《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题（一）
1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n z z dz
__________.（n 为自然数） 2.
=+z z 2
2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=
)0,(Re n z
z e s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z
是
)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||⎰=z dz z
3. 设
⎰
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.
设
C
iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(2
2
2
，则
=+→)(lim 1z f i
z ________.
3. =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
_________.（n 为自然数）
4. 幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z 的周期为__________.
7. 方程08323
5
=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.
8. 设2
11
)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.
9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.
10. ____)1,1
(Res 4=-z
z .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z 在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
i z =处的值.
3. 计算积分：⎰-=i
i
z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）
的右半圆.
4. 求
dz
z z
z ⎰
=-2
2
)2
(sin π
.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是
)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设1
1
)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.
3. 若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________.
4. =+z z 2
2
cos sin ___________.
5. =-⎰=-1||0
0)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数） 6. 幂级数
∑∞
=0
n n
nx
的收敛半径为__________.
7. 设1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.
8. 设
1-=z e ，则___=z . 9. 若0z
是
)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z
z
e
.
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12()z
f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n
z n
n ∑+∞
=!的收敛半径. 3. 算下列积分：
⎰-C z z z z
e )9(d 22，其中C 是1||=z .
4. 求
0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：
如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.
2. 设
)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数
R 及M ，使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
