O 为原点,点 A , B 的坐标分别为 (a ,0), (0,a ),其中常数a ,点 P 在线段 AB 上,且 AP t AB (0 t 1) ,则OA OP 的最大值是( )aB.a2A.C.2aD.3a【答案】A.【解析】∵AP t AB,∴OP OA t(OB OA)OP(1t)OA tOB,- 2 -OAOPt OA tOBOAt a ,∴当t0时,OA OP 的最大值是 a 2 ,故选[(1 )](1 )2∴ A.3.已知O 是边长为1的正三角形 ABC 的中心,则 (OA OB ) (OA OC ) __________【答案】 1 6【解析】, a 2 , b 3,且 a 2b 与 a b 垂直,则实数 的值为.4.已知 ab9【答案】 .2【解析】由已知得, (a2b )(ab ) 0,则有a (2 1)a b2b 022,,又因为 a b则 a b 0 ,所以4 18 0 ,9. 25.【2016高考浙江理数】已知向量 a 、b , |a | =1,|b | =2,若对任意单位向量 e ,均 有 |a ·e |+|b ·e | 6 ,则 a ·b 的最大值是.【答案】12【解析】| (a b) | | a | | b | 6 | a b |6 | a |2 | b |2 2a b 6 a b 1 e e e2,即最大值为12.C 思维拓展训练11.【福建卷】已知AB AC,AB ,ACtt ,若P点是ABC所在平面内一点,且- 3 -APAB 4AC,则 PB PC 的最大值等于()ABACA .13B .15C .19D .21【答案】A1即t时取等号.22.在边长为 2 的正方形 ABCD 中, 动点 M 和 N 分别在边 BC 和CD 上, 且1 BMBC , DNDC41,则的最小值为 .AM BN【答案】 1【解析】B N BD DNAD ABDC4 1因为 AM AB BMABBC , 4.注意到AB DC , AB BC242432,所以,令AM BN BC AB4()414125441t t41t1tt t4,则,当且仅当取等AM BN t54512,号.- 4 -3.已知在直角三角形ABC中,ACB90,AC BC2,点P是斜边AB上的一个三等分点,则CP CB CP CA.【答案】4.4.【上海卷】已知平面向量a、b、c满足a b,且{|a|,|b|,|c|}{1,2,3},则|a b c|的最大值是.【答案】35【解析】因为a b,设a(1,0),b(0,2),c(3cos,3sin),[0,2),所以a b c(13cos,23sin),所以|a b c|2(13cos)2(23sin)21465sin(),其中65sin ,655所以当sin()1时,|a b c|取得最大值,即146535.5.【2017河北定州】已知向量a1,2,b3,4.- 5 -(1)求a b与a b的夹角;(2)若a a b,求实数的值.3【答案】(1);(2).14【解析】- 6 -。
[时间:45分钟 分值:100分]基础热身1.已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),λa +b 与a 垂直,则λ=________. 2.若向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |=________.3.已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b ·(a -b )=0,则|b |的取值范围是________.4.在△ABC 中,若BC →=a ,CA →=b ,AB →=c 且a ·b =b ·c =c ·a, 则△ABC 的形状是____________.能力提升5.a =(2,3),b =(-1,-1),则a ·b =________.6.[2011·惠州三模] 已知向量|a |=10,|b |=12,且a ·b =-60,则向量a 与b 的夹角为________.7.若a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为________.8.[2011·苏北四市一调] 设a ,b ,c 是单位向量,且a =b +c ,则向量a ,b 的夹角等于________.9.[2011·镇江统考] 已知Rt △ABC 中,斜边BC 长为2,O 是平面ABC 内一点,点P 满足OP →=OA →+12(AB →+AC →),则|AP →|=________.10.平面向量a =(x ,y ),b =(x 2,y 2),c =(1,1),d =(2,2),若a·c =b·d =1,则这样的向量a 有________个.11.在△ABC 中,C =π2,AC =1,BC =2,则f (λ)=|2λCA →+(1-λ)CB →|的最小值是________.12.[2011·南通一模] 在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,-1),B (-3,-4)两点.若点C 在∠AOB 的平分线上,且|OC →|=10,则点C 的坐标是________.13.(8分)[2011·南通一模] 已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,|a -b |=2. (1)求a ·b 的值; (2)求|a +b |的值.14.(8分)已知|a |=2,|b |=3,a 与b 夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为钝角时,λ的取值范围.15.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2)、B (2,3)、C (-2,-1).(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t 满足(AB →-tOC →)·OC →=0,求t 的值.16.(12分)已知向量m =(3sin x 4,1),n =cos x4,cos 2x4.(1)若m ·n =1,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-x 的值;(2)记f (x )=m ·n ,在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,求函数f (A )的取值范围.课时作业(二十四)【基础热身】 1.-1 [解析] λa +b =(λ+4,-3λ-2),因为λa +b 与a 垂直,所以λ+4+9λ+6=0,故λ=-1.2.7 [解析] |5a -b |=5a -b 2=25a 2-10a ·b +b 2=25+10×1×3×12+9=7.3.[0,1] [解析] ∵b ·(a -b )=0,∴a ·b =b 2,即|a ||b |·cos θ=|b |2,当b ≠0时,∴|b |=|a |cos θ=cos θ∈(0,1].所以|b |∈[0,1].4.等边三角形 [解析] 由a ·b =b ·c =c ·a ,a +b +c =0,得AB =BC =CA ,所以△ABC 为等边三角形.【能力提升】5.-5 [解析] a ·b =2×(-1)+3×(-1)=-5.6.120° [解析] 由a ·b =|a ||b |cos θ=-60⇒cos θ=-12,故θ=120°.7.655 [解析] ∵cos θ=a ·b |a |·|b |=2×-4+3×74+9·16+49=55, ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ=22+32×55=655. 8.π3[解析] 由a ,b ,c 是单位向量,模都为1,a =b +c ⇒a -b =c ⇒(a -b )2=c 2⇒a 2+b 2-2a ·b =c 2⇒a ·b =12⇒|a ||b |cos θ=12⇒cos θ=12⇒θ=π3.9.1 [解析] 由OP →=OA →+12(AB →+AC →)⇒OP →-OA →=12(AB →+AC →)⇒AP →=12(AB →+AC →)⇒|AP →|=12|(AB →+AC →)|=12AB →2+2AB →·AC →+AC →2.AB →⊥AC →⇒AB →·AC →=0,AB →2+AC →2=BC →2,BC =2. 故|AP →|=1.10.1 [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,x 2+y 2=12,其中x 2+y 2=12表示以原点O 为圆心,22为半径的圆,由点到直线的距离公式可得圆心到直线x +y =1的距离d =12=22,故直线与圆相切,只有一个交点,故满足条件的a 只有一个解.11. 2 [解析] 如图,以C 为原点,CA ,CB 所在直线为y 轴,x 轴建立直角坐标系,所以CA →=(0,1),CB →=(2,0),故2λCA →+(1-λ)CB →=(0,2λ)+(2-2λ,0)=(2-2λ,2λ),所以f (λ)=22λ2-2λ+1=22⎝⎛⎭⎪⎫λ-122+12,故最小值为2,在λ=12时取得.12.(-1,-3) [解析] 法一:设点的坐标是(,y ),且x <0,y <0,直线OB 方程为y =43x ,因点C 在∠AOB 的平分线上,所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等,从而|4x -3y |5=|x |.又x 2+y 2=10,解之得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-3,所以点C 的坐标是(-1,-3).法二:设点C 的坐标是(x ,y ),且x <0,y <0,则因点C 在∠AOB 的平分线上,所以由cos 〈OC →,OA →〉=cos 〈OC →,OB →〉得-y 1·10=-3x -4y 510.又x 2+y 2=10,解之得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1, y =-3,所以点C 的坐标是(-1,-3).13.[解答] (1)由|a -b |=2,得|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=4+1-2a·b =4,∴a·b =12.(2)|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=4+2×12+1=6,∴|a +b |= 6.14.[解答] 由条件知,cos45°=a·b|a|·|b|,∴a·b =3,设a +λb 与λa +b 的夹角为θ,则θ为钝角,∴cos θ=a +λb ·λa +b|a +λb |·|λa +b |<0,∴(a +λb )·(λa +b )<0. λa 2+λb 2+(1+λ2)a·b <0,∴2λ+9λ+3(1+λ2)<0,∴3λ2+11λ+3<0,∴-11-856<λ<-11+856. 若θ=180°时,a +λb 与λa +b 共线且方向相反, ∴存在k <0,使a +λb =k (λa +b ), ∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ=1,λ=k .∴k =λ=-1,∴-11-856<λ<-11+856且λ≠-1.15.[解答] (1)方法一:由题设知AB →=(3,5),AC →=(-1,1),则AB →+AC →=(2,6),AB →-AC →=(4,4).所以|AB →+AC →|=210,|AB →-AC →|=4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D ,两条对角线的交点为E ,则E 为B 、C 的中点,则E (0,1),又E (0,1)为A 、D 的中点,所以D (1,4).故所求的两条对角线的长分别为|BC →|=42,|AD →|=210;(2)由题设知:OC →=(-2,-1),AB →-tOC →=(3+2t,5+t ). 由(AB →-tOC →)·OC →=0,得(3+2t,5+t )·(-2,-1)=0,从而5t =-11,所以t =-115.16.[解答] (1)m ·n =3sin x 4·cos x 4+cos 2x 4=32sin x 2+12cos x 2+12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6+12.∵m ·n =1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6=12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6=12,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-x =-cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3=-12.(2)∵角A ,B ,C 成等差数列,∴B =π3.∴0<A <2π3,∴π6<A 2+π6<π2,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1. 又∵f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6+12,∴f (A )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+π6+12,故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32.。
5.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角,向量夹角的范围是[0,π]. 2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ²a =a ²e =|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ²b =0.(3)当a 与b 同向时,a ²b =|a ||b |; 当a 与b 反向时,a ²b =-|a ||b |. 特别地,a ²a =|a |2或|a |=a ²a .(4)cos θ=a ²b|a ||b |.(5)|a ²b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a²b =b²a ;(2)(λa )²b =a ²(λb )=λ(a²b )=λa²b (λ为实数); (3)(a +b )²c =a²c +b²c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a²b =x 1x 2+y 1y 2,由此得到 (1)若a =(x ,y ),则|a |2=x 2+y 2或|a |=x 2+y 2.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离AB =|AB →|= x 2-x 1 2+ y 2-y 1 2.(3)设两个非零向量a ,b ,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(4)若a ,b 都是非零向量,θ是a 与b 的夹角,则cos θ=a ²b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21 x 22+y 22. 【知识拓展】1.两个向量a ,b 的夹角为锐角⇔a²b >0且a ,b 不共线; 两个向量a ,b 的夹角为钝角⇔a²b <0且a ,b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a +b )²(a -b )=a 2-b 2. (2)(a +b )2=a 2+2a²b +b 2. (3)(a -b )2=a 2-2a²b +b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.( ³ )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a ²b =0可得a =0或b =0.( ³ )(4)在四边形ABCD 中,AB →=DC →且AC →²BD →=0,则四边形ABCD 为矩形.( ³ ) (5)两个向量的夹角的范围是[0,π2].( ³ )1.设a ,b ,c 为平面向量,有下面几个命题: ①a ²(b -c )=a²b -a²c ; ②(a²b )²c =a²(b²c ); ③(a -b )2=|a|2-2|a||b |+|b |2; ④若a²b =0,则a =0,b =0. 其中正确的有________个. 答案 1解析 由向量的数量积的性质知①正确;由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确;由(a -b )2=a 2-2a²b +b 2=|a |2-2|a||b |cos θ+|b |2知③不正确;对于④,∵a²b =|a||b |²cos θ=0,∴|a |=0或|b |=0或cos θ=0.∴a =0或b =0或a⊥b ,故④不正确. 2.(教材改编)已知△ABC 中,BC =4,AC =8,∠C =60°,则BC →²CA →=________. 答案 -16解析 画图可知向量BC →与CA →夹角为角C 的补角(图略),故BC →²CA →=BC ³AC cos(π-C )=4³8³(-12)=-16.3.(教材改编)已知向量a =(1,3),b =(3,m ).若向量a ,b 的夹角为π6,则实数m =________.答案3解析 ∵a²b =(1,3)²(3,m )=3+3m , 又a²b =12+ 3 2³32+m 2³cos π6,∴3+3m =12+ 3 2³32+m 2³cos π6,∴m = 3.4.(教材改编)已知向量a =(2,4),b =(1,1),若向量b ⊥(a +λb ),则实数λ的值是________. 答案 -3解析 b ²(a +λb )=b²a +λb²b =2³1+4³1+2λ=0⇒λ=-3.5.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 的中点,AE 与BD 交于点M ,AB =2,AD =1,且MA →²MB →=-16,则AB →²AD →=________.答案 34解析 因为AM →=23AE →=23(AD →+12AB →)=23AD →+13AB →, MB →=23DB →=23(AB →-AD →),所以AM →²MB →=(23AD →+13AB →)²23(AB →-AD →)=16,所以AB →²AD →=34.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016²江苏南京开学测试)已知在▱ABCD 中,AD =2,∠BAD =60°.若E 为DC 的中点,且AE →²BD →=1,则BD →²BE →的值为________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE →²CB →的值为________;DE →²DC →的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 1解析 (1)设AB =m (m >0),以向量AB →,AD →为基底,在▱ABCD 中,AB =m ,AD =2,∠BAD =60°,则AE →²BD →=(AD →+12AB →)²(AD →-AB →)=AD →2-12AB →²AD →-12AB →2=4-12m -12m 2,因为AE →²BD →=1,得m 2+m -6=0,因为m >0,所以m =2,所以BD →²BE →=BD →²(BC →+CE →)=(AD →-AB →)²(AD →-12AB →)=AD→2-32AB →²AD →+12AB →2=4-3+2=3,故BD →²BE →=3.(2)方法一 以射线AB ,AD 为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),设E (t,0),t ∈[0,1],则DE →=(t ,-1),CB →=(0,-1),所以DE →²CB →=(t ,-1)²(0,-1)=1. 因为DC →=(1,0),所以DE →²DC →=(t ,-1)²(1,0)=t ≤1, 故DE →²DC →的最大值为1.方法二 由图知,无论E 点在哪个位置,DE →在CB →方向上的投影都是CB =1,∴DE →²CB →=|CB →|²1=1,当E 运动到B 点时,DE →在DC →方向上的投影最大,即为DC =1, ∴(DE →²DC →)max =|DC →|²1=1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a²b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a²b =x 1x 2+y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016²全国丙卷改编)已知向量BA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,则∠ABC =________.(2)(2015²四川改编)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB →|=6,|AD →|=4,若点M ,N 满足BM →=3MC →,DN →=2NC →,则AM →²NM →=________. 答案 (1)30° (2)9解析 (1)∵|BA →|=1,|BC →|=1, cos∠ABC =BA →²BC→|BA →|²|BC →|=32,又∵0°≤∠ABC ≤180°,∴∠ABC =30°. (2)∵AM →=AB →+34AD →,NM →=CM →-CN →=-14AD →+13AB →,∴AM →²NM →=14(4AB →+3AD →)²112(4AB →-3AD →)=148(16AB →2-9AD →2)=148(16³62-9³42)=9. 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016²南京、盐城调研)在△ABC 中,A =120°,AB =4.若点D 在边BC 上,且BD →=2DC →,AD =273,则AC 的长为________.答案 3解析 令AC =b ,由题意得 AB →²AC →=4b cos 120°=-2b , 因为点D 在边BC 上, 且BD →=2DC →,所以AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →-AB →)=13AB →+23AC →,从而AD →2=(13AB →+23AC →)2,又因为AD =273,所以289=169+4b 29-8b 9,整理得b 2-2b -3=0,解之得b =3(b =-1舍去), 即AC 的长为3.(2)(2016²江苏启东中学阶段测试)已知向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且a 与b 的夹角等于150°,b 与c 的夹角等于120°,|c |=2,求|a |,|b |. 解 由a +b +c =0,得⎩⎪⎨⎪⎧a +b =-c ,b +c =-a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2+2a²b =c 2,b 2+c 2+2b²c =a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2+|b |2+2|a||b |cos 150°=4,|b |2+4+2²2²|b |cos 120°=|a |2,解之得|a |=23,|b |=4. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2016²南京、盐城调研)已知向量a ,b 满足a =(4,-3),|b |=1,|a -b |=21,则向量a ,b 的夹角为________.(2)若向量a =(k,3),b =(1,4),c =(2,1),已知2a -3b 与c 的夹角为钝角,则k 的取值范围是____________.答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-92,3 解析 (1)设向量a ,b 的夹角为θ,由|a -b |=21得, 21=(a -b )2=a 2+b 2-2a²b =25+1-10cos θ, 即cos θ=12,所以向量a ,b 的夹角为π3.(2)∵2a -3b 与c 的夹角为钝角, ∴(2a -3b )²c <0, 即(2k -3,-6)²(2,1)<0, ∴4k -6-6<0, ∴k <3.又若(2a -3b )∥c ,则2k -3=-12,即k =-92.当k =-92时,2a -3b =(-12,-6)=-6c ,即2a -3b 与c 反向.综上,k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-92,3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cos θ=a²b|a||b |,要注意θ∈[0,π].(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a ⊥b ⇔a²b =0⇔|a -b |=|a +b |. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a 2=a²a =|a |2或|a |=a²a . ②|a ±b |= a ±b 2=a 2±2a²b +b 2. ③若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2.(1)(2015²湖北)已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →²OB →=________.(2)在△ABC 中,若A =120°,AB →²AC →=-1,则|BC →|的最小值是________. 答案 (1)9 (2) 6解析 (1)因为OA →⊥AB →,所以OA →²AB →=0.所以OA →²OB →=OA →²(OA →+AB →)=OA →2+OA →²AB →=|OA →|2+0=32=9.(2)∵AB →²AC →=-1,∴|AB →|²|AC →|²cos 120°=-1, 即|AB →|²|AC →|=2,∴|BC →|2=|AC →-AB →|2=AC →2-2AB →²AC →+AB →2 ≥2|AB →|²|AC →|-2AB →²AC →=6, ∴|BC →|min = 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2016²南通调研)已知△ABC 是锐角三角形,向量m =(cos(A +π3),sin(A +π3)),n=(cos B ,sin B ),且m⊥n . (1)求A -B 的值;(2)若cos B =35,AC =8,求BC 的长.解 (1) 因为m ⊥n ,所以m²n =cos(A +π3)cos B +sin(A +π3)sin B=cos(A +π3-B )=0.又A ,B ∈(0,π2),所以A +π3-B ∈(-π6,5π6),所以A +π3-B =π2,即A -B =π6.(2)因为cos B =35,B ∈(0,π2),所以sin B =45.所以sin A =sin(B +π6)=sin B cos π6+cos B sin π6=45³32+35³12=43+310. 由正弦定理,得BC =sin Asin B ²AC =43+31045³8=43+3.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.在△ABC 中,已知C =π6,m =(sin A,1),n =(1,cos B ),且m⊥n .(1)求A 的值;(2)若点D 在边BC 上,且3BD →=BC →,AD =13,求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m²n =sin A +cos B =0,因为C =π6,A +B +C =π,所以sin A +cos(5π6-A )=0,即sin A -32cos A +12sin A =0, 即3sin(A -π6)=0.又0<A <5π6,所以A -π6∈(-π6,2π3),所以A -π6=0,即A =π6.(2)设|BD →|=x ,由3BD →=BC →,得|BC →|=3x , 由(1)知A =C =π6,所以|BA →|=3x ,B =2π3.在△ABD 中,由余弦定理,得(13)2=(3x )2+x 2-2²3x ²x cos 2π3,解得x =1(舍负),所以AB =BC =3.所以S △ABC =12BA ²BC sin B=12³3³3³sin 2π3=934.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y =2x 上一点P 的横坐标为a ,直线外有两个点A (-1,1),B (3,3).求使向量PA →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示现场纠错解 错解中,cos θ<0包含了θ=π, 即PA →,PB →反向的情况,此时a =1,故PA →,PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时,不要忽视两向量共线的情况.1.(2016²苏州期末)已知向量a =(1,2),b =(x ,-2),且a ⊥(a -b ),则实数x =________. 答案 9解析 先由a ⊥(a -b ),得a²(a -b )=0,即a 2=a²b ,再代入数据. 把a =(1,2),b =(x ,-2),代入a 2=a²b , 得5=x -4,所以x =9.2.若向量a ,b 满足|a |=|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则|a +b |=________. 答案 2 3解析 |a +b |2=|a |2+|b |2+2|a ||b |cos 60° =4+4+2³2³2³12=12,|a +b |=2 3.3.已知平面向量a ,b 满足a ²(a +b )=3,且|a |=2,|b |=1,则向量a 与b 夹角的正弦值为________. 答案32解析 ∵a ²(a +b )=a 2+a ²b =22+2³1³cos〈a ,b 〉 =4+2cos 〈a ,b 〉=3, ∴cos〈a ,b 〉=-12,又〈a ,b 〉∈[0,π],∴sin〈a ,b 〉=1-cos 2〈a ,b 〉=32. 4.(2016²常州期末)已知平面向量a =(4x,2x),b =(1,2x-22x ),x ∈R ,若a ⊥b ,则|a -b |=________. 答案 2解析 因为a ⊥b ,所以4x+2x³2x-22x =4x +2x-2=0,解得2x =-2(舍)或2x=1, 故a =(1,1),b =(1,-1), 故a -b =(0,2),故|a -b |=2.5.(2017²江苏扬州中学质检)在△ABC 中,若AB =1,BC =2,CA =5,则AB →²BC →+BC →²CA →+CA →²AB →的值是________. 答案 -5解析 AB →+BC →+CA →=0两边平方得AB →2+BC →2+CA →2+2AB →²BC →+2BC →²CA →+2CA →²AB →=0, 又AB =1,BC =2,CA =5,从而有2AB →²BC →+2BC →²CA →+2CA →²AB →=-10, 故AB →²BC →+BC →²CA →+CA →²AB →=-5.6.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在CD 上,若AB →²AF →=2,则AE →²BF →的值是_____________________________________.答案2解析 依题意得AE →²BF →=(AB →+BE →)²(AF →-AB →)=AB →²AF →-AB →2+BE →²AF →-BE →²AB →=2-2+2-0= 2.7.(2016²南京调研)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =4,AD =3,CD =2,AM →=2MD →.若AC →²BM →=-3,则AB →²AD →=______.答案 32解析 方法一 设AB →=4a ,AD →=3b ,其中|a |=|b |=1,则DC →=2a ,AM →=2b . 由AC →²BM →=-3得(3b +2a )²(2b -4a )=-3, 化简得a²b =18,所以AB →²AD →=12a²b =32.方法二 建立平面直角坐标系,使得A (0,0),B (4,0),设D (3cos α,3sin α),则C (3cos α+2,3sin α),M (2cos α,2sin α).由AC →²BM →=-3,得(3cos α+2,3sin α)²(2cos α-4,2sin α)=-3,化简得cos α=18. 所以AB →²AD →=12cos α=32.8.(2016²南通调研)已知边长为6的正三角形ABC ,BD →=12BC →,AE →=13AC →,AD 与BE 交于点P ,则PB →²PD →的值为________. 答案274解析 如图,以BC 为x 轴,AD 为y 轴,建立平面直角坐标系,不妨设B (-3,0),C (3,0),则D (0,0),A (0,33),E (1, 23),P (0,332),所以PB →²PD →=274.9.已知在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,点P 是斜边AB 上的中点,则CP →²CB →+CP →²CA →=________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系,可得A (2,0),B (0,2),P (1,1),C (0,0),则CP →²CB →+CP →²CA →=CP →²(CB →+CA →)=2CP →2=4.10.(2016²南京、盐城调研)如图,在△ABC 中,AB =AC =3,cos∠BAC =13,DC →=2BD →,则AD →²BC→的值为______.答案 -2解析 AD →²BC →=(AC →+CD →)²BC →=(AC →+23CB →)²BC →=[AC →+23(AB →-AC →)]²BC →=(23AB →+13AC →)²(AC→-AB →)=-23|AB →|2+13AB →²AC →+13|AC →|2=-6+1+3=-2.11.(2016²苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中,设M 是函数f (x )=x 2+4x(x >0)的图象上任意一点,过M 点向直线y =x 和y 轴作垂线,垂足分别是A ,B ,则MA →²MB →=________. 答案 -2解析 设M (x 0,y 0)为函数f (x )=x 2+4x (x >0)的图象上任意一点,由题设知B (0,y 0),A (x 0+y 02,x 0+y 02),从而MA →=(y 0-x 02,x 0-y 02),MB →=(-x 0,0),故MA →²MB →=x 20-x 0y 02,因为M (x 0,y 0)为函数f (x )=x 2+4x (x >0)的图象上任意一点,所以x 0y 0=x 20+4,从而有MA →²MB →=x 20-x 0y 02=-42=-2.12.(2016²苏北四市调研)已知|OA →|=|OB →|=2,且OA →²OB →=1,若点C 满足|OA →+CB →|=1,则|OC →|的取值范围是____________. 答案 [6-1,6+1]解析 因为OA →²OB →=|OA →|³|OB →|³cos〈OA →,OB →〉=1,|OA →|=|OB →|=2,所以cos 〈OA →,OB →〉=12,所以〈OA →,OB →〉=π3,以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,则O (0,0),A (2,0),B (22,62). 令OP →=OA →+OB →=(322,62),则|OP →|=6,因为|OA →+CB →|=|OA →+OB →-OC →|=|OP →-OC →|=1,所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心,1为半径的圆,而|OP →|=6,则|OC →|的取值范围为[6-1,6+1].13.(2016²江苏如东中学质检)在△ABC 中,B =π4,D 是边BC 上一点,AD =5,CD =3,AC =7.(1)求∠ADC 的值; (2)求BA →²DA →的值.解 (1)在△ADC 中,由余弦定理得AD 2+CD 2-2AD ²CD ²cos∠ADC =AC 2,52+32-2³5³3³cos∠ADC =72, 所以cos∠ADC =-12.又因为0<∠ADC <π,所以∠ADC =2π3.(2)由(1)得∠ADB =π3.在△ABD 中,由正弦定理AD sin∠ABD =ABsin∠ADB,得AB =AD sin∠ABD ³sin∠ADB =562.所以BA →²DA →=562³5³cos(π-π4-π3)=25 3-3 4.14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2sin 2A +B2+cos 2C =1.(1)求角C 的大小;(2)若向量m =(3a ,b ),向量n =(a ,-b3),m ⊥n ,(m +n )²(m -n )=16,求a ,b ,c 的值.解 (1)∵2sin2A +B2+cos 2C =1,∴cos 2C =1-2sin2A +B2=cos(A +B )=-cos C , ∴2cos 2C +cos C -1=0, ∴cos C =12或cos C =-1,∵C ∈(0,π),∴C =π3.(2)∵m ⊥n ,∴3a 2-b 23=0,即b 2=9a 2.①又(m +n )²(m -n )=16, ∴8a 2+8b 29=16,即a 2+b 29=2,②由①②可得a 2=1,b 2=9,∴a =1,b =3, 又c 2=a 2+b 2-2ab cos C =7, ∴c =7,∴a =1,b =3,c =7.。
一、选择题1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=()A.-12 B.-6C.6 D.12解析:∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0∴10+2-k=0,解得k=12.答案:D2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-错误!,则|a+2b|=()A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析:依题意得(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=5+4×错误!=3,则|a+2b|=错误!,故选B。
答案:B3.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,B=45°,AB =2CD=2,M为腰BC的中点,则错误!·错误!=( )A.1 B.2C.3 D.4解析:据题意可得错误!·错误!=错误!·错误!=-错误!|错误!|2+错误!错误!·错误!-错误!错误!·错误!+错误!·错误!=-错误!×(错误!)2+错误!×错误!×1×cos135°-错误!×错误!×2×1×cos135°+2×1×cos0°=-错误!-错误!+1+2=2.答案:B4.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题p1:|a+b|>1⇔θ∈[0,错误!)错误!⊥错误!,即(2-a,b-1)·(4,5)=0得4a-5b-3=0.答案:A二、填空题7.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.解析:设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b -2b2=-7+2cosθ=-6,所以cosθ=错误!,因为0≤θ≤π,所以θ=错误!。
平面向量的数量积及其应用一、选择题1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC →2=16,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,则|AM →|=( )A .2B .4C .6D .82.已知向量m =(1,2),n =(1,1)且向量m 与m +λn 垂直,则λ=( ) A .-35 B .-53 C.35D.533.如图所示,在△ABC 中,D 为BC 的中点,BP ⊥DA ,垂足为P ,且BP =2,则BC →·BP →=( )A .2B .4C .8D .164.已知|a |=1,|b |=6,a ·(b -a )=2,则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π65.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,且|OA →|=|OB →|=|OC →|,动点P 满足OP →=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)OC →],λ∈R ,则点P 的轨迹一定经过( )A .△ABC 的内心B .△ABC 的垂心 C .△ABC 的重心D .AB 边的中点6.如图,平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =1,∠A =60°,点M 在AB 边上,且AM =13AB ,则DM →·DB →等于( )A .-32 B.32 C .-1 D .1二、填空题7.设单位向量e 1,e 2满足e 1·e 2=-12,则|e 1+2e 2|=________. 8. a =(0,1),b =(1,0)且(a -c )·(b -c )=0,则|c |的最大值为________. 9.在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,点P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP →·CB →+CP →·CA →=________.9.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 (1)DE →·CB →的值为________. (2)DE →·DC →的最大值为________.三、解答题10.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .11.设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.(1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.12.已知圆心为O ,半径为1,弧度数为π的圆弧AB ︵上有两点P ,C ,其中BC ︵=AC ︵(如图).(1)若P 为圆弧BC ︵的中点,E 在线段OA 上运动,求|OP →+OE →|的最小值; (2)若E ,F 分别为线段OA ,OC 的中点,当P 在圆弧AB ︵上运动时,求PE →·PF →的最大值.13.(1)在△ABC 中,AB =2,AC =3,AB →·BC →=1,则BC =________. (2)已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=233|a |,则向量a +b 与a -b 的夹角为________.(3)在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM =4,则OA →·(OB →+OC →)的最小值是( )A .-4B .-8C .-10D .-12平面向量的数量积及其应用一、选择题1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC →2=16,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,则|AM →|=( )A .2B .4C .6D .8解析:由|AB →+AC →|=|AB →-AC →|得AB →·AC →=0,所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线,所以|AM →|=12|BC →|=2.答案:A2.已知向量m =(1,2),n =(1,1)且向量m 与m +λn 垂直,则λ=( ) A .-35 B .-53 C.35D.53解析:向量m 与m +λn 垂直,所以m ·(m +λn )=m 2+λm ·n =5+3λ=0得λ=-53,选B.答案:B3.如图所示,在△ABC 中,D 为BC 的中点,BP ⊥DA ,垂足为P ,且BP =2,则BC →·BP →=( )A .2B .4C .8D .16解析:BP ⊥DA 则BP →·PD →=0,D 为BC 中点,所以BC →·BP →=2BD →·BP →=2(BP →+PD →)·BP →=2BP →2=8,选C.答案:C4.已知|a |=1,|b |=6,a ·(b -a )=2,则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析:设a 与b 夹角为θ,则a ·(b -a )=a ·b -a 2=|a ||b |cos θ-|a |2=1×6×cos θ-1=2,∴cos θ=12,∴θ=π3,选B.答案:B5.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,且|OA →|=|OB →|=|OC →|,动点P 满足OP →=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)OC →],λ∈R ,则点P 的轨迹一定经过( )A .△ABC 的内心B .△ABC 的垂心C .△ABC 的重心D .AB 边的中点解析:取AB 的中点D ,则2OD →=OA →+OB →,∵OP →=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)OC →],∴OP →=13[2(1-λ)·OD →+(1+2λ)OC →]=-λ3OD →+1+2λ3OC →,而-λ3+1+2λ3=1,∴P 、C 、D 三点共线,∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.答案:C6.如图,平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =1,∠A =60°,点M 在AB 边上,且AM =13AB ,则DM →·DB →等于( )A .-32 B.32 C .-1D .1解析:DM →=DA →+AM →=DA →+13DC →,DB →=DA →+DC →,∠ADC =120°, ∴DM →·DB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫DA →+13DC →·(DA →+DC →)=DA →2+13DC →2+43DA →·DC →=1+43+43×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1,选D.答案:D 二、填空题7.设单位向量e 1,e 2满足e 1·e 2=-12,则|e 1+2e 2|=________. 解析:|e 1+2e 2|=e 21+4e 1·e 2+4e 22=5-2= 3. 答案: 38. a =(0,1),b =(1,0)且(a -c )·(b -c )=0,则|c |的最大值为________. 解析:(a -c )·(b -c )=0得a ·b -|c |·|b +a |·cos θ+|c |2=0,〈c ,a +b 〉=θ得|c |=2cos θ,∴cos θ=1时,|c |max = 2.答案: 29.在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,点P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP →·CB →+CP →·CA →=________.解析:由题可得CP →=23CA →+13CB →,所以CP →·CB →+CP →·CA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →+13CB →·(CA →+CB →)=23CA →2+13CB →2=123=4.答案:49.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 (1)DE →·CB →的值为________. (2)DE →·DC →的最大值为________.解析:(1)由正方形的性质,正方形的边长为1,DE →·CB →=|DE →|·|CB →|cos ∠ADE ,而在直角三角形ADE 中,DA =DE ·cos ∠ADE ,∴DE →·|CB →|=|DA →|·|DA →|=1×1=1.(2)法一:DE →·DC →=|DE →|·|DC →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-∠ADE =|DE →|sin ∠ADE =|AE →|≤|AB →|=1,∴DE →·DC →的最大值为1.法二:由数量积的几何意义DE →·CB →为|CB →|与DE →在CB →上投影的积,而无论E 点在AB 的哪个位置DE →在CB →上的投影均为1∴DE →·CB →=1同理DE →·DC →的最大值为E 在B 点时其值为1. 答案:1 1 三、解答题10.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 解:(1)a ·b =2n -2,|a |=5,|b |=n 2+4, ∴cos 45°=2n -25·n 2+4=22,∴3n 2-16n -12=0(n >1), ∴n =6或n =-23(舍),∴b =(-2,6). (2)由(1)知,a ·b =10,|a |2=5.又c 与b 同向,故可设c =λb (λ>0),(c -a )·a =0, ∴λb ·a -|a |2=0,∴λ=|a |2b ·a =510=12,∴c =12b =(-1,3).11.设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.(1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 解:(1)由|a |2=(3sin x )2+(sin x )2=4sin 2x , |b |2=(cos x )2+(sin x )2=1, 及|a |=|b |,得4sin 2x =1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,从而sin x =12,所以x =π6.(2)f (x )=a ·b =3sin x ·cos x +sin 2x =32sin 2x -12cos 2x +12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+12,当x =π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12.已知圆心为O ,半径为1,弧度数为π的圆弧AB ︵上有两点P ,C ,其中BC ︵=AC ︵(如图).(1)若P 为圆弧BC ︵的中点,E 在线段OA 上运动,求|OP →+OE →|的最小值;(2)若E ,F 分别为线段OA ,OC 的中点,当P 在圆弧AB ︵上运动时,求PE →·PF →的最大值.解:(1)设OE =x (0≤x ≤1),则|OP →+OE →|2=1+2×1×x ×cos 3π4+x 2=⎝⎛⎭⎪⎫x -222+12, 所以当x =22时,|OP →+OE →|的最小值为22.(2)以O 为原点,BA 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,设P (x ,y ),则x 2+y 2=1(y ≥0), PE →·PF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x ,-y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-x ,12-y =1-12(x +y ), 所以PE →·PF →的最大值是32.13.(1)在△ABC 中,AB =2,AC =3,AB →·BC →=1,则BC =________.(2)已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=233|a |,则向量a +b 与a -b 的夹角为________.(3)在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM =4,则OA →·(OB →+OC →)的最小值是( )A .-4B .-8C .-10D .-12解析:(1)∵AB →·BC →=|AB →|·|BC →|cos(π-B )=1,∴|BC |cos B =-12,由余弦定理,|AC |2=|AB |2+|BC |2-2|AB |·|BC |cos B∴32=22+|BC |2+2,∴|BC |= 3.(2)由|a +b |=|a -b |两边平方得a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2-2a ·b ,∴a ·b =0由|a +b |=233|a |两边平方得a 2+b 2+2a ·b =43a 2, ∴b 2=13a 2设a +b 与a -b 夹角为θ,∴cos θ=a +b a -b |a +b ||a -b |=a 2-b 2233|a |·233|a |=23a 243a 2=12,∴θ=60°.(3)令|OA →|=x ,则|OM →|=4-x .(0<x <4),M 为BC 边中点,∴OB →+OC →=2OM →∴OA →·(OB →+OC →)=OA →·2OM →=-2x (4-x )≥-2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4-x 22=-8,当且仅当x =4-x ,即x =2时,取得最小值,即O 为AM 中点时OA →·(OB →+OC →)的最小值是-8.选B.答案:(1)3 (2)60° (3)B。