数学分析三大基本思想之变换

数学分析三大基本思想之变换数学分析三大基本思想之变换SCIbird说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。

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本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。

广义的变换应该作为一种思想来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为另一个对象，要求后者相对容易处理。

我们在中学已经接触到一些简单的变换，如三角变换和万能公式。

进入大学学习数学分析或微积分，接触到求极限方法的等价无穷小代换也是变换的一种。

像微分理论中的罗比达法则，积分理论中的第一、二类换元法，级数理论中的算术平均求和法（即1C ?求和法，例如Fourier 理论中的费耶和），常微分方程中的分离变量法、常数变易法和积分因子法等等，都是变换思想的具体表现。

从实用角度看，最常见的线性变换，这方面内容在线性代数课程中有详细论述。

后来人们进一步抽象出线性算子，并把它推广到无穷维线性空间，这些内容可以在泛函分析课程中学到。

需要指出，非线性变换也是存在的，而且更普遍，处理起来也更困难。

数学分析作为基础课程，主要以处理线性变换为主（包括逆变换），微分学的精髓就是函数增量的线性主部，站在算子角度，微分是线性变换的一种。

另外，不少非线性变换的处理方法是从线性变换中衍生出来的，这就更体现出线性变换的重要性。

还是用几个具体的“变换例子”来说明吧。

首先说说不定积分，这方面技巧非常多，很多教材都单独列出一节讲一些经典的不定积分技巧，比如有理函数如何积分，某些根式如何积分等等。

其中使用得最多的是第一类换元积分法和第二类换元积分法。

前者，主要是微分公式()d uv vdu udv =+经过移项变换，得到()udv d uv vdu =?再求逆变换（积分）的结果udv uv vdu =?∫∫变换的指导精神是不定积分vdu ∫比较容易求出。

关于第二类不定积分换元法，通常涉及反函数，很多书中给的条件并不一致。

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。

数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。

数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。

数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。

课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。

课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。

主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。

多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。

内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。

数学转换的思想方法数学是抽去事物的质去研究它们的空间形式和数量关系的相互转换,具体地说是研究数与数、形与形、数与形之间的转换,按照对立统一的关系实现转换。

因此,可以说,数学在一定意义上是研究转换的学科,数学的精髓就是转换。

一、数学的内在转换规律数学的内在转换规律,实际上是对立面的相互转换。

下面举例说明:1. “+”与“-”:在代数和中统一起来了。

2. “×”与“÷”:对于每一个除法, a÷b=a× (1/b) (b≠0)。

3. 乘方与开方:在引进分数指数后,两者统一起来,这是幂的基本运算思想。

4. 指数与对数:指数与对数可以相互转换,指数的性质对应于对数的性质,对数的证明往往要转化为指数运算而推得。

5. 解三角形中,主要是利用正弦定理、余弦定理等使角的三角函数与边的代数关系(方程)相互转换。

6. “数”与“形”的相互转换:“数”一般是指函数三种表达式的解析式,“形”一般是指函数的图像表示。

代数是研究“数”的学科,几何是研究“形”的学科,三角形则两者皆而有之。

解析几何是用代数方法研究几何的一门学科,两者结合使几何研究取得了重大突破。

代数与几何是对立的两个方面,两者在坐标系统一起来。

二、概念是转换的源头,分类是转换的基础,知识的内在联系是转换的动力数学知识都是以公理、定义为基础,证明后来所出现的一系列命题;公理、定义及定理是整个数学的支柱,倘若没有牢固的基础,数学这座大楼就无法盖高。

数学又是一门连贯性和系统性很强的学科,其前后知识的联系,可称为纵的联系;从不同的概念出发,可得不同的分支,它们之间的联系,可称为横的联系,这两种联系之间的关系是“经纬”关系。

如复数,是从实数概念发展而来的,可看作纵的联系,但复数的三角形式使复数与三角和解析几何中极坐标之间出现了横的关系,显然,只有同时注意到了这两种联系,才有可能更透彻地理解复数。

“数”与“形”中,立体几何、解析几何、代数、三角的相互转换,也是一种横的联系。

大学高等数学大一教材大学高等数学是我国大学数学教育中的一门重要课程。

它作为大学数学的基础教材，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

本文将对大学高等数学大一教材进行全面的介绍和评价。

一、教材概述大学高等数学大一教材通常包括《数学分析》、《线性代数》和《概率论与数理统计》三大部分。

这些教材以提高学生的数学思维、逻辑推理和分析问题的能力为宗旨，旨在培养学生的抽象思维、数学建模和问题求解的能力。

同时，教材内容紧密联系，层次递进，以概念定义、定理证明和例题讲解为主要形式，帮助学生理解数学的基本原理和方法。

二、教材内容1.《数学分析》部分《数学分析》是大学高等数学教材的核心内容，包括极限与连续、函数与极限、导数与微分、积分与积分应用等方面的知识。

其中，极限与连续是数学分析的基本概念，通过讲解极限的定义和性质，引导学生掌握数学分析的基本思想和方法。

2.《线性代数》部分《线性代数》部分主要介绍向量、矩阵、线性方程组和特征值等内容。

这一部分内容具有较强的抽象性和几何直观，通过引入向量空间和线性变换的概念，培养学生的抽象思维和空间想象能力。

3.《概率论与数理统计》部分《概率论与数理统计》是大学高等数学教材中的一门应用性课程，主要介绍概率论和数理统计的基本原理与方法。

学习这一部分内容可以帮助学生了解随机事件的规律性，提高学生的数据分析和推理能力。

三、教学特点1.逻辑性强大学高等数学教材在内容编排上追求逻辑性的严密性和连贯性。

通过层层推进，学生可以逐渐理解数学知识的内在联系和逻辑关系，提高学习的效果。

2.应用性强大学高等数学教材注重培养学生的问题解决能力，强调数学知识在实际问题中的应用。

通过解决例题和习题，学生可以将数学理论与实际问题结合起来，培养应用数学的能力。

3.理论与实践相结合大学高等数学教材在理论介绍的同时，也强调对数学理论的实际运用和解释。

通过具体的例子和应用场景，加深学生对数学概念和原理的理解。

《数学分析(3)》知识点整理
一、积分变换、微分变换
1.重积分变换：
（1）重积分的定义：定义函数F(x)的重积分为
恒定a的重积分，即，
若F(x)是以a为界的累积函数，则称为
（2）重积分的性质：
a)重积分的计算公式为：
b)重积分的分部积分：
c)重积分的这个积分变换所得无穷积分计算公式：
2.连续函数的微分变换：
（1）微分变换：定义函数f（x）在区间（a，b）上的微分变换为：
（3）微分变换的计算公式：
二、定积分应用
1.定积分的定义：在实数域上定义的函数的定积分的定义如下：
若f(x)在闭区间[a,b]上可导，则F(x)定义在[a,b]上的定积分为：
（i）原函数关于x的定积分的计算公式：
3.定积分的特殊情况：
（1）定积分可以用来求一般函数在区间极限：
（3）定积分可用向量场的方向在偶分野上的积分：
（4）定积分可用于求解概率分布函数的极限问题：
三、曲线积分
曲线积分是根据几何图形求积分的一种方法。

曲线积分有以下特点：
（1）以曲线形式表示函数：在曲线积分中，用几何图形形式代表函数f (x)，通过分段求面积，求出函数f (x)在原区间内的积分值。

（2）根据曲线形状更改区间：对于复杂曲线，可以将原区间拆分几个较小的区间，在拆分区间上，让函数的形状较为简单，以此求解。

（3）根据不同的函数，使用不同的方法：曲线面积求积法可分为三种：半圆面积求积法、梯形面积求积法和轴对称图形的面积求积法。

主成分分析：利用降维（线性变换)的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分),用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分必须保留原始变量90%以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分。

求解主成分的方法：从协方差阵出发（协方差阵已知），从相关阵出发（相关阵R已知）。

（实际研究中，总体协方差阵与相关阵是未知的，必须通过样本数据来估计）注意事项：1. 由协方差阵出发与由相关阵出发求解主成分所得结果不一致时，要恰当的选取某一种方法；2. 对于度量单位或是取值范围在同量级的数据，可直接求协方差阵；对于度量单位不同的指标或是取值范围彼此差异非常大的指标，应考虑将数据标准化，再由协方差阵求主成分；3.主成分分析不要求数据来源于正态分布；4. 在选取初始变量进入分析时应该特别注意原始变量是否存在多重共线性的问题（最小特征根接近于零，说明存在多重共线性问题）。

优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大部分信息。

其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。

再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。

缺点：当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。

命名清晰性低。

聚类分析：将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。

目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化。

其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

常用聚类方法：系统聚类法，K-均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，加入法。

注意事项：1. 系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K-均值法只能对记录进行分类；2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类；3. 对变量的多元正态性，方差齐性等要求较高。

高考数学函数转化思想总结数学中的函数转化是指将一个函数从一个形式转化为另一个形式，通过转化使得原函数更易于研究、计算或理解。

函数转化是数学中常用的方法之一，它在高考数学中占据着重要的地位。

本文将从函数的基本形式出发，总结高考数学中常见的函数转化思想，并探讨其应用和意义。

函数转化的基本形式有三种：标准型、一般式和参数方程。

标准型是指函数将x的一个具体值代入后能得到一个y的具体值，常见的标准型函数有直线函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

一般式是指函数通过某种表达式能够刻画其一般性质，例如圆的一般方程、二次曲线的一般方程等。

参数方程是指函数的自变量和因变量都用参数表示，常见的参数方程有平面曲线的参数方程等。

在函数转化中，我们可以将一个函数从一种基本形式转化为另一种，通过不同的转化，可以使函数的性质更易于研究和理解。

在高考数学中，常见的函数转化思想有函数的平移、缩放、翻转和复合等。

其中，平移是指将函数在坐标系中沿x轴或y轴方向移动一定的距离，通过平移可以改变函数的位置和图像，常见的平移有函数的平行移动和垂直移动。

平行移动是指将函数图像沿x轴或y轴方向保持不变，只改变位置，常见的平行移动是函数的横向平移和纵向平移。

横向平移是指通过改变函数的自变量x的值，使得函数图像整体左右移动。

纵向平移是指通过改变函数的因变量y的值，使得函数图像整体上下移动。

通过平移，我们可以将一个函数的图像对应到另一个函数的图像，从而对函数的性质进行研究和比较。

缩放是指通过改变函数的自变量和因变量的取值范围，来改变函数的形态和图像。

常见的缩放有函数的水平缩放和垂直缩放。

水平缩放是通过改变函数的自变量x的取值范围，使得函数的图像横向拉长或压缩。

垂直缩放是通过改变函数的因变量y的取值范围，使得函数的图像纵向拉长或压缩。

通过缩放，我们可以将一个函数的图像与另一个函数的图像进行比较，从而对函数的性质进行研究和分析。

翻转是指通过改变函数的自变量和因变量的符号，来改变函数的图像和性质。

数学分析（三）的学习内容和学习方法概述一、基本概述数学分析（三）主要涉及数学分析的第三块内容：多元函数的微积分学。

这块内容与一元函数微积分学的相关内容对应，只是研究对象换成了多元函数，研究的内容相应换成了多元函数的三大动态性质（即连续性、可微性和可积性），而且研究时采用的核心思想和方法，相较于一元函数并没有实质的变化，仍然采用的是极限的思想和方法，许多量的具体计算方法就是沿用一元函数的相应方法（如多元函数的偏导数实质就是适当一元函数的导数，多元函数的各种积分的计算最终转化为的是一元函数定积分的计算等），但值得注意的是由于多元函数的定义域所处的空间由一维扩展成了高维，影响函数的要素不再是一元而是多元，因此采用的极限思想和方法的呈现方式在形式上会有一些细节上的差异（比如动点的变化方式会变得更多样、更复杂一些），这样也会导致由极限所延伸出的多元函数的动态性质在表现形式的细节方面较之一元函数会复杂一些（例如多元函数的连续性、可微性和可积性的呈现形式就要比一元函数要复杂一些，多元函数的微分中值公式、泰勒公式、多元函数积分的种类也是如此等），甚至有些动态性质在细节上的有关结果与一元函数的相应结果还会有一些差异（例如一元函数可导与可微的等价关系就不能平行移植到多元函数上等），这就要求学习者在学习时，既要善于与一元函数微积分学的内容和方法进行类比，更要有足够的耐心、更加的细致。

鉴于数学分析（三）的内容特点，建议学习者在学习课程内容时采用的方法：以“对照、类比学习”为主：由于数学分析（三）的内容是比照一元函数微积分学的内容产生的，“对照、类比学习”的方法既可以充分利用在数学分析（一、二）的学习中已形成的思维方式，已建立的内容结构，使数学分析（三）的内容接受起来相对轻松自然，还可在过程中复习巩固已学一元函数的相关内容和方法（这对数学分析（三）的学习是很重要的，实际上数学分析（三）中很多内容就是仿照一元函数的相关内容平行产生，很多量的具体计算最终就是一元函数中的相关方法、公式起作用），同时更利于学习者容易看清楚多元函数的某些性质与一元函数的相关性质的差异，便于区分。