模块一 二元一次方程（组）的基本概念
☞二元一次方程
1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)
3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）
A.30x y z -+=
B.30xy y x -+=
C.12023x y -=
D.2
10y x
+-= 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．
【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A.31x xy -=
B.2430x x +=
C.23y +=
D.3x y =
【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故选D ．
【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【解析】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =. 【答案】见解析
【巩固】已知方程1
1(2)2m n m x y
m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 【解析】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【答案】见解析
二元一次方程组的概念及解法
【例3】 已知2
1x y =⎧⎨=⎩
是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）
A.2
B.2-
C.1
D.1-
【解析】二元一次方程的解 【答案】A
【巩固】已知2
1x y =⎧⎨=⎩
是方程25x a +=的解，则a =
【解析】略 【答案】A
【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）
A.1组
B.3组
C.4组
D.无数组
【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，
然后可给定x 一个正整数的值，计算y 的值即可．
【答案】方程可变形为103y x =-
当1x =时，则1037y =-=； 当2x =时，则1064y =-=； 当3x =时，则1091y =-=．
故方程310x y +=的正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，3
1x y =⎧⎨=⎩
，共3组．
故选B ．
【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解
⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解
【解析】略
【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，2
1x y =⎧⎨=⎩
，
⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，135
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得2
1m n =⎧⎨=-⎩
，
22()()339m n m mn n -++=⨯=.
【答案】见解析
【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）
A 、1a =，0b =
B 、0a =，1b =-
C 、2a =，1b =
D 、2a =，3b =-
【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于a ,b 的方程组。
【答案】1
1a b a b -=⎧⎨+=⎩
，解得1a =，0b =
☞二元一次方程组：
1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如2631x x y =⎧⎨-=⎩
也是二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.
【例6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）
A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩
B.54x y =⎧⎨=⎩
C.1
345y x
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩
E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩
F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩
G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩
H.4
23531
x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩
【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含2个未知数；②最高次项为1次；整
式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。因此B 、E 、F 、G 、H 均为二元一次方程组，很多同学易在F 、G 、H 出错。
【答案】B 、E 、F 、G 、H
【巩固】下列方程组中，①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④1
20x y =⎧⎨-=⎩
是二元一次方程组的序
号是
【解析】略 【答案】①④
【例7】 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，1∠的度数x ︒比2∠的度数y ︒的2倍多10︒，则可列正确
的方程组为（ ）
O
2
1
C B
A
A.18010x y x y +=⎧⎨=+⎩
B.180210x y x y +=⎧⎨=+⎩
C.180102x y x y +=⎧⎨=-⎩
D.90210x y y x +=⎧⎨=-⎩
【解析】略 【答案】B
【巩固】一副三角板如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数大50︒，若设1x ∠=︒，2y ∠=︒，则可得到
的方程组为（ ）
