数学实验教程实验6(空间曲线与曲面

M ( x , y , 0 ) M ( x , y , 0 ) M ( x , y , z ) 点 ， 即 点 在 过 点 的 母
M ( x , y , z ) F ( x , y ) 0 线 上 ， 于 是 点 必 在 柱 面 上 ， 故 方 程
z 轴的 柱面 表 示 平 行 于 。
平行于 z 轴的 F ( x ,y ) 0 一 般 地 方 程 表 示 母 线 ；
动 直 线 L 沿 给 定 曲 线 C 平 行 移 动 所 形 成 的 曲 面 ， 称 为
柱 面 。 动 直 线 L 称 为 柱 面 的 母 线 ， 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 。
z
xoy 现 在 来 建 立 以 面 上 的 曲 线 F ( x , y ) 0 , M (x ,y ,z) 平 行 于 C ： 为 准 线 ， L z 0 .
22 2 2 x y z a ( z 0 ) 2 例 4 ． 方 程 组 a a 22 ( x ) y ( a 0 ) 4 2
表 示 上 半 球 面 和 圆 柱 面 的 交 线 L 。
z
a
L
o
x
a
a
y
222 x y R 例 5 ． 方 程 组 z 2 2 22 x y z R xoy 表 示 圆 柱 面 与 球 面 的 交 线 ， 它 是 平 面 上 的 一 个 圆 。
得方程， ( x ,y ) 0 它表示母线平行于 柱面 z轴的 1
( x , y ) 0 1 曲线 L 在 xoy 面上的 就 是 投 影 曲 线 的 z 0
消 x 与 去 y 曲 L 的 线 方 程 中 同 样 ， 从 分 别 ， 得 到 柱 面

高等数学实验报告实验七：空间曲线与曲面的绘制一、 实验目的1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。

二、实验题目利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形：(1)xy x y x z =+--=2222,1及xOy 平面；(2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z三、实验原理空间曲面的绘制作参数方程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项]四、程序设计(2)五、程序运行结果（2）六、结果的讨论和分析1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形。

2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。

3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。

4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。

实验八 无穷级数与函数逼近一、 实验目的(1) 用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势； (2) 展示Fourier 级数对周期函数的逼近情况;(3) 学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。

二、实验题目（1）、观察级数∑∞=1!n nnn 的部分和序列的变化趋势，并求和。

（2）、观察函数⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 0,10,)(展成的Fourier 级数的部分和逼近)(x f 的情况。

o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.

1
球 面
（3）抛物线

y2

2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
北京理工大学数学系
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
北京理工大学数学系
五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)

0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
北京理工大学数学系

实验6 空间曲线与曲面实验目的1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。

实验准备1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程实验内容1．绘制空间曲线2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域软件命令表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令实验示例【例6.1】绘制空间曲线绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。

【程序】：t=0:pi/30:9*pi;a=10; c=3;x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t;plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。

图6-1 空间曲线的绘制【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面绘制二元函数z =:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。

【程序】：参见Exm06Demo02.m 。

【输出】：见图6-2。

图 6-2 绘制空间曲面【例6.3】绘制Mobius 带Mobius 带的参数方程为122122cos sin cos ,[0,2],[,]sin uu x r u y r u r c v u v a b z v π=⎧⎪==+∈∈⎨⎪=⎩，，其中,,a b c 为常数，绘制其图形。

【程序】： clear syms u v; c=4.0;a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1;x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】图6-2 Mobius 带【例6.4】 画出上半球面 2222(1)x y z r ++-=与圆锥面2222()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。

的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
x2 a2
y2 b2
1
二、空间曲线及其方程
x = acos t y = asin t
z = vt
注: 还可以用其它变量作参数.
Ot M
A x
M y
例如: 令 = t. 为参数; 螺旋
z
线的参数方程为:
x = acos

图6-4



绘制二元函数图形也可用简捷绘制的ezsurf指令，它的使 用格式为: ezsurf(f(x,y),[a,b,u,v]) 即可绘制函数在区域[a,b]×[u,v]上的图形。当省略区域 时，默认区间是[-2 ,2 ]×[- 2 , 2 ]。例如输入: ezsurf('x*exp(-x^2-y^2)') 则输出如图6-5所示。
图6-12

【例7】可以证明:函数z=xy的图形是双曲抛物面。在区 域-2≤x≤2，-2≤y≤2上作出它的图形。
输入: x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=xx.*yy; surf(xx,yy,zz) 输出如图6-13所示。


图6-13


例如，画出曲面 z x y 的图形。输入: x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z) z x 2 y 2，见图6-2。 得到曲面
2 2
图6-2


执行下面的程序: x=-2:0.015:2; y=-2:0.015:2; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; i=find(x.^2+y.^2>4); z(i)=NaN; surf(x,y,z) 同样得到曲面(见图6-3)。 由于自变量的取值范围不同，图形也不同。不过，后者比 较好地反映了旋转曲面的特点，因此是常用的方法。
图6-3

又如，参数方程: x 2sin cos , y 2sin sin , z 2cos 是以原 点为中心、2为半径的球面，其中 0 , 0 2 因此只要输入: t=0:0.1:pi; r=0:0.1:2*pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=2*sin(t).*cos(r); y=2*sin(t).*sin(r); z=2*cos(t); surf(x,y,z) 2 2 2 2 便作出了方程为 x y z 2 的球面(见图6-4)。

z
例 方程x 2 y 2 R2表示怎样的曲面？ 解 表示母线平行于 z轴的圆柱面
圆柱面
: x 2 y 2 R2
x 2 y2 R2 准 线 为C : z 0
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0 x
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y
准线C
其他类推.
x2 z2 例: 2 1 2 a b
母线平行于y轴的双曲柱面， 准线为
空间曲线的参数方程
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
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2 2 2 M 例 3 如果空间一点 在圆柱面x y a 上以 z 轴旋转，同时又以线速度 z v 沿平行于 角速度 绕 v 都是常数），那么点 轴的正方向上升（其中 、 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
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x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
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3 | y | . 2
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补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
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例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.

参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。

y
x
y
O
x
O y
x
图6-5
图6-6
图6-7
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
6.1.4 旋转曲面 平面曲线C绕定直线L旋转形成的曲面叫旋转曲面，定直线L叫做旋转
曲面的轴，曲线C叫做旋转曲面的母线. 在旋转曲面中，过轴的半平面与旋转曲面的交线叫经线，显然，所有
的经线形状完全相同，它们的旋转轨迹能彼此重合. 与轴垂直的平面和旋 转曲面的交线是一个圆，称之为纬线或纬圆，它是由母线上的一点绕轴旋 转形成的.
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
本节将曲面(曲线)看成满足一定几何条件的动点的几何轨迹，从而得到 曲面(曲线)方程的概念，并建立圆柱螺线、球面、柱面、旋转曲面的方程.
6.1.1 曲面、空间曲线与方程 6.1.2 球面 6.1.3 柱面 6.1.4 旋转曲面
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
6.1.1 曲面、空间曲线与方程
(6.1.5)
的图形总是一张球面. 事实上，通过配方，可把方程(6.1.5)化为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 k
k 0时，方程6.1.5表示球心在点P0 (x0, y0, z0 ) ，半径为 k的球面；
k 0时，方程6.1.5表示的球面收缩为一点( 称为点球面)；
于是得方程组
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
x l
x0
y y0 m
z z0 n
,
F
(
x0
,
y0
,
z0
)
0,
G( x0 , y0 , z0 ) 0.
（6.1.6）
消去x0 , y0 , z0 得
F(x lu, y mu, z nu) 0, G(x lu, y mu, z nu) 0.

DisplayFunction->Identity];
t3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-0.5, 1}, {v,-0.5,1},AxesLabel->{“x”,“y”,“z”},PlotPoints->50,
DisplayFunction->Identity];
Show[t1, t2, t3, DisplayFunction -> $DisplayFunction];
三、程序设计
1.实验对象：
输入命令：
t1 = ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v], Sin[u]*Sin[v], Cos[u]}, {u,
0, \[Pi]/2}, {v, 0, 2*\[Pi]}, PlotPoints -> 30,
DisplayFunction -> Identity];
t2 = ParametricPlot3D[{(0.5 + 0.5*Cos[u]), 0.5*Sin[u], v}, {u, 0,
2*\[Pi]},{v,-1,1}, PlotPoints->30,
DisplayFunction -> Identity];
t3 = ParametricPlot3D[{u, v, 0}, {u, -1, 1}, {v, -1, 1}, PlotPoints -> 30,
Show[g1,g2,DisplayFunction -> $DisplayFunction]]
五、程序运行结果
六、结果的讨论和分析
有图像可以看出，逼近函数f（x）的效果随n的增大而越来越好。通过实验，更直观的感受到傅里叶级数在函数模拟上的广泛用途。

空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。

曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。

本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。

一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。

参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。

每个参数t对应曲线上的一个点。

一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。

参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。

而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。

二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。

参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。

每个参数对应曲面上的一个点。

一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。

隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。

选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。

参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。

一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。

三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。

有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。

对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。

例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。

对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。

四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。

实验一空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

1、空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D”。

如画x x(t )出参数方程 y y(t ) , t1t t 2所确定的空间曲线的命令格式为:z z(t )ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项 ]例1画出旋转抛物面 z x 2y 2与上半球面z 11x 2y2交线的图形。

x cost解：它们的交线为平面 z 1 上的圆x2y 2 1 ，化为参数方程为y sin t , t [ 0, 2 ] ，z1下面的 mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3D Cos t,Sin t , 1 ,t,0,2Pi运行即得曲线如图 1 所示。

10.5在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的0-0.5-1F ( x, y, z)0参数方程。

如果曲线为一般式，其在 xOy 面上的投G( x, y, z)0影柱面的准线方程为H ( x, y) 0 ，可先将 H ( x, y)0 化为参数方21.510.5-1-0.50.5x x(t)1程，再代入 G ( x, y, z) 0 或 F ( x, y, z)0 解出y y(t )图 1z z(t) 即可。

2、空间曲面的绘制作一般式方程z f (x, y) 所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项 ]x x(u, v)作参数方程y y(u, v),u [u min ,max ], v[ v min ,v max ] 所确定的曲面图形的z z(u,v)Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]例2作出上半球面 z 1 1 x 2y2的图形。

z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上
以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中、v 都
是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋 线．试建立其参数方程．
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x

a )2 2

y2

a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
2、空间曲线的参数方程
x x(t)

y

y(t )
空间曲线的参数方程
螺旋线的重要性质：
b v)

上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
如何将曲线
化为参数方程？
的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)

0 0
(*)
(1) 先从一般方程(*)中消去某个变量，比如z， 得方程H(x,y)=0，写出该方程在xOy面的参数方程 x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某 个方程解出z=z(t)，最后在确定t的变化区间，就得 到了曲线的参数方程.
x2 5z2 2xz 4x 0

,
y 0
（3）消去x 得投影
y2 z2 2y z

数学空间曲面实验报告1. 实验目的本实验旨在通过实际操作、观察和测量，研究数学空间中的曲面，深化对曲面性质及其应用的理解。

2. 实验器材和材料- 曲面实验模型- 测量工具：尺子、量角器、测量器等- 计算机及相关软件3. 实验原理曲面是空间中的一个二维对象，它可由三元函数表示，即f(x, y, z) = 0。

本实验将研究以下曲面的性质：- 球面：由中心点和半径决定，满足方程(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2。

- 椭球面：满足方程(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1，其中a、b、c分别代表椭球面在三个坐标轴上的半径。

- 双曲面：满足方程(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1。

- 抛物面：满足方程z = a(x^2 + y^2)。

- 椭圆抛物面：满足方程(x/a)^2 + (y/b)^2 - z = 0。

4. 实验步骤与观测数据1. 首先，观察并比较不同曲面的形状，了解其特点。

2. 测量球面的半径r，记录数据。

3. 测量椭球面在三个坐标轴上的半径a、b、c，记录数据。

4. 测量双曲面的参数a、b、c，记录数据。

5. 测量抛物面的常数a，记录数据。

6. 测量椭圆抛物面的参数a、b，记录数据。

5. 数据处理与分析根据测量数据，计算并分析以下内容：- 球面的体积和表面积；- 椭球面的体积和表面积；- 双曲面的焦点、准线等相关参数；- 抛物面的焦点、准线等相关参数；- 椭圆抛物面的焦点、准线等相关参数。

并与理论值进行比较，分析误差来源和可能的改进方法。

6. 结论通过本实验的操作和数据分析，我们深入理解了数学空间中曲面的性质和特点。

实验结果表明理论模型与实际应用之间存在一定的差距，其中误差分析显示测量工具和测量方法是影响误差的重要因素。

为提高实验准确度，我们可以使用更精确的测量工具和改进测量方法，以便更好地研究数学空间曲面的应用。

这条定直线叫旋转 曲面的轴．
play
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例7 求yO z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕z 轴旋转
一周所得空间曲面的方程.
解 设M1(0, y1, z1)是曲线 f (y, z) = 0上的一个 点， M(x, y, z) 是M1 在旋转过程中所产生
x
的任一点，则有
z
d M1(0, y1, z1)
准线: xOy 平面上的抛物线 y 2 = 2x.
母线: 与z 轴平行.
z
o x
y2 2x
y
S ：抛物柱面
返回
例5
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,
b 0)
S
{( x,
y,z) |
x2 a2
y2 b2
1}
准线: xOy 平面上的双曲线
z
x2 a2
y2 b2
1
母线: 与z 轴平行.
O
y
x
S ：双曲柱面
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例6 y = x
在 xy 平面上, y = x 是一条直线.
z
在空间直角坐标系 O - xyz 中，y = x 是一张平面. 它也可 以看成是以xy 平面上的直线 y = x 为准线，母线平行于z 轴 的柱面.
o x
y
y x
返回
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕该平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
f ( x2 z2, y) 0
同样可讨论平面曲线
L’:
f
(
x, z) y0
0
绕x轴或z轴旋转所成的曲面方程.
返回
例 10 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一