北师大版八年级下册数学第一章第一节同步测试题

北师⼤版⼋年级数学下册第⼀章第1节等腰三⾓形达标练习题（附答案）北师⼤版⼋年级数学下册第⼀章第1节等腰三⾓形达标练习题（附答案）⼀、选择题1.已知等腰三⾓形的⼀边长5cm，另⼀边长8cm，则它的周长是()．A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. ⽆法确定2.等腰三⾓形⼀个⾓的度数为50°，则顶⾓的度数为()A. 50°B. 80°C. 65°D. 50°或80°3.⼀个等腰三⾓形的顶⾓是120°，则它的底⾓度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 不能确定4.如图所⽰，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是()A. 40°B. 35°C. 25°D. 20°5.已知等腰三⾓形的⼀个内⾓为70°，则另外两个⾓的度数为()A. 55°，55°B. 55°，70°C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不⼀定成⽴的是()C. ∠1=∠2D. ∠B=∠C7.在等腰△ABC中，AB=5cm，BC=7cm.则等腰△ABC的周长为()A. 12cmB. 17cmC. 19cmD. 17cm或19cm8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为()A. 4B. 8C. 12D. 169.已知等腰三⾓形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三⾓形的周长是()A. 12cmB. 16cmC. 16cm或20cmD. 20cm10.如图，等腰三⾓形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为()A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°11.⼀个等腰三⾓形的顶⾓是100°，则它的底⾓度数是()A. 30°B. 60°C. 40°D. 不能确定12.如图，在△ABC中，AD=BD=AC，∠B=25°，则∠DAC为()A. 70°B. 75°13.如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的⼤⼩为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 40°14.等腰三⾓形的底⾓是70°，则顶⾓为()A. 40°B. 70°C. 55°D. 45°15.如图在△ABC中∠ACB=90°，∠ABC=∠BAD=30°，DC=6，则BC=()A. 18B. 12C. 20D. 2416.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，则BC的长等于()A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm17.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，则AD等于()A. 1B. √2C. √3D. 1.518.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上⼀点，且DA=DC，BD=BA，则∠B=()A. 40°B. 36°19.若等腰三⾓形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为()A. 11cmB. 11cm或7.5cmC. 7.5cmD. 以上都不对20.等腰三⾓形的⼀个外⾓为110°，则它的顶⾓的度数是()A. 40°B. 70°C. 40°或70°D. 以上答案均不对⼆、计算题21.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，DC=6cm，求BD的长．22.如图，等腰三⾓形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于三、解答题23.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．(1)求证：BF=AC；(2)若CD=3，求AF的长．24.如图，△ABC中，AB=AC，且AC上的中线BD把这个三⾓形的周长分成了12cm和6cm的两部分，求这个三⾓形的腰长和底边的长．25.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是⾼，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB=OC；(2)若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．参考答案⼀、选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】C 12.【答案】C 13.【答案】C 14.【答案】A 15.【答案】A 16.【答案】B 17.【答案】C 18.【答案】B 19.【答案】C 20.【答案】C⼆、计算题21.【答案】解：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵AD ⊥AC ，DC =6cm ，∴AD =12CD =3cm ，∠ADC =60°，∴∠B =∠BAD =30°，∴BD =AD =3cm ． 22.【答案】解：∵等腰三⾓形ABC 中，AB =AC ，∠A =44°，∴∠ACB =∠B =180°?∠A2=68°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD =90°?∠A =46°，∴∠DCB =∠ACB ?∠ACD =68°?46°=22°．三、解答题23.解：(1)AD ⊥BD ，∠BAD =45°，∴AD =BD ，∵∠BFD =∠AFE ，∠AFE +∠CAD =90°，∠CAD +∠ACD =90°，∴∠BFD =∠ACD ，在△BDF 和△ACD 中，{∠BFD =∠ACD ∠BDF =∠ADC BD =AD，∴△BDF ≌△ACD(AAS)，∴BF =AC ；(2)连接CF ，∵△BDF ≌△ADC ，∴DF =DC ，∴△DFC 是等腰直⾓三⾓形．∵CD =3，CF =√2CD =3√2，∵AB =BC ，BE ⊥AC ，∴AE =EC ，BE 是AC 的垂直平分线．∴AF =CF ，∴AF =3√2．24.【答案】解：设AD =CD =x ，AB =AC =2x ，BC =y ，当AB +AD =12时，{2x +x =12x +y =6，解得{x =4y =2；当AB +AD =6时，{2x +x =6x +y =12，解得{x =2y =10(不合题意，舍去)．答：这个三⾓形的腰长是8，底边长是2．25.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，∴△BEC≌△CDB，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；(2)∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°?2×50°=80°，∴∠DOE+∠A=180°，∴∠BOC=∠DOE=180°?80°=100°．。

第一章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列命题不正确的是( )A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形2.如图1所示,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD的度数是( )图1A.20°B.30°C.35°D.40°3.如图2,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线,那么下列结论错误的是( )图2A.△ABD≌△ACDB.AD为△ABC的高线C.AD为△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形4.如图3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )图3A.B.2C.3D.25.如图4所示,B,C,D,E在同一条直线上,且BC=AC=AD=DE,则图中的等腰三角形共有( )图4A.3个B.4个C.5个D.6个6.如图5所示,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数为( )图5A.15°B.50°C.65°D.80°7.如图6所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,若CE=1,则AB等于( )图6A.2B.2C.3D.48.如图7所示,已知AC=AD,BC=BD,给出以下结论:①△ACD与△BCD都是等腰三角形;②AB是∠CAD和∠CBD的平分线;③AB⊥CD,且AB平分CD;④图中有三对全等三角形.其中判断正确的是( )图7A.①B.①②C.①②④D.①②③④9.如图8,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.图810.已知两条线段的长为10cm和24cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.11.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且BD=BE,∠BAC=72°,则∠DEC=.图912.如图10所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,若AD⊥BC,D为垂足,CD=1,则AB=.图1013.如图11所示,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线交BC于点D,E,BC=6cm,则∠DAE的度数为,△ADE的周长为cm.图1114.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.15.如图12,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.图1216.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.17.如图13所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC 的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.图1318.某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路),现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离相等.(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图中画出你的设计方案;(2)阐述你设计的理由.图1419.如图15,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数.图1520.如图16,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图16参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.AC=DE10.26或者11.103.5︒12.213.20︒ 614.4：315.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.16.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B和∠C都是锐角.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.假设∠B和∠C不都是锐角,则∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°,∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立.故∠B和∠C都是锐角.17.证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴∠ABE=∠DBE.∴点E在∠ABC的角平分线上.18.解:(1)仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点上.作图如图所示,点P 即为所求的位置.(2)理由为:角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 19.解:连接BE , ∵△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=180.①∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AE=BE , ∴∠A=∠ABE.∵CE 的垂直平分线正好过点B ,与AC 相交于点F ,可知△BCE 是等腰三角形, ∴BF 是∠EBC 的平分线,∴(∠ABC-∠A )+∠C=90°,即(∠C-∠A )+∠C=90°.②由①②联立,得∠A=36°.故∠A=36°. 20.(1)证明:∵在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB , ∴CD=DE ,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD 和△AED 中,∴△ACD ≌△AED ,∴AC=AE.(2)解:∵DE ⊥AB ,点E 为AB 的中点, ∴AD=BD ,∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90°, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°.∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,=4.由勾股定理,得BE=8。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．84．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN ＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝，DE＝．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE＝90°，∵∠DOB是直角，∠1＝25°，∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝90°+65°＝155°．故选：C．3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．8解：如上图：满足条件的点N共有（﹣2，0）（2，0）（2，0）（4，0）．故选：B．4．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解：连接．，根据作图得到．．在与中，（），，即射线是的平分线，正确，不符合题意；根据作图得到，是等腰三角形，正确，不符合题意；根据作图得到，又射线平分，是的垂直平分线，．两点关于所在直线对称，正确，不符合题意；根据作图不能得出平分，不是的平分线，．两点关于所在直线不对称，错误，符合题意．故答案为：．两点关于所在直线对称5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解：①．∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②．∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④．∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．8．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解：，于，于，，，故本选项正确；，，，，，，点在的平分线上，故本选项正确；，，，，，，正确；是的中点，无法判定，故本选项错误．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M．N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.解：在中，，为的中点，．12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等解：A．矩形的对角线相等且互相平分，是真命题；B．两点之间，线段最短，是真命题；C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；故选：C．二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．解：条件是AC＝AD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．解：垂直平分，，的周长．故答案为：．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．解：，，平分，，．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝5cm，DE＝8cm．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，，∴△ACO≌△A′C′O，∴OC＝C′O，AO＝A′O，∴BC＝B′C′，在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．证明：连接CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BF＝CF，∵FE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．解：（1）∵DE＝PE，∴∠EDP＝∠CPB＝65°，∴∠BED＝∠EDP+∠CPB＝130°，故答案为：130；（2）∵AB∥CP，∴∠ABP+∠CPB＝180°，∴∠ABP＝115°，∵∠EDP＝65°，∴∠CDE＝115°，∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．∴∠FBE＝∠ABE＝57.5°，∠FDE＝∠CDE＝57.5°，∴∠BFD＝360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°＝115°．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为( )A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( ) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为( )A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)( )A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是_______．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是_______．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为_______．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB＝40°，点D为∠CAB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD，试求∠DCB的度数．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别在AC，AB 上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA 延长线上的点，且BE＝AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．16．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.17.已知，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．(1)如图1，若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：BC＝BA＋AD;(2)如图2，若∠BAC＝100°，∠C＝40°，求证：BC＝BD＋AD.18．如图，在四边形ABCD中，若对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22，求CD的长和四边形ABCD的面积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于点D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于点E.(1)请直接写出线段BD与CE的数量关系_______；(2)在(1)中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．20．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：(1)如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；(2)如图3，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.21．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.(1)若设BE＝a，CF＝b，满足a－12＋|b－5|＝m－2＋2－m，求BE及CF的长；(2)求证：BE2＋CF2＝EF2；(3)在(1)的条件下，求△DEF的面积．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为(C)A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(D) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为(A)A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)(B)A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是3＜BC＜23．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是1．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为6．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为(6，2)或(4，6)或(3，3)．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABE＝∠ACE.∴∠BEC＝∠BAC＝90°，即CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.易证∠ABF＝∠ACE，△ABF≌△ACE(SAS)，得等腰Rt△AFE，∴∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∴AD ＝BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ＝45°，AD ⊥BC. 在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠B ＝∠DAF ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(SAS)．∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF. ∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°. ∴△EDF 为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB ＝40°，点D 为∠CAB 的平分线与线段BC 的垂直平分线的交点，连接CD ，试求∠DCB的度数．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，连接BD. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， ∴DE ＝DF ，∠DEC ＝∠DFB ＝90°. ∵∠CAB ＝40°，∴∠EDF ＝140°. ∵点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴DC ＝DB.∴Rt △DEC ≌Rt △DFB(HL)． ∴∠EDC ＝∠FDB.∴∠CDB ＝∠CDF ＋∠FDB ＝∠CDF ＋∠EDC ＝∠EDF ＝140°. ∴∠DCB ＝12×(180°－40°)＝20°.14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ⊥DF.试判断DE ，DF 的数量关系，并说明理由．解：DE ＝DF ，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ＝45°，AD ⊥BC. ∴∠CDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°. ∴∠CDE ＝∠ADF.在△CDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DAF ，CD ＝AD ，∠CDE ＝∠ADF ，∴△CDE ≌△ADF(ASA)．∴DE ＝DF.15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且BE ＝AF ，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解：△DEF 仍为等腰直角三角形． 证明：连接AD ， ∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点， ∴AD ＝BD ，AD ⊥BC. ∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°. ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135°. 又∵AF ＝BE ，∴△DAF ≌△DBE(SAS)． ∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB.∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90°. ∴△DEF 仍为等腰直角三角形．16．如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF. ∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE(SAS)．∴∠A ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°.∴∠BFE ＋∠D ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠D.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠D ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE(AAS)．∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.17.已知，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线．(1)如图1，若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求证：BC ＝BA ＋AD;(2)如图2，若∠BAC ＝100°，∠C ＝40°，求证：BC ＝BD ＋AD.图1 图2证明：(1)在边BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBE.又∵BA ＝BE ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)．∴AD ＝DE ，∠A ＝∠BED.∵∠A ＝100°，∴∠BED ＝100°.∵∠C ＝50°，∴∠CDE ＝50°.∴∠C ＝∠CDE.∴DE ＝CE.∴AD ＝CE.∵BC ＝BE ＋CE ，∴BC ＝BA ＋AD.(2)以BC 为边作等边△A ′BC ，在A ′C 上截取CD ′＝BD ，连接AA ′，AD ′. ∵∠BAC ＝100°，∠ACB ＝40°，∴∠ABC ＝40°.∴∠ABC ＝∠ACB.∴AB ＝AC.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝20°.∴△A ′BC 为等边三角形． ∴A ′B ＝A ′C ＝BC ，∠A ′BC ＝∠A ′CB ＝∠BA ′C ＝60°.∴∠A ′CA ＝∠A ′CB －∠ACB ＝20°.∵A ′B ＝A ′C ，AB ＝AC ，A ′A ＝A ′A ，∴△A ′BA ≌△A ′CA(SSS)．∴∠BA ′A ＝∠CA ′A ＝30°.∵AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACD ′，BD ＝CD ′，∴△ABD ≌△ACD ′(SAS)．∴∠BAD ＝∠CAD ′＝100°，AD ＝AD ′.∴∠AD ′C ＝180°－∠CAD ′－∠ACD ′＝60°.∴∠D ′AA ′＝∠AD ′C －∠D ′A ′A ＝30°.∴∠D ′AA ′＝∠DA ′A.∴A ′D ′＝AD ′.∴A ′D ′＝AD.∴BC ＝A ′C ＝A ′D ′＋CD ′＝AD ＋BD.18．如图，在四边形ABCD 中，若对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC ＝90°，∠CED ＝45°，∠DCE ＝30°，DE ＝2，BE ＝22，求CD 的长和四边形ABCD 的面积．解：过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵∠CED ＝45°，∴△DEH 是等腰直角三角形．∴EH ＝DH.∵EH 2＋DH 2＝ED 2＝2，∴EH ＝DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴DC ＝2，HC ＝ 3.∵∠AEB ＝∠DEC ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2.∴AC ＝AE ＋EH ＋CH ＝3＋ 3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 19．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E.(1)请直接写出线段BD 与CE 的数量关系BD ＝2CE ；(2)在(1)中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：结论BD ＝2CE 仍然成立．证明：延长CE ，AB 交于点G .∵BD 平分∠ABF ，∴∠DBF ＝∠DBA.又∵∠DBF ＝∠CBE ，∠DBA ＝∠GBE ，∴∠CBE ＝∠GBE.∵CE ⊥BD ，∴∠GEB ＝∠CEB ＝90°.又∵BE ＝BE ，∴△GBE ≌CBE(ASA)．∴GE ＝CE.∴CG ＝2CE.∵∠D ＋∠DCG ＝∠G ＋∠DCG ＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB ＝∠GAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△GAC(AAS)．∴BD ＝CG.∴BD ＝2CE.20．感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC. 探究：(1)如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC ；(2)如图3，AD 平分∠BAC ，BD ＝DC ，AC ≠AB ，求证：∠ABD ＋∠ACD ＝180°.图1 图2图3证明：(1)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠EBD ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝∠DEB ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)．∴∠ABD ＝∠DCF.∵∠DCF ＋∠ACD ＝180°，∴∠ABD ＋∠ACD ＝180°.21．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF.(1)若设BE ＝a ，CF ＝b ，满足a －12＋|b －5|＝m －2＋2－m ，求BE 及CF 的长；(2)求证：BE 2＋CF 2＝EF 2；(3)在(1)的条件下，求△DEF 的面积．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2－m ≥0， 解得m ＝2. ∴a －12＋|b －5|＝0.∴a －12＝0，b －5＝0.∴a ＝12，b ＝5，即BE ＝12，CF ＝5.(2)证明：延长ED 到P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△BED 和△CPD 中，∵ED ＝PD ，∠EDB ＝∠PDC ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CPD(SAS)．∴BE ＝CP ，∠B ＝∠DCP.在△EDF 和△PDF 中，∵DE ＝DP ，∠EDF ＝∠PDF ＝90°，DF ＝DF ，∴△EDF ≌△PDF(SAS)．∴EF ＝FP.∵∠BAC ＝90°，∠B ＋∠ACB ＝90°，∠B ＝∠DCP ，∴∠ACB ＋∠DCP ＝90°，即∠FCP ＝90°.在Rt △FCP 中，根据勾股定理，得CF 2＋CP 2＝PF 2.又∵BE ＝CP ，PF ＝EF ，∴BE 2＋CF 2＝EF 2.(3)连接AD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠FCD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，AD ⊥BC.∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°.∵ED ⊥FD ，∴∠EDA ＋∠ADF ＝90°.∴∠EDA ＝∠FDC.在△AED 和△CFD 中，∵∠EAD ＝∠FCD ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，∴△AED ≌△CFD(ASA)．∴AE ＝CF ＝5，DE ＝DF.∴△EDF 为等腰直角三角形．∴AB ＝AE ＋EB ＝5＋12＝17.∴AF ＝AC －FC ＝AB －CF ＝17－5＝12.在Rt △EAF 中，根据勾股定理，得EF ＝AE 2＋AF 2＝13.设DE ＝DF ＝x ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得x 2＋x 2＝132，解得x ＝1322，即DE ＝DF ＝1322， 则S △DEF ＝12DE ·DF ＝12×1322×1322＝1694.。

北八（下）第一章 1.4-1.6 章节水平测试题一、填空题：（每题3 分，共 24 分）1 ．已知不等式5(x2)8 6(x1) 7的最小整数解为方程 2x ax4 解，则 a 值是 ．2 ．已知3(5x2) 54x 6( x 1) ，化简 x 1 1 x = ．3 ． a 取正整数 时，方程4 ． k 为整数时，方程3x a 7 的解是负整数．5x 2k x 4 的解在 1 和 3 之间．7. 如果三角形的三边长分别是3 cm 、 (1-2 a ) cm 、 8 cm ，那么 a 的取值范围是 ________．8. 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过 ________ 千克，就可以免费托运．二、选择题：（每题 3 分，共 24 分）9 ．不等式 3( x -2) ≤ x ＋4 的非负整数解有几个()A ． 4B ． 5C ． 6D ．无数个11110 ．不等式 4x - 4x4 的最大的整数解为 ( )A ． 1B ． 0C ． -1D ．不存在A ． 5B ． 4C ． 3D ．无数个A． a＝ 3 b ＝ 5B． a ＝ -3 b ＝-5C． a＝ -3 b ＝ 5D． a ＝3 b ＝ -55x3m m1513 ．若方程42 4 的解是非正数，则m 的取值范围是（）．A m 3B m 2C m 3D m 214 ．七年级（ 3 ）班同学假日外出游玩，要拍合影留念，若一张彩色底片要0.57 ，冲印一张要 0.35元，每人预定要一张，花钱不超过0.45 元，则参加合影的同学至少有（）个人？A 5 B.6 C.7 D.82x y1015.如果关于 x、 y 的方程组3x y 5a的解满足 x ＞ 0且 y ＜ 0 ，则实数 a 的取值范围是（）．A2<a<3B-3<a<2C-2 ＜ a ＜3D-3<a<-216. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x （）时，选用个体车较合算．A.x<1500B. x=1500C. x>1200D. x ＞ 1500三、解答题：（共30 分）17 （10分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：13x 51 2 x1（1）236（ 2）18. （10分）已知 5 x -2 y＝ 6 ，当 x 满足 6 ≤ 7 x -1 ＜ 13时，请确定 y 的取值范围．19.（ 10 分）如果方程组，m的值表示在数轴上．是多少？3x y 13mx3y1m的解满足x＋y＞0，求m的取值范围，并把四、综合探究题：（22 分）20．（ 10 分）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12 辆和 6 辆，现需调往 A 县 10辆，调至 B 县 8 辆，已知从甲仓库调往 A 县和 B 县的费用分别 40 元和 80 元；从乙仓库调 往 A 县和 B 县的费用分别为 30 元和 50 元．（ 1）设从乙仓库调往 A 县农用车 x 辆．求总运费 y 与 x 的函数关系式．（ 2）若要求总运费不超过 900 元．问共有几种调配方案？（ 3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？21.（ 12 分）某企业现有工人 80 人，平均每人每年可创产值 a 元 . 为适应市场经济改革，现决定从中分流一部分人员从事服务行业 . 分流后企业工人平均每人每年创造产值可增加30% ，服务行业人员平均每人每年可创产值2.5 a 元 . 要使分流后企业工人的全年总产值不低于原来全年总产值，而且服务行业人员全年创产值不低于原企业全年总产值的一半. 假设你是企业管理者，请你确定分流到服务行业的人数．五、备选题22. 弟弟上午八点钟出发步行去郊游， 速度为每小时 4 千米； 上午十点钟哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟 . 如果哥哥要在上午十点四十分之前追上弟弟，问哥哥的速度至少是多少？23. 某初一新生中，有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住每间住 7 人，则有一间不空也不满．求住宿生人数．4 人，则有21 人无处住；若24. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现：如果月初出售可获利15%，并把本利再投资其他商品， 到月末又可获利 10%，如果月末出售可获利 30%．但要付出仓储费用 700 元．请问：根据商场的资金状况，如何购销获利较多？新 课 标 第一网参考答案：一、1 ．a4（提示： x 3 ，则最小的整数解是 x2 ，原方程 4 2a 4 ．∴ a 4 ）2 ． -2（提示：不等式的解集是x1，∴x 11 xx 1 (1 x)2 ）a 7x3a7 0 ， a 7 ，∴3 ．4 ， 1 （解方程，∵ 符合条件的 a 值是 4 ， 1 ）k 2k 23x3 ，即134 ． 2 ， 3 ， 4 ，5 ，6 （∵）5. a ≤26. 2 ≤ x ＜ 57. -5 ＜ a ＜ -2 8. 20二、9 ．C 10 ．B11.B 12.D13 ．A （提示： x m3．∵ x 0∴m 3 0即m3 ）14.B （ 6 人 提示：设至少 x 人合影，依题意，得0.57 0.35x 0.45x ）2x y 10x2 a15.C 提示：解方程组3x y5a得这个方程组的解是y 2a 62 a0∵x ＞ 0 且 y ＜0 ，∴2a6016.D解得： -2 ＜ a ＜3三、 17. （1 ）18.解法一：由20x7（ 2） x≤1（数轴略）新课标第一网6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤x ＜26 2 y由 5 x-2 y ＝ 6得： x ＝ 5 ，6 2 y∴ 1 ≤5＜ 2则 5 ≤ 6 ＋2 y ＜10-1 ≤ 2 y＜ 41∴- 2≤ y ＜ 2解法二：由 6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤ x ＜ 25x 6由 5 x-2 y ＝ 6 得： y ＝2∵ 1 ≤ x ＜ 2 ，5 ≤ 5x ＜ 10-1 ≤ 5x -6 ＜ 415x6∴- 2≤2＜21即- 2≤ y＜ 23x y 1 3m①19.由方程组x 3y 1 m②①＋②得 :4 x ＋4 y ＝ 2 ＋ 2m ，1 m∴x ＋ y＝21 m∵x ＋ y＞ 0 ，∴2＞0，解得 : m ＞ -120.小于或等于11km，大于 10km．（提示：设甲、乙两地间距离为x km ．根据题意，得16 1.2(x 5)1017.2∴10 x 11）21.解：设分流x 人从事服务行业，则剩余(80- x ) 人从事企业生产．(1 30%)a(80 x)80 a12.5ax80a2根据题意得：1.3ax24a即 2.5ax 40a6x1813∴x 16又∵ x是整数∴x ＝ 16 ，17 或 18即可分流16 人或 17人、 18 人去从事服务行业．五、 22.解：设哥哥的速度为x 千米 / 小时4040根据题意得：60 x≥4(2＋ 60 )解得： x ≥16答：哥哥的速度至少是16 千米 / 小时．23.解：设有 x 间宿舍，则总人数为（4x＋21）人．由题意得：解不等式①得x＞7．28解不等式②得x＜3．28∴这个不等式组的解集是7＜x＜3．∵房间数只能取正整数．∴ x＝8或9．当x＝8时，人数：4×8＋21＝53（人）当x＝9时，人数：4×9＋21＝57（人）24. 解：设商场投入资金x元，第一种投资情况下，获总利用y1元表示．第 2 种投资情况下获总利用 y2元表示．由题意得： y1＝ x（1＋15%）（1＋10%）－ xy1＝0. 265x．y2＝ x（1＋30%）－ x－700y2＝0. 3x－700（1）当y1＞y2时， 0. 265x＞ 0. 3x－ 700，x＜ 2000；（2）当y1＝y2时， 0. 265x＝ 0. 3x－ 700，x＝ 2000；（3）当y1＜y2时， 0. 265x＜ 0. 3x－ 700，x＞ 2000．答：（ 1）当投资超过 2000 元时，选择第二种投资方式；（2）当投资为 2000 元时，两种选择都行；（3）当投资在 2000 元内时，选择第一种投资方式．新课标第一网。

第一章检测题一 选择题1已知等腰三角形的两条边长是7和3，那么第三条边长是 （ ）A 8B 7C 4D 32、如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（ ）A 、SASB 、ASAC 、AASD 、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）A 、4B 、10C 、4或10D 、以上答案都不对4、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5(第2题图)5．如图1，AB ＝AC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则图中全等三角形的对数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 和△DEF 中，已知∠C =∠D ，∠B =∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）A ．AB =ED B ．AB =FDC ．AC =FD D ．∠A =∠F7．一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且()()()0a b b c c a ---=，则该三角形必为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．如图2所示， △ABC 为直角三角形，BC 为斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 △ACP ′重合．如果AP =3，那么PP ′的长等于（ ）A ．3B ．C ．D ．49、如图，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）.A ．045B ．055C ．060D ．075（第9题图） （第10题图）10、如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处二、填空题1．如图3，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=．2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别为．3．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A等于．4.如图,D,E分别为AB,AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF= .5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其腰上的高是.6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为三.解答题1．已知：如图8，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE．求证：AE＝CE．2．如图12，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，AB ＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？3.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD. 求证：OB=OC4.如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点。

北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2.已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm3. 已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可假设( )A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，45.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DC D．AB＝CD6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )A．40° B．50° C．60° D．75°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为( )A．3 B．3 2 C．2 3 D．48.为了加快灾后重建的步伐，某市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址( )A．仅有一处B．有四处 C．有七处D．有无数处9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )A ．3 2B ．4C ．2 5D ．4.510. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离都相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ；⑤S △EOB ＝S FOC .其中，正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，CA ＝CB ，则△ABC 的外角∠ABD ＝________．12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝4，AD 平分∠BAC ，点E 是AC 的中点，则DE 的长为________．13.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题． 14.如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15.若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的有________个． ①∠A ＝∠B －∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5；③a 2＝(b ＋c )(b －c )；④a ∶b ∶c ＝5∶12∶13. 16.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB .若AC ＝2，DE ＝1，则S △ACD ＝________．17.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE是________三角形．18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为________．三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB ＝60°.20．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.21．(8分) 如图，四边形ABCD是长方形，用尺规作∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹).连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．22．(8分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.23．(10分)如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.(1)求证：∠PCB＋∠BAP＝180°；(2)若BC＝12 cm，AB＝6 cm，PA＝5 cm，求BP的长．24．(10分) 如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．(14分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q 两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．参考答案1-5DDCBA 6-10BBABB 11. 110° 12. 213. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 14. 20° 15. 3 16.1 17. 等边 18. 108°19. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD＝∠CBE ，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠AOP ＝∠BCP ＝60°，即∠AOB ＝60°.20．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，在△BCE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ACB ，∠CEB ＝∠BDC ＝90°，BC ＝CB ，∴△BCE ≌△CBD(AAS)，∴∠BCE ＝∠CBD ，∴BO ＝CO. 21. 解：如图所示．发现：QD ＝AQ 或∠QAD ＝∠QDA 等22. 解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC23.解：(1)证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠1＝∠2，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PF.在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PC ，PE ＝PF ，∴△APE ≌△CPF(HL)，∴∠PAE ＝∠PCB.∵∠PAE ＋∠PAB ＝180°，∴∠PCB ＋∠BAP ＝180°. (2)∵△APE ≌△CPF ，∴AE ＝FC ，∵BC ＝12 cm ，AB ＝6 cm ，∴AE ＝12×(12－6)＝3 (cm)，BE ＝AB ＋AE ＝6＋3＝9 (cm)，在Rt △PAE 中，PE ＝52－32＝4 (cm)，在Rt △PBE 中，PB ＝92＋42＝97 (cm)．24. 证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG . ∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )，∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25. 解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，等题直角△OOO 中，OA OB =，过点A 作AD OA ⊥，若线段OA 上一点C 满足CDB OBD ∠=∠，则CBD ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．45︒D ．60︒2、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（ ）A ．4、6、8B ．3、4、5C ．5、12、13D ．1、33、下列命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．有三组对应角相等的两个三角形全等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等4、如图，在△OOO中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，△OOO的周长△的周长为16，则AE的长为（）．为26，ABDA．10 B．8 C．6 D．55、如图，在△OOO中，∠OOO=90°，∠OOO=30°，OO=6√3，D为AB上一动点（不与点A重合），△OOO为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（）A．2√3B．6 C．3√3D．96、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°7、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 边中点，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ⊥BC C ．∠BAD ＝∠CAD D ．AB ＝2BC8、有两边相等的三角形的两边长为4cm ，5cm ，则它的周长为（ ）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm9、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．10B ．15C ．17D ．1910、下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．13人中至少有2个人生日在同月B ．任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上C ．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃AD ．以长度分别是3cm ，4cm ，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△OOO 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使ACD △为等腰三角形．下列作法正确的有________个．2、如图，AB ＝BE ，∠DBC ＝12∠ABE ，BD ⊥AC ，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC 平分∠DCE ；②∠ABE +∠ECD ＝180°；③AC ＝2BE +CE ；④AC ＝2CD ﹣CE ．3、如图，点E 是CD 上的一点，Rt Rt ACD EBC △△≌，则下列结论：①AC BC =；②AD BE ∥；③90ACB ∠=︒；④AD DE BE +=，其中成立的有______个．4、以线段MN 为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 _____．5、如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝M 为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），将△BMN 沿直线MN 折叠，若点B 的对应点B '恰好落在等边三角形ABC 的边上，则BN 的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知O为坐标原点，B（0 ，3），OB=CD，且OD=2OC，将△BOC沿BC翻折至△BEC，使得点E、O重合，点M是y轴正半轴上的一点且位于点B上方，以点B为端点作一条射线BA，使∠MBA=∠BCO，点F是射线BA上的一点．（1）请直接写出C、D两点的坐标：点C，点D；（2）当BF=BC时，连接FE．①求点F的坐标；②求此时△BEF的面积．2、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点O(0,O)，点O在O轴的负半轴上，点O(O,0)，连接OO、OO，且√O+2+|O−2|=0，（1）求∠OOO 的度数；（2）点O 从O 点出发沿射线OO 以每秒2个单位长度的速度运动，同时，点O 从O 点出发沿射线OO 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OO 、OO ，设△OOO 的面积为O ，点O 运动的时间为t ，求用t 表示O 的代数式（直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当点O 在O 轴的正半轴上，点O 在O 轴的负半轴上时，连接OO 、BP 、OO ，∠OOO =2∠OOO =2∠OOO ，且四边形OOOO 的面积为25，求OO 的长．3、已知：如图，点D 为BC 的中点，BAD CAD ∠=∠，求证：△OOO 是等腰三角形．4、如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点()3,0A ，交y 轴正半轴于点B ，且2OA OB =，正比例函数y x =交直线AB 于点P ，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ．（1）求直线AB的函数表达式和点P的坐标；（2）在y轴负半轴上是否存在点Q，使得△OOO为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在Rt△OOO中，∠O=90°，OO=4，OO=2．（1）△OOO的面积等于_______；（2）O为线段OO上一点，过点O作OO⊥OO，垂足为O．当OO=OO时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PQ，并简要说明点O和点O的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．-参考答案-一、单选题1、C【分析】过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，由“AAS ”可证BED BFD ∆≅∆，可得BE BF BO ==，EBD FBD ∠=∠，由“HL ”可证Rt BCF Rt BCO ≌，可得OBC CBF ∠=∠，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，AD AO ⊥，BD AO ⊥，//AD BO ∴，EDB DBO ∴∠=∠，又CDB OBD ∠=∠，EDB BDC ∴∠=∠，45BAD ∠=︒，DA AO ⊥，45DAB BAO ∴∠=∠=︒，又BE AD ⊥，BO AO ⊥，BE BO ∴=，在BED ∆和BFD ∆中，90E BFD BDE BDF BD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED BFD AAS ∴∆∆≌，BE BF BO ∴==，EBD FBD ∠=∠，在Rt BCF 和Rt BCO △中，BF BO BC BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BCF Rt BCO ≌，OBC CBF ∴∠=∠，360E EAO AOB OBE ∠+∠+∠+∠=︒，90OBE ∴∠=︒，90EBD DBF FBC CBO ∴∠+∠+∠+∠=︒，45DBC ∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2、A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C 、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D 、12+32=2，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3、B【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质，角平分线的性质逐项分析．【详解】A.直角三角形两锐角互余，正确，是真命题；B.有三组对应角相等的两个三角形，因为它们的边不一定相等，所以不一定全等，故错误，是假命题；C.两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；D.角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．4、D【分析】根据线段垂直平分线的性质可得即可得到结论．【详解】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∴AD=CD，12 AE AC∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=16，∵△ABC 的周长=AC +BC +AB =26，∴AC =△ABC 的周长-△ACE 的周长=26-16=10， ∴152AE AC ==， 故答案为：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．5、B【分析】连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，先判定AG 为线段DE 的垂直平分线，再判定()BAC BAG AAS '≅，然后由全等三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，DE DF ⊥，G 为EF 的中点，DG GE ∴=，∴点G 在线段DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形，AD AE ∴=，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AG ∴为线段DE 的垂直平分线，AG DE ∴⊥，1302DAG DAE ∠=∠=︒， ∴点G 在射线AH 上，当BG AH ⊥时，BG 的值最小，如图所示，设点G '为垂足，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，ACB AG B '∴∠=∠，CAB BAG '∠=∠，则在BAC 和BAG '△中，ACB AG B CAB BAG AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩， ()BAC BAG AAS '∴≅．BG BC '∴=，∵90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，=AC ∴12BC AB =，222BC AB +=，∴222(2)BC BC +=，解得：6BC =，∴6BG BC '==故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．6、A先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．7、D【分析】根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．【详解】解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴∠B＝∠C，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．8、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．9、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．10、A【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】解：A. 13人中至少有2个人生日在同月，是必然事件，故该选项符合题意；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；C. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A ，是随机事件，故该选项不符合题意；D. 因为2222223425,636,346+==+≠，则以长度分别是3cm ，4cm ，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形，是不可能事件，故该选项不符合题意；故选A【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．二、填空题1、3【分析】根据图中的圆心、半径已经角平分线、垂直平分线的作法，依次判断即可得．【详解】解：第一个图以C 为圆心，AC 长为半径，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第二个图为作BAC ∠的角平分线，无法得到ACD △为等腰三角形，不符合题意；第三个图以B 为圆心，AB 长为半径，∴ABD △为等腰三角形，∵30C ∠=︒，∴60B ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，∴60BAD ∠=︒，∴906030DAC ∠=︒-︒=︒，∴C DAC ∠=∠，∴CD DA =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第四个图为作线段AC 的垂直平分线，可得DA DC =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；综上可得：有三个图使得ACD △为等腰三角形，故答案为：3．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及角平分线、垂直平分线的作法，熟练掌握各个图形的作法是解题关键．2、①②④【分析】根据已知∠DBC＝1∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为2半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∠FBC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝12∵∠DBC＝1∠ABE，2∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．3、1【分析】根据Rt Rt ACD EBC △△≌，得出AC =EB ＜BC ，可判断①；根据Rt Rt ACD EBC △△≌，可得∠ADC =∠ECB ，得出AD∥BC ，根据BC 与BE 相交，可判断②；根据Rt Rt ACD EBC △△≌，得出∠ADC =∠ECB ，根据直角三角形两锐角互余得出∠ADC +∠ACD =90°，利用等量代换得出∠ECB +∠ACD =90°可判断③；Rt Rt ACD EBC △△≌，得出AD =EC ，DC =CB ，根据线段和AD +DE =EC +DE =DC =CB ＞BE ，可判断④即可．【详解】解：∵点E 是CD 上的一点，Rt Rt ACD EBC △△≌，∴AC =EB ＜BC ，故①不正确；∵Rt Rt ACD EBC △△≌，∴∠ADC =∠ECB ，∴AD∥BC ，∵BC 与BE 相交，故②不正确；∵Rt Rt ACD EBC △△≌，∴∠ADC =∠ECB ，∵∠ADC +∠ACD =90°，∴∠ECB +∠ACD =90°即∠ACB =90°，故③正确；∵Rt Rt ACD EBC △△≌，∴AD =EC ，DC =CB ，∴AD +DE =EC +DE =DC =CB ＞BE ，故④不正确；∴其中成立的有1个．故答案为1．【点睛】本题考查全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定，掌握全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定是解题关键．4、线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．【详解】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．【点睛】此题主要考查垂直平分线的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的判定定理．5【分析】如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN＝B′N，根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠ABC＝60°，根据线段中点的定义和30°角直角三BM2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC 角形的性质得到BN＝12的边AC上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．【详解】解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，则MN⊥AB，BN＝B′N，∵△ABC是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴906030BMN ∠=︒-︒=︒，∵点M 为边BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝12AB∵在直角三角形BMN 中，30∠=︒BMN ，∴BN ＝12BM 如图2，当点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边AC 上时，则MN ⊥BB ′，BM B M '=，∵BM CM =，∴B M CM '=，∵60C ∠=°，∴三角形B MC '是等边三角形，∴60B MC ABC '∠=︒=∠，∴AB B M '∥∵60ABC NB M '∠=∠=︒∴NB M B MC ''∠=∠∴NB BC '∥∴四边形BMB ′N 是平行四边形，又∵BM B M '=，∴平行四边形BMB ′N 是菱形，∵∠ABC ＝60°，点M 为边BC 的中点，∴BN ＝BM ＝12BC ＝12AB【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题1、（1）（-1 ，0），（2 ，0）；（2）①F （-3 ，4）；②92．【分析】（1）由B （0 ，3）知OB =3，由OB =CD ，且OD =2OC ，知OC =1，OD =2，据此求解即可；（2）①过点F 作FP ⊥y 轴于点P ，利用AAS 证明△FPB ≌△BOC 即可求解；②过点F 作FQ ⊥BE 于点Q ，证明FB 是∠PBE 的角平分线，利用角平分线的性质求解即可．【详解】解：（1）∵B （0 ，3），∴OB =3，∵OB =CD ，且OD =2OC ，∴OC =1，OD =2，∴C（-1 ，0），D（2 ，0）；故答案为：（-1 ，0），（2 ，0）；（2）①过点F作FP⊥y轴于点P，∵∠PBF=∠BCO，BF=BC，又∠FPB=∠BOC=90°，∴△FPB≌△BOC(AAS)，∴FP=BO=3，PB= OC=1，∴PO=4，∴F（-3 ，4）；②过点F作FQ⊥BE于点Q，∵∠CBO+∠BCO=90°，∠PBF=∠BCO，∴∠CBO+∠PBF=90°，则∠CBF=90°，由折叠的性质得：∠EBC=∠OBC，EB=BO=3，∴∠EBC+∠EBF=90°，∴∠EBF=∠PBF，即FB是∠PBE的角平分线，又FQ⊥BE，FP⊥y轴，∴FQ= FP=3，∴△BEF 的面积为12BE ⨯FQ =193322⨯⨯=．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2、（1）45︒；（2）()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩；（3）5 【分析】（1）根据非负数的性质求得,m n 的值，进而求得OB OC =，即可证明OBC 是等腰直角三角形，即可求得BCO ∠的度数；（2）分Q 点在y 轴正半轴，原点，y 轴负半轴三种情况，根据点的运动表示出线段长度，进而根据三角形的面积公式即可列出代数式；（3）过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ ，根据四边形的面积求得5t =，进而求得10,5AP BQ ==，由22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠，设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，证明ADE BDQ ≌，进而可得，5BQ AE ==1055PE AP AE =-=-=，进一步导角可得PEQ PQE ∠=∠，根据等角对等边即可求得PQ【详解】（1）20n -=2,2m n ∴=-=()(0,2),2,0B C ∴-2,2BO CO ∴==90BOC ∠=︒∴OBC 是等腰直角三角形，∴45BCO ∠=︒（2）①当Q 点在y 轴正半轴时，如图，,2BQ t AP t ==，2OB =，∴2QO t =-0OQ >，0t >∴02t << ∴()21122222S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ ②当Q 点在原点时，,,A P Q 都在x 轴上，不能构成三角形，则2t =时，S 不存在③当Q 点在y 轴负半轴时，如图，,2BQ t AP t ==，2OB =，∴2QO t =-0OQ >，0t >∴2t > ∴()21122222S AP OQ t t t t =⨯=⨯⨯-=- 综上所述：()()2220222t t t S t t t ⎧-+<<⎪=⎨->⎪⎩（3）如图，过点B 作BD AQ ⊥，连接EQ,2BQ t AP t ==(0)t >211=22522ABPQ S AP PQ t t t ∴⨯=⨯⨯==四边形 5t ∴=5BQ ∴=，10AP =22BQP ABC OAQ ∠=∠=∠设ABC OAQ α∠=∠=，BAC β∠=，则BQP ∠=2α，∴45BCO ABC BAC αβ∠=∠+∠=+=︒45BAD C CAD βα∴∠=∠+∠=+=︒ADB ∴是等腰直角三角形BD AD ∴=90AOQ BDQ ∠=∠=︒OAQ AQO DBQ AQO ∴∠+∠=∠+∠∴OAQ DBQ ∠=∠α=在ADE 和BDQ △中ADE BDQ DAE DBQ AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE BDQ ∴≌DE DQ ∴=，5BQ AE ==10AP =1055PE AP AE ∴=-=-=90DEQ BDQ ∠=∠=︒DEQ ∴是等腰直角三角形45EQD ∴∠=︒Rt AOQ 中，OAQ α∠=90AQO α∴∠=︒-904545OQE AQO EQD ααβ∴∠=∠-∠=︒--︒=︒-=BQP ∠=2α，2PQE BQP OQE αβ∴∠=∠+∠=+又452PEQ OAQ EQD ααβ∠=∠+∠=︒+=+PEQ PQE ∴∠=∠PQ PE ∴=5=【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．3、证明见解析【分析】过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N ，根据角平分线性质，得DM DN =；根据全等三角形的性质，通过证明ADM ADN △≌△，通过证明ADM ADN △≌△，得BM CN =，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．【详解】如下图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N∵BAD CAD ∠=∠∴DM DN =直角ADM △和直角ADN △中DM DN AD AD =⎧⎨=⎩∴ADM ADN △≌△∴AM AN =∵点D 为BC 的中点，∴BD CD =直角BDM 和直角CDN △中DM DN BD CD=⎧⎨=⎩ ∴BDM CDN ≌∴BM CN =∵AB AM BM =+，AC AN CN =+∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．4、（1）直线AB 的解析式为1322y x =-+；()1,1P ；（2）当点Q 为()0,1-或70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，APQ ∆为等腰三角形，理由见详解．【分析】（1）根据点A 的坐标及2OA OB =，可确定点30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将A 、B 两点代入求解即可确定函数解析式；将两个一次函数解析式联立解方程组即可确定点P 的坐标；（2）设()0,Q y 且0y <，由P ，A 坐标可得线段AP ，AQ ， PQ 的长度，然后根据等腰三角形进行分类：①当AP PQ =时，②当AP AQ =时，③当PQ AQ =时，分别进行求解即可得．【详解】解：（1）∵()3,0A ，∴3OA =，∵2OA OB =， ∴32OB =，∴30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠， 将A 、B 两点代入可得：0332k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为1322y x =-+；将两个一次函数解析式联立可得： 1322y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，∴()1,1P ；（2）设()0,Q y 且0y <，由()1,1P ，()3,0A 可得：AP ==AQ =PQ =， APQ ∆为等腰三角形，需分情况讨论： ①当AP PQ =时，可得()22511y =-+，解得：1y =-或3y =（舍去）；②当AP AQ =时，可得：2253y =+，方程无解；③当PQ AQ =时，可得：()2222311y y +=-+， 解得：72y =-，综上可得：当点Q 为()0,1-或70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，APQ ∆为等腰三角形． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式、一次函数交点与方程组的关系、等腰三角形的性质、坐标系中两点之间的距离等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．5、（1）4（2）图见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；（2）以C 为圆心，CA 长为半径画弧，与BC 交于点Q ，作∠C 的角平分线交AB 于P 点即可求解．【详解】（1）ABC 的面积等于1142422AB AC ⨯=⨯⨯= 故答案为：4；（2）以C 为圆心，CA 长为半径画弧，与BC 交于点Q ；分别以A ，Q 为圆心，大于12AQ 长为半径画弧，两弧交于点E ；连接EC 与AB 交于点P ；连接PQ ，即为所求．∵AC =QC ，∠ACP =∠QCP ，CP =CP ，∴△ACP ≌△QCP （SAS ）∴∠PQC=∠A=90°，故点P和点Q为所求．∴PQ=AP，PQ BC【点睛】此题主要考查角平分线的作图及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的尺规作图方法．。

北师八（下）第一章有理数1.1-1.3水平测试题河北饶阳县第二中学 郭杏好 053900一、选择题（每题3分，共24分）1.绝对值小于3的非负整数有( )A ．1，2B ．0，1C ．0，1，2D ．0，1，2，32．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A ．b -a ＞0B ．ab ＞0C ．c -b ＜c -aD ．ab 11 3．下列判断中，正确的个数为( )①若-a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则-a -c ＜-b -cA ．2B ．3C ．4D ．54．不等式-4≤x ＜2的所有整数解的和是( )A ．-4B ．-6C ．-8D ．-95．若不等式(a ＋1)x ＜a ＋1的解集为x ＜1，那么a 必须满足( )A ．a ＜0B ．a ≤-1C ．a ＞-1D ．a ＜-16．已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A ．x ＜2B ．x ＞-2C ．当a ＞0时，x ＜2D ．当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞27．不等式3(x -2)≤x ＋4的非负整数解有几个( )A ．4B ．5C ．6D ．无数个8．下列说法错误的是( )A ．-3x ＞9的解集为x ＜-3B ．不等式2x ＞-1的整数解有无数多个C ．-2是不等式3x ＜-4的解D ．不等式x ＞-5的负整数解有无数多个二、填空题（每题3分，共24分）9．已知a ＞0，b ＜0，且a ＋b ＜0，将a ，-b ，-|a |，-|b |用“＜”号按从小到大的顺序连接起来是 ．10．已知|x -5|＝5-x ，则x 的取值范围是 ．11．若a ＜b ，则-3a ＋1________-3b ＋1．12．若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc ．13．若ba b a --||＝-1，则a -b ________0． 14．大于________的每一个数都是不等式5x ＞15的解． 15．如果不等式(a -3)x ＜b 的解集是x ＜3-a b ，那么a 的取值范围是________． 16．方程)＋1的解为非负数，则m 的取值应为________．三、解答题（3小题，共30分）17、（10分）已知不等式2x -1＞x 与ax -6＞5x 同解，试求a 的值． 18、（10分）爱心援助：小明和小刚在学习时，遇到以下两题，被难住了，请你伸出援助之手……（1）不等式a (x -1)＞x ＋1-2a 的解集是x ＜-1，请确定a 是怎样的值．（2）如果不等式4x -3a ＞-1与不等式2(x -1)＋3＞5的解集相同，请确定a 的值．19. （10分）已知方程组⎩⎨⎧-=+=-k y x k y x 5132的解x 与y 的和为负数，求k 的取值范围． 四、综合探索题：（22分）20、（10分）小宁一家10点10分离家赶11点整的火车去某地旅游，他们家离火车站10千米.他们先以3千米/时的速度走了5分钟到达汽车站，然后乘公共汽车去火车站．公共汽车每小时至少走多少千米他们才能不误当次火车？21、（12分）某校校长带领该校市级“三好学生”外出旅游，甲旅行社说：如果买一张全票则其余学生可享受半价优惠.乙旅行社说：包括校长在内全部按票价的6折优惠(即按全价的60%收费)．已知全票价为240元．(1)设学生人数为x ，甲、乙旅行社收费分别用y 甲、y 乙表示，分别写出y 甲、y 乙与x 的函数关系式．(2)当学生是多少时，两家旅行社收费相同？(3)当x ＞4时，选择哪家旅行社较合算？五、备选题：22. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成多少土方？23. 不等式的解集中是否一定有无限多个数？不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？不等式x2＞0和x2＋4＞0的解集分别又是什么？24.请写出满足下列条件的一个不等式(1)0是这个不等式的一个解．(2)-2，-1，0，1都是不等式的解．(3)0不是这个不等式的解．(4)与x ≤-1的解集相同的不等式．(5)不等式的整数解只有-1，0，1，2．参考答案:一、1．C 2．D 3．B 4．D （提示：满足-4≤x ＜2的整数解有-4，-3，-2，-1，0，1，切勿漏解或多解 5．C 6．D （提示：因a 的符号未知，因此应用不等式的哪条性质不定，故需分类讨论） 7. C （提示：非负整数包括正整数和零） 8. D(提示：x ＞-5的负整数解有-4，-3，-2，-1)二、9．-|b |＜-|a |＜a ＜-b 10．x ≤5 11.＞ 12．≤（提示：勿丢c=0） 13．＜（提示：由于a-b 在分母上，故a-b ≠0） 14．3 15．a ＞3（提示：因为在解的过程中不等号的方向没变，由不等式的性质2可知，a-3>0,故a>3） 16．m ≤-21 三、17、218、（1）解：不等式a (x -1)＞x ＋1-2a 可变形为ax -a ＞x ＋1-2a (a -1)x ＞1-a∵ 原不等式的解集为x ＜-1 ∴ a -1＜0，即a ＜1（2）解：解2(x -1)＋3＞5得：x ＞2解不等式4x -3a ＞-1得：x ＞413-a ∵ 以上两个不等式的解集相同∴413-a ＝2，解得a ＝3 19. k ＞31（提示：注意观察方程组的结构特点，让两个方程巧相加，可使运算简便） 20.设公共汽车速度为x 千米/时 根据题意得：3×6045605+x ≥10 解得:x ≥13，所以公共汽车每小时至少行13千米．21.解：(1)y 甲＝240＋240x ·50%，即y 甲＝240＋120xy 乙＝240(x ＋1)·60%，即y 乙＝144x ＋144(2)若y 甲＝y 乙，则240＋120x ＝144x ＋144解得：x ＝4(3)y 甲-y 乙＝240＋120x -(144x ＋144)＝-24x ＋96当x ＞4时，-24x ＋96＜0，即y 甲＜y 乙这时选择甲旅行社较合算22. 8023.不等式的解集中不一定有无数多个数．|x|≤0的解集是x ＝0，x2＜0无解．x2＞0的解集为x ＞0或x ＜0，x2＋4＞0的解集为一切实数．24. (1)x ＞-1(或x ≥0，x ＞-2等都可以)(2)x ＜2(或x ≤1，x ≥-2，x ＞-5等均可)(3)x ＞1(或x ＜-1等均可＝(4)2x ≤-2(或x ＋1≤0，2x ＋2≤0等均可)(5)-1≤x ≤2(或-1.5＜x ＜2.1等)。

第一章复习一、填空题(每空3分，共36分)1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝度．2．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是度．3．如图，AB＝AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE.4．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B＝度．(第3题图) (第5题图) (第6题图) 6．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则AD= cm．7．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA ＝度.9．等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为cm2．10．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝.(第10题图) (第11题图)11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.12．命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是。

二、选择题(每空3分，共24分)13．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF 14．下列命题中正确的是( )A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等15．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是( )A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的16．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是( )A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3D．2，2，417．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD．若△ABC不动，将△BDC绕B点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为( )A．AE＝CD B．AE>CD C AE<CD D．无法确定（第17题图）（第18题图）18．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定19．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形20．已知△ABC中，A B＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm三、解答题(6+6+6+6+8+8分，共40分)21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．22．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．23．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．24．求证：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等．25．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．你知道线段AD、DE、BE的关系吗？证明你的结论。