2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。

）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。

解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。

当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。

解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。

解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。

解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。

5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知函数2sin y x =，则 答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是 答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的 三点是 答：[ ] （A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为 答：[ ]（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 6. 已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 答：[ ] （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点 (28)，，则a b +等于 .9. 已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .10.30x y -+=的离心率是 .11. 在ABC ∆中，已知tan B =sin C =，AC =ABC ∆的面积为 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率. 14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a . 16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知函数2sin y x =，则（B ）.（A ）有最小正周期为π2（B ）有最小正周期为π （C ）有最小正周期为2π（D ）无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T .故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（ C ）.（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ）1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式B 1BA 1C 1AC22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥（B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥（D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题.故选（D ）． 5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种.因为321=+=7610=+-，故（1）由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2）由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=-则a 的值有（ D ）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于4.解：由题设知log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4. 9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为[21)x ∈-，．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<.于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为[21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2． 11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=．解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=±．故sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>.命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是021≤<-a 或121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是021≤<-a 或121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线 l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示． 设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为 y24－x24＝1(y ＞0)．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ①因为直线AB 过点F(22，0)， 当AB x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k(x －22)． 代入双曲线方程y24－x24＝1(y ＞0)得， k2(x －22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x ＋(8k2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A ，B 两点， 所以k≠±1． 所以x1＋x2＝42k2k2－1，x1x2＝8k2－4k2－1．所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k2k2－12－4×8k2－4k2－1]＝|x1＋x2|＝|42k2k2－1|， 化简得：k4＋2k2－1＝0， 解得k2＝2－1（k2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k2)2－4(k2－1) (8k2－4) ＝3k2－1＞0， 又由于y ＞0，所以－1<k<－33．所以k ＝－2－114. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D .因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥．（2） 由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的（第14题） B 1BA 1C 1AC距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯， 所以1C DB ABCS h S ∆∆=．又 1C D BD =，且2211==⨯=∆BD BD D C S DB C 设ABC ∆的高为AE ，则2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ，41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=.由22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. 于是200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以a=．易知数列11a =，22a =，，n a n = 符合本题要求． 注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点． 证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点．因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾．A 1A k A 2B 1B 2 B m再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边.k A 与m B 不重合，线段k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10个圆都相交．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：4月20日上午8：00—10：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx+ny 的最大值为 []A. 2b a +B. abC. 222ba + D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 []A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为答：[] A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 []A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β[] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =__________(结果要求写成既约分数）.8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为____________. 9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10. 在ABC ∆中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ，则 222c b a +=______________.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.1 2 0.5 1 xyz12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ ）()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a2．函数3log 3xy =的图象是（ ）()A ()B ()C ()D3．已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有（ ）()A 0个()B 2个()C 4个()D 6个4．设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>，则( ）()A ()()()1230f x f x f x ++>()B ()()()1230f x f x f x ++< ()C ()()()1230f x f x f x ++=()D ()()()123f x f x f x +>5．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有（ ）()A 0条()B 1条()C 4条()D 无数多条6．在△ABC 中，1tan 2A =，310cos B =．若△ABC 的最长边为1，则最短边的长为（ ）()A ()B ()C ()D 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合{}3,,010A x x n n N n ==∈<<，{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤，则集合A B 的所有元素之和为． 8．设cos 2ϑ=，则44cos sin ϑϑ+的值是． 9．()323x x-的展开式中，5x 的系数为．10．已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是．11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n =时，()f n 有最大值．12．长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是． 三．解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分） 13．设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．14．椭圆22194x y +=的右焦点为F ，1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中1P 是椭圆的右顶点，并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠．若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求2S 的值．15．△ABC 中，AB AC <，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且BAD EAC ∠=∠． 证明BAC ∠是直角．16．设p 是质数，且271p +的不同正因数的个数不超过10个．求p ． 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D7．2258．11189．27 10．9 11．1212．()4,513．解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所说，()()1,00,3a ∈-．B14．解：椭圆中，3a =，2b =，故c =)F，e =设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ，i d 为点i P 到右准线的距离．则()2cos 1i i a d e c cϑ+=-．即()21cos 1i i c e d b ϑ=+．同理()()1222121cos 1cos 1i i i c c e d b bϑϑ++=+=-+． 所以2121122i i c d d b ++==． 从而2411i id ==∑ 2180S =． 15．如图，取AB 中点I ，连ID 、IE ．则IE 为中位线，所以//IE AC ，且IEA EAC ∠=∠．而BAD EAC ∠=∠，所以IEA BAD ∠=∠．…………①在直角△ADB 中，I 为斜边中点，所以ID IA =，从而BAD IDA ∠=∠．…………②联合①、②得A 、I 、D 、E 四点共圆．所以BAD IEB C ∠=∠=∠，∴90B C ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒．16．解：当2p =时，22717535p +==⨯，有()()11216++=个正因数； 当3p =时，24718025p +==⨯，有()()411110++=个正因数．所以2p =、3p =满足条件．当3p >时，()()2711172p p p +=-++．其中p 为奇质数，所以()1p -与()1p +是相邻的两个偶数，从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数，从而()()11p p -+是24的倍数． 设23712423p m m +=⨯=⨯⨯，其中4m ≥．若m 中有不同于2、3的质因数，则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>；若m 中含有质因数3，则则271p +的正因数个数()()312110≥++>；BC若m 中仅有质因数2，则271p +的正因数个数()()511110≥++>．所以3p >不满足条件．综上所说，所求得的质数p 是2或3．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．25B．23C.3D．13．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.3C．2D．35．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.2B.21 2C．22D．27．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．[答 题 栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)A 级1．C2.B3.C4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝5k2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2－1＝2， 解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.答案：239．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2， 化简得x2－2tx ＋y2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式， 解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝02302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立． 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =， 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ， 则R 是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==， 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ； 当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形， 即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形． 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<． 若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-， 则必须满足120d d -… ． 因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同 类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增， 又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<， 使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形． 解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…， 等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”， 简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析 因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟， 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+； （2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ； （3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ． 解析 解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=． 所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34． 解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证： （1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析 （1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠， 又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽． （2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =， 所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =， 同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点． 若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α， 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-， 因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--， 从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=， 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析 九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ， 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++， 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++， 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒． 设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒， 解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一、填空题（每小题7分，共70分））1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则ab 的值是 -3。

2.从1, 2,3.4.5.6.7.8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。

4/93.已知()x f 是周期为4的奇函数且当()2,0∈x 时()60162+-=x x x f ,则()102f 的值是。

-364.己知直线l 是函数()2ln 2x x x f +=图象的切线，当的斜率最小时l 的方程是。

034=--y x5.在平面直角坐标系XOY 中，如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取位范围是。

[]2,06.己知等边△ABC 的边长为2,若()BC AP AQ AC AB AP 21,31+=+=,则△APQ 面积是。

337.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC1的中点.若过点A,P .Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。

⎪⎭⎫⎝⎛1,218.己知数列{}n a的奇数项依次构成公差为1d的等差数列，偶数项依次构成公差为2d的等差数列.且对任意,*∈Nn都有.1+<nnaa若,2,121==aa且数列{}n a的前10项和,7510=S则=8a11 9.己知正实数yx,满足()()162222=+++xyyx则=+yx。

410.设M表示满足下列条件的正整数n的和:n整除22016，且2016整除2n.那么M的所有不同正因子几的个数为。

360二、解答题（每小题20分，共80分））11.已知,2,0,1235cos1sin1⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈=+πθθθ求θtan。

3/4或4/312.如图，点P 在△ABC 的边AB 上且 AB=4AP ，过点P 的直线MN 与△ABC 外接圆交于点M, N ，且点A 是弧M N 的中点.求证： (1)△ABN ≈△ANP 。

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛1、关于 x 的不等式 x a b 的解集为 x 2 x 4 ，则 ab 的值是2、从 1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概 率是 。

3、已知 f x 是周期为 4 的奇函数且当 x 0,2 时f x x 2 16x 60 ,则f 2 10的值是5、在平面直角坐标系 xOY 中，如果直线 l 将圆x 2 y 2 2x 4y 不经过第四象限，那么 l 的斜率的取位范围是6、己知等边△ ABC 的边长为 2,若AP 31 AB AC , AQ AP 21 BC,则△APQ面积是7、已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC上， 点 Q 为棱 CC 1的中点 .若过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的 截面为五边形 .则 BP 的取值范围是 。

4、己知直线 l 是函数 fx2 ln xx 2 图象的切线， 当l 的斜率最小时 l 的方程0平分，但8、己知数列 {a n }的奇数项依次构成公差为 d 1的等差数列，偶数项依次构成公差10 项和 S 10=75，则 a 8=2 x 2 29、己知正实数 x ，y 满足 y10、设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和:n 整除20162，且 2016整除n 2 .那么 M 的所有不同正因子几的个数是为 d 2 的等差数列 .且对任意 n ∈N*， 都有 a n <a n+1， 若 a 1=1. a 2=2,.且数列 {a n }的前2216则 x y1 1 35 11、已知sin cos 12 0,2,求tan12、如图，点P在△ ABC的边AB上且AB=4AP，过点P的直线MN 与△ ABC外接圆交于点M, N，且点A是弧M N 的中点.求证：(1)△ ABN △ANP。

2）证明：BM+BN=2MN.22 xy13、在平面直角坐标系xOY中.双曲线C:与双曲线C： 2 2 1的右焦点为F，ab过点F的直线l交曲线C于 A.B两点.若OF.AB=FA.FB求,.双曲线C的离心率e.14、己知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值.若九个内角中有一个角等于1200，试求常数的值.1.1 2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2O1G 年5 月 '日8: OO-IO: OO)一、填空題I本大题共KI小题•每小题7分満分7(1分)L . I > I H H ‘ 丨2・∙ WJnA答案-3.解lll⅛⅛. b A 0.不等代I」•十4 < 0祚价I -O 一 b V J・U —α十b.从而2.从L 2.3. L 5. 6, 7. & 9屮任取两卜不问的敷,Wl取出的两数2和为偶救的槪审足_______________答吗2解収出两数2和为偶数的概率为务G =3・Ll)SflHl) f［期为4 的,i .∣⅛. II l- 0,2) W,∕(ar) X2 1& <∙o. M ∕∣2∖1(i)的们是 ___________答案・3G.拆注忽到S 2、帀€(U.2>. |1|电总.綁/(2√Iδ)≡ /(2v^δ-8> -/(a-2√iθ) ≡ ι (8 2√iδ-M -SG.4・Ll⅛n⅜ I是Bfiet /(」•)2Inu f」2图象的切线.当?的斜率址小时./的方甩足___________ ・答案4J∙ - w — 3 = <).解甬故/(J∙)≡ 2hτ + X2的导函敌∕,(r) - → 2τ. 4- ≥0.从丽J r{jc}→ 2/ ≥ I. ,l∣ Ii 仅当*■］时僭号成立.所W,Γ［线/的斜率的最小值为•!,此时切点为(1J),切线方程为h∙ if 3 0.5.SrKI角坐标農Jou屮，帕采r俄I将岡/十『—2事一M=P平分,H不纠.彖限，那么I的斜率的取値范恫兄 ____________ .答案［0,21.解恻严+ y2 -O r- Vl= O的恻心坐标为l1.2). IlI^ i⅛. M线门止点(1. 2). H⅛W为“ 一2 h{,τ 1).即皆灯卜2九注盘到J不经过第闷象限•则Jb > O, Jl 2上A0,解O ≤ λ∙ C 2.6.C知徐边A.WL的边l<⅛ 2、若TP *罚十17*)帀IT i t：7F.则^APQ的l⅛l⅜l⅞答案#・1.1 2016年舍LE高F数学联赛江菽赛区初赛 3__ 1 __ _____ •)υ __ 解山存刖初+ Xr)妙点P足零边Δ4∕JC的中心所以AP于，只山吧AP + 得PQ = •且APIPy l因此UPQ的IflI 枳为罟.7.∣2知IE方体ABCD-A1Ii t C l D1的梭长为1,点P It技IiC h,点Q为楼CC l的屮点. 若过点/1 r.Qf⅛f-M该正方体所紂的戴而为Ti边形.则Br的取値范個为________________________________________________ .** (? 0 *图1.1.1：笫7题图解如图，当点P为BC屮点时PQfAD u此时故南为四边形APQDU从而.与BPV；时.截而为网边形.当J < ZIP <1 at戲啲为五边形.因此.BP的収值范岀为8. ______________ 己知效列｛j｝的奇数项依次构成公菱AJl的列•偶数项依次构成公绘为血的等淮數列.H对任慰∏e N∖都有«… < απ÷ι.若αι = L /I2 = 2. H数列｛a n｝的前IO项和510 ≡ 75.⅛,J cig ≡ ______________________ •看案11.解凶为对任迂n G N∙∙那仃4 < “卄i,故血≡心结台SIe)二75.得75 5 ÷ I(Mj + 10 + Kkij 15 •* 2(∣<∕ι => <∕∣遍 3 9 (Ig — UQ÷ :如2 H∙9.C知M实数丁•"満足土也•卜吐空=ι仃” W .y丁答案4.解一将世设条件式通分外整理•得I(J ÷ 2)2 + I)(I) + 2)2一l(kr" = 0=> JC(T - 2)2 + y(y - 2尸4 出J* - y)3 -= 0 ≡^x≡t∕=2=>r÷j∕ 4.解二丙为二"为iF实数•所以y4.Φ X)LG 年参脊审数学竟审速坟：•；可成立％ IT 为/ = ” = 2.从 1何 r ÷ M = 4.10. S Mj 足下列条件的d 整数 •屮I ： “整除2()16 \ 2016整除心那么吗的所仃不同正因子的个敌为 _______________ .答案36().解 E 为 n I mi/. 2Π1G I fl 2 W j 以 IU 与 2()IG 的肩Al ∕⅜∏同.而 201G 2*i • 32 • 7.故可设 ∏-r∙3≡r ∙π.这样我们由ISKt 条件可得J* ≤ 10.1/ ≤ 丄 2 W 2. JL 2丿 ≥ 5- 2/; ≥ 2. 22 ≥ 1・从而仃3≤ r ≤ :K). 1 ≤ J/ ≤ 4. L ≤ : ≤ 2,故3/ =(2a +24÷ •・ 4 2W )(3÷32 + 3Λ ÷ 34)(7÷ 72) = 29 护・ 5?・17. 所以Mf 的所fj 不同正因子的个数为(0+ 1)(2 I-1)(2 t 1)∙1 + 1)(1 1)34».二 解答题I 本大题共1小题每小题2()分満分SO 分)11∙己知.1 + ——： ■兽."e (。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题集（2005年-2016年）姓名_________班级_________2017.3目录1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................1-3页2、2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................4-6页3、2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................7-9页4、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................10-12页5、2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................13-15页6、2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................16-18页7、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................19-21页8、2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................22-24页9、2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................25-28页10、2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................29-30页11、2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................31-33页12、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................34-36页2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一． 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为 ( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +42．如果二次方程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最小值是 （ ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 54．设四棱锥P －ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为 ( )A ． 0B ．2C ．16D ．486．一条走廊宽2m 、长8m ，用6种颜色的11m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有( )A ．308B ．30257C ．30207D ．30217 二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB = ．8．设无穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ．9．函数y=|cos x |+|cos2x | (x ∈R ) 的最小值是 ．10．在长方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2， AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC 的中点，那么四面体B 1－EFG 的体积是 ．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有 个．12．已知平面上两个点集：M={(x ，y )| |x +y +1|≥2(x 2+y 2)，x ，y ∈R }，N={(x ，y )| |x －a |+|y －1|≤1，x ，y ∈R }，若M ∩N ≠，则a 的取值范围为 ．三、解答题：13． 已知点M 是ABC 的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是NBC 的外接圆的切线，设BNBC=λ，试求 BM MN （用λ表示）．(15分)14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)ABCDNM15．设椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．(24分)16．⑴ 若n (n ∈N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n 的最小值，并说明理由；( 12分)⑵ 若n (n ∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n 的最小值，并说明理由．( 24分)2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2－4n ＋5，则{a n }的最大项是 （ ）A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 4 2．函数y ＝3 |log 3x |的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y 2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．55二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合A ＝｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ 的值是__________________． 9．(x －3x 2)3的展开式中，x 5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，则x 2＋y 2的最大值是__________________．11．等比数列{a n }的首项为a 1=2020，公比q ＝－12，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f (n )有最大值．12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1＝4，AD 1＝3，则对角线AC 1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x |log 12(3－x )≥－2｝，B ＝｛x |2ax －a ≥1｝，若A ∩B ＝ ，求实数a 的取值范围．14．椭圆x 29＋y 24＝1的有焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4＝…＝∠P 24FP 1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EA C ．证明是直角．16．设p是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p．2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）.1．已知函数2siny x=，则（）A．有最小正周期2πB．有最小正周期πC．有最小正周期2πD．无最小周期2．关于x的不等式22200x ax a--<任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是（）A．2 B．1 C．0 D．－13．已知向量a、b，设AB=a2+b，5BC=-a6+b，7CD=a2-b，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D4．设α、β、γ为平面，m、n为直线，则mβ⊥的一个充分条件是（）A．αβ⊥，nαβ=，m n⊥B．mαγ=，αγ⊥，βγ⊥C．αβ⊥，βγ⊥，mα⊥D．nα⊥，nβ⊥，mα⊥5．若m、{}22101010n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1234567ia∈，，，，，，，012i=，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为（）A．60个B．70个C．90个D．120个6．已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题.7．设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为 .8．设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点（2，8），则a+b等于 .9．已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .1030x y-+=的离心率是 .11．在ABC∆中，已知tan B=，sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12．设命题P:2a a<，命题Q: 对任何x∈R，都有2410x ax++>. 命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13．设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===. 求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1BA 1C 1AC15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16．已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny的最大值为 答：___A. 2b a +B. abC. 222b a +D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数 )(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像的公共点只可能是点 答：___A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 答：___ A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆222A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β 答：___ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则___AB =.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是___ (结果要求写成既约分数）. 8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为___.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为____________或_________.10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a +=______ .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1. 若关于x 的不等式|x a | < b 的解集为{x | 2 < x < 4}，则ab 的值是 .2. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 .3. 已知f (x )是周期为4的奇函数，且当(0,2)x 时，2()1660f x x x ，则f 的值是 .4. 已知直线l 是函数f (x ) 2ln x x 2图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆x 2 y 2 2x 4y 0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 .6. 已知等边△ABC 的边长为2，若1()3AP AB AC ，12AQ AP BC，则△APQ 的面积是 .7. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC 1的中点. 若过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为 .8. 已知数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有a n < a n 1. 若a1 1，a2 2，且数列{a n}的前10项和S10 75，则a8 .9. 已知正实数x,y满足22(2)(2)16x yy x，则x y .10. 设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除20162，且2016整除n2，那么M的所有不同正因子的个数为.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11. 已知1135sin cos12，(0,)2，求tan .12. 如图，点P在△ABC的边AB上，且AB 4AP，过点P的直线MN与△ABC的外接圆交于点M，N，且点A是弧MN的中点. 求证：(1) △ABN∽△ANP；(2) BM BN 2MN.13. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：22221x ya b的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点. 若OF·AB FA·FB，求双曲线C的离心率e.14. 已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值 . 若九个内角中有一个角等于120°，试求常数 的值.。