北京市丰台区2017届高考数学一模试卷(理科)(有答案)AlKKHn

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出得四个选项中，选出符合题目要求得一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B=（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应得点在第二象限，则实数a得取值范围就是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示得程序框图，输出得s值为（A）2（B）3 2（C）53（D ）85（4）若x ，y 满足，则x + 2y 得最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A ）就是奇函数，且在R 上就是增函数 （B ）就是偶函数，且在R 上就是增函数 （C ）就是奇函数，且在R 上就是减函数（D ）就是偶函数，且在R 上就是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”就是“m n 0⋅＜”得 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥得三视图如图所示，则该四棱锥得最长棱得长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度得上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质得原子总数N 约为、则下列各数中与MN最接近得就是 （参考数据：lg3≈0、48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．4．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．15．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）A．k≤3？B．k＜3？C．k≤4？D．k＞4？6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．968．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=2x的准线方程是．10．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8=．11．在△ABC中，若b2=ac，，则∠A=．12．若x，y满足，则的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．14．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x，下列命题正确的有．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求g（x）在上的单调递减区间．16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE 是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A 品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c 的最小值（结论不要求证明）．18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．19．已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．20．对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．+1（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n满足？若存在，求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．2017年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：D．2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔，即可判断出结论．【解答】解：a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔，∴“b≠0”是“复数a+bii是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．【考点】定积分．【分析】求出原函数，即可求出定积分．【解答】解：==8﹣ln3，故选B ．4．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且，，如果（m ，n 为实数），那么m +n 的值为（ ）A ．B ．0C ．D ．1 【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示， ==﹣．即可求得m ，n 即可．【解答】解：如图所示，==﹣．∴m=﹣，n=，∴， 故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内可填入的条件是（）A．k≤3？B．k＜3？C．k≤4？D．k＞4？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=4时，退出循环，输出S的值为64，故判断框图可填入的条件是k≤3．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=1，k=0满足条件，S=1，k=1，满足条件，S=2，k=2，满足条件，S=8，k=3，满足条件，S=64，k=4，由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为64．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k≤3．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，其底面面积S=×1×1=，柱体的高为：2，锥体的高为1，故组合体的体积V=×2﹣××1=，故选：A．7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．8．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，条件“四人都只说对了一半”，若甲同学猜对了1﹣b，依次判断3﹣d，2﹣c，4﹣a，再假设若甲同学猜对了3﹣c得出矛盾．【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了1﹣b，则乙同学猜对了，3﹣d，丙同学猜对了，2﹣c，丁同学猜对了，4﹣a，根据题意：若甲同学猜对了3﹣c，则丁同学猜对了，4﹣a，丙同学猜对了，2﹣c，这与3﹣c相矛盾，综上所述号门里是a，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣10．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8=16．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．【解答】解：{a n}为等差数列，S n为其前n项和．a2=2，S9=9，∴，解得∴a8=a1+7d=16．故答案为：16．11．在△ABC中，若b2=ac，，则∠A=．【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理求解出a，c的关系，即可判断角A的大小．【解答】解：由b2=ac，，根据余弦定理cosB=，可得a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0，∴a=c，由b2=ac，可得a=b=c．△ABC是等边三角形．∴A=故答案为：．12．若x，y满足，则的取值范围是[，6] ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：[，6]13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出的最大值．【解答】解：曲线（θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1．设直线方程为kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=，∴|OB|=2=，kx﹣y=0与x+y=4联立，可得A（，），∴|OA|=，∴=，设k+1=t（t＞0），则=≤=．∴的最大值为．故答案为．14．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x，下列命题正确的有①②④．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=e x﹣e﹣x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=e x﹣e﹣x﹣x2﹣2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x 有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f （x）=x2+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、f（x）=e x﹣e﹣x，定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；对于②、若f（x）=e x﹣e﹣x，则f′（x）=e x+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=e x﹣e﹣x﹣x2﹣2x，令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，g（3）=e3﹣﹣13＜0，g（4）=e4﹣﹣20＞0，则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，故③错误；对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即e x﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，令h（x）=e x﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=e x+e﹣x﹣k＞0恒成立，若e x+e﹣x﹣k＞0，即k＜e x+e﹣x=e x+恒成立，而e x+≥2，若有k＜2，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求g（x）在上的单调递减区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；（Ⅱ）把f（x）代入，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在上的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知A=2，设函数f（x）的周期为T，则，求得T=π，从而ω=2，∴f（x）=2sin2x；（Ⅱ）===，∴，即，k∈Z．令k=0，得，∴g（x）在上的单调递减区间为．16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE 是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE ⊥平面ABCD．（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y 轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．又AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…解：（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO．因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE，所以EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由已知，得E（0，0，），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．所以=（1，﹣1，），=（2，1，0）．设平面BCE的法向量=（x，y，z）．则，令x=1，则=（1，﹣2，﹣）．又平面ADE的一个法向量=（0，1，0），所以cos＜＞==﹣．所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为．…（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．理由如下：设BE的中点为G，连接CG，FG，则FG∥AB，FG=．因为AB∥CD，且，所以FG∥CD，且FG=CD，所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．因为CG⊂平面BCE，且DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE..…17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A 品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c 的最小值（结论不要求证明）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，由题意得，所以x=800．答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台..…（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，则．答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为..…（Ⅲ）18．…18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）max，通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ），．令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，得，即m≥f（x）max．由（Ⅰ）知，（1）当k≥2时，f（x）在上单调递减，所以，所以m≥0；．（2）当0＜k≤1时，f（x）在上单调递增，所以，所以；（3）当1＜k＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，①若，即，所以1＜k＜2ln2，此时，所以．②若，即，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）max=0，所以m ≥0综上所述，当k≥2ln2时，m≥0；当0＜k＜2ln2时，．19．已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．【解答】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：上，则，即b=1．又椭圆C的离心率为，则，由a2=b2+c2，得．∴椭圆C的方程为…（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则P（2，k）．由，，得，∴，．联立得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，．∴==0，∴λ+μ=0为定值…20．对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．+1（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n满足？若存在，求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，由题意可得：{a n}的每一项均为﹣a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由a n+1正整数，且a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，可得在{a n﹣a n﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②解①得m＞1；解②得m＜﹣1或m＞2．所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由a1=﹣1，得，．由题意，得对n∈N*均成立，即（n﹣1）d＜n．①当n=1时，d∈R；②当n＞1时，，因为，所以d≤1，与d＞1矛盾，故这样的等差数列{a n}不存在．（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，﹣a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，因为{a n}的每一项均为正整数，且a n+1所以a1＞0，且q＞1．因为a n﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，+1}中，“a2﹣a1”为最小项．所以在{a n﹣a n﹣1同理，在中，“”为最小项．由{a n}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即a1（q﹣1）＞1，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即a1（q﹣1）≤2，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．①当a1=1，q=3时，，则，令，则，又=，所以{c n}为递增数列，即c n＞c n﹣1＞c n﹣2＞…＞c1，所以b n+1﹣b n＞b n﹣b n﹣1＞b n﹣1﹣b n﹣2＞…＞b2﹣b1．因为，所以对任意的n∈N*，都有b n+1﹣b n＞1，即数列{c n}为“K数列”．②当a1=2，q=2时，，则．因为，所以数列{b n}不是“K数列”．综上：当时，数列{b n}为“K数列”，当时，数列{b n}不是“K数列”．2017年4月25日。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2x1}，B={x |x–1或x3}，则AB =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x1} （D ）{x |1x3}【答案】A【解析】{}21A Bx x =-<<-I ，故选A.（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C.（4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r rr r，反过来，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷点评】2017年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查。

我先说一说2017年总体试卷的难度，2017年文科也好、理科也好，整个试卷难度较2015、2016年比较平稳，北京高考应该是从2014年以前和2014年以后，2015、2016年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低。

今天我说卷子简单在于第8题和第14题，难度下降了，相比2014、2015、2016，整体都下降了。

1.体现新课标理念，实现平稳过渡。

试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。

对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新，符合北京一贯的风格。

2.关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求。

3.体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证明、直接给出结论（已经连续6年），需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合生活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模型转化来的，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。

【试卷解析】本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max3239z=+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性. （6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）（B ）（C ） （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l == B. 【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A=｛x｜–2x1｝，B={x｜x–1或x3}，则AB=（A）｛x|–2x–1} （B）{x｜–2x3}（C)｛x|–1x1｝（D）｛x｜1x3｝（2）若复数（1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(A）（–∞，1）（B）(–∞，–1)(C)（1，+∞)（D）(–1，+∞）（3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B)3 2（C ）53（D)85（4)若x ，y 满足,则x + 2y 的最大值为(A ）1 （B)3 （C)5 (D ）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f(A)是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数,且在R 上是增函数 （C ）是奇函数,且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜"的 （A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件(D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A)32 （B ）23 （C)22 （D)2（8）根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为。

则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0。

48）(A)1033 （B ）1053 （C)1073 (D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017年北京市高考数学试卷〔理科〕一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，那么A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕 B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．4．〔5分〕假设x，y满足，那么x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．95．〔5分〕函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，那么f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．〔5分〕设，为非零向量，那么“存在负数λ，使得=λ〞是“•＜0〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3B．2 C．2 D．28．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，那么以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053C．1073D．1093二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，那么实数m=．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，那么=．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，那么|AP|的最小值为．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，那么cos〔α﹣β〕=．13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，那么a+b＞c〞是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，那么Q1，Q2，Q3中最大的是．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*〞表示服药者，“+〞表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕18．〔14分〕抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．19．〔13分〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n ﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，那么A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【分析】根据中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}应选：A．【点评】此题考察的知识点集合的交集运算，难度不大，属于根底题．2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕 B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕【分析】复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．那么实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣1〕．应选：B．【点评】此题考察了复数的运算法那么、几何意义、不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进展循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进展循环的条件，故输出结果为：，应选：C．【点评】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．〔5分〕假设x，y满足，那么x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A〔3，3〕，目标函数的最大值为：3+2×3=9．应选：D．【点评】此题考察线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．〔5分〕函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，那么f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，结合“增〞﹣“减〞=“增〞可得答案．【解答】解：f〔x〕=3x﹣〔〕x=3x﹣3﹣x，∴f〔﹣x〕=3﹣x﹣3x=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，故函数f〔x〕=3x﹣〔〕x为增函数，应选：A．【点评】此题考察的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于根底题．6．〔5分〕设，为非零向量，那么“存在负数λ，使得=λ〞是“•＜0〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，那么向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，那么向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，那么“存在负数λ，使得=λ〞是•＜0〞的充分不必要条件．应选：A．【点评】此题考察了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考察了推理能力与计算能力，属于根底题．7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，应选：B．【点评】此题考察了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于根底题．8．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，那么以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈〔100.48〕361≈10173，∴≈=1093，应选：D．【点评】此题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考察指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，那么实数m= 2 ．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1〔m＞0〕的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】此题考察双曲线的简单性质，考察计算能力．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，那么= 1 ．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考察计算能力．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，那么|AP|的最小值为 1 ．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】此题主要考察曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，那么cos〔α﹣β〕= ﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos〔α﹣β〕=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考察了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于根底题13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，那么a+b＞c〞是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3 ．【分析】设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，那么a+b＞c〞是假命题，那么假设a＞b＞c，那么a+b≤c〞是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，那么a+b＞c〞是假命题，那么假设a＞b＞c，那么a+b≤c〞是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考察了命题的真假，举例说明即可，属于根底题．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，那么Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，那么Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p i为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】此题考察的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．【分析】〔1〕根据正弦定理即可求出答案，〔2〕根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：〔1〕∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，〔2〕a=7，那么c=3，∴C＜A，由〔1〕可得cosC=，∴sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6．【点评】此题考察了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于根底题16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕设AC∩BD=O，那么O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；〔2〕取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C 〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．设平面PBD的一个法向量为，那么由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】此题考察线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*〞表示服药者，“+〞表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕【分析】〔1〕由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人那么小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E〔ξ〕．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：〔1〕由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，那么从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人那么小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P〔ξ=0〕=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE〔ξ〕==1．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】此题考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等根底知识，考察推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考察数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．〔14分〕抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．【分析】〔1〕根据抛物线过点P〔1，1〕．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；〔2〕设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：〔1〕∵y2=2px过点P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为〔，0〕，准线为x=﹣，〔2〕证明：设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】此题考察了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．〔13分〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】〔1〕求出f〔x〕的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；〔2〕求出f〔x〕的导数，再令g〔x〕=f′〔x〕，求出g〔x〕的导数，可得g〔x〕在区间[0，]的单调性，即可得到f〔x〕的单调性，进而得到f〔x〕的最值．【解答】解：〔1〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，可得曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为k=e0〔cos0﹣sin0〕﹣1=0，切点为〔0，e0cos0﹣0〕，即为〔0，1〕，曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y=1；〔2〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，令g〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，那么g〔x〕的导数为g′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx〕=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′〔x〕=﹣2e x•sinx≤0，即有g〔x〕在[0，]递减，可得g〔x〕≤g〔0〕=0，那么f〔x〕在[0，]递减，即有函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值为f〔0〕=e0cos0﹣0=1；最小值为f〔〕=e cos﹣=﹣．【点评】此题考察导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考察化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n ﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】〔1〕分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，那么b1﹣na1≥b k﹣na k，那么c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；〔2〕由b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进展讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：〔1〕a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，那么〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕，=[〔2k﹣1〕﹣nk]﹣1+n，=〔2k﹣2〕﹣n〔k﹣1〕，=〔k﹣1〕〔2﹣n〕，由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，那么〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，那么b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；〔2〕证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，〔i∈N*，且1≤i≤n〕，那么b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n，=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进展讨论，①假设d1=0，那么b i﹣a i n═〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕d2，当假设d2≤0，那么〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕d2≤0，那么对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣n〕d2＞0，那么对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，那么c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②假设d1＞0，那么此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，那么当n≥m时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i≤n〕，因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开场为等差数列，命题成立；③假设d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，那么当n≥s时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i≤n〕，因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+〔d1﹣a1+d2〕+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，假设C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；假设C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】此题考察数列的综合应用，等差数列的性质，考察与不等式的综合应用，考察“放缩法〞的应用，考察学生分析问题及解决问题的能力，考察分类讨论及转化思想，考察计算能力，属于难题．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学1.若集合A＝{x|﹣2<x<1}，B＝{x|x<﹣1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|﹣2<x<﹣1}B．{x|﹣2<x<3}C．{x|﹣1<x<1}D．{x|1<x<3}解析A∩B＝{x|﹣2<x<﹣1}，故选A．答案A2.若复数(1﹣i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，1)B．(﹣∞，﹣1)C．(1，＋∞)D．(﹣1，＋∞)解析设z＝(1﹣i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1﹣a)i，因为复数z在复平面内对应的点(a＋1，1﹣a)在第二象限，所以{a＋1<0，1﹣a>0，解得a<﹣1.故选B．答案B3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．2B．32C．53D．85解析当k＝0时，0<3成立，第一次进入循环，k＝1，s＝1＋11＝2；1<3成立，第二次进入循环，k＝2，s＝2＋1 2＝32；2<3成立，第三次进入循环，k＝3，s＝32＋132＝53；3<3不成立，输出s＝53.故选C．答案C4.若x，y满足{a≤3，a＋a≥2，a≤a，则x＋2y的最大值为()A．1B．3C．5D．9解析由题意画出可行域(如图).设z＝x＋2y，则z＝x＋2y表示斜率为﹣12的一组平行线，当过点C(3，3)时，目标函数取得最大值z max ＝3＋2×3＝9.故选D．答案D5.已知函数f(x)＝3x﹣(13)a，则f(x)() A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数解析因为f(x)的定义域为R，f(﹣x)＝3﹣x﹣(13)﹣a＝(13)a﹣3x＝﹣f(x)，所以函数f(x)是奇函数.又y＝3x和y＝﹣(13)a在R上都是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数.故选A．答案A6.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析m，n为非零向量，若存在λ<0，使m＝λn，即两向量反向，夹角是180°，则m·n＝|m||n|cos180°＝﹣|m||n|<0.反过来，若m·n<0，则两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn，所以是充分而不必要条件.故选A．答案A7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3√2B．2√3C．2√2D．2解析由题意可知，直观图为四棱锥A﹣BCDE(如图所示)，最长的棱为正方体的体对角线AE＝√22＋22＋22＝2√3.故选B ．答案B8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与aa最接近的是( ) (参考数据：lg3≈0.48) A ．1033 B ．1053C ．1073D ．1093解析设a a ＝x ＝33611080，两边取对数，得lg x ＝lg 33611080＝lg3361﹣lg1080＝361×lg3﹣80≈93.28，所以x ≈1093.28，即与a a最接近的是1093.故选D ． 答案D9.若双曲线x 2﹣a 2a ＝1的离心率为√3，则实数m ＝__________.解析由题意知a ＝1，b ＝√a ，m>0，c ＝√a 2＋a 2＝√1＋a ，则离心率e ＝aa ＝√1＋a ＝√3，解得m ＝2. 答案210.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，则a2a 2＝__________.解析设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意知﹣1＋3d ＝﹣q 3＝8，即{﹣1＋3a ＝8，﹣a 3＝8，解得{a ＝3，a ＝﹣2.故a 2a 2＝﹣1＋3﹣1×(﹣2)＝1. 答案111.在极坐标系中，点A 在圆ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为__________. 解析设圆心为C ，则圆C ：x 2＋y 2﹣2x ﹣4y ＋4＝0，即(x ﹣1)2＋(y ﹣2)2＝1，故|AP|min ＝|PC|﹣r ＝2﹣1＝1. 答案112.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α﹣β)＝__________.解析方法1：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，根据三角函数定义可得sin β＝sin α＝13，cos β＝﹣cos α，因此，cos(α﹣β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝﹣(2√23)2＋(13)2＝﹣79.方法2：由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β＝(2k ＋1)π﹣α，k ∈Z ，则cos(α﹣β)＝cos[2α﹣(2k ＋1)π]＝﹣cos2α＝2sin 2α﹣1＝2×(13)2﹣1＝﹣79.答案﹣7913.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a>b>c ，则a ＋b>c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为__________.解析答案不唯一，如令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，则a>b>c，而a＋b＝﹣3＝c，能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”是假命题.答案﹣1，﹣2，﹣3(答案不唯一)14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是__________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是__________.解析(1)连接A1B1，A2B2，A3B3，分别取线段A1B1，A2B2，A3B3的中点C1，C2，C3，显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数，由图可得点C1最高，故Q1，Q2，Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1，y2，工作时间分别为x1，x2，则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p＝a1＋a2a1＋a2＝a1＋a22a1＋a22＝k OC(C为点(x1，y1)和(x2，y2)的中点)，由图可得a aa2>a aa1>a aa3，故p1，p2，p3中最大的是p2.答案(1)Q1(2)p215.在△ABC中，∠A＝60°，c＝37A．(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积.解(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sin C＝a sin aa ＝37×√32＝3√314.(2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2﹣2bc cos A得72＝b2＋32﹣2b×3×12，解得b＝8或b＝﹣5(舍).所以△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×8×3×√32＝6√3.16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD ∥平面MAC，P A＝PD＝√6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.(1)证明设AC ，BD 交点为E ，连接ME.因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点. 所以M 为PB 的中点.(2)解取AD 的中点O ，连接OP ，OE.因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ． 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE. 因为ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则P (0，0，√2)，D (2，0，0)，B (﹣2，4，0)，aa⃗⃗⃗⃗ ＝(4，﹣4，0)，aa⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，﹣√2).设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则{a ·aa ⃗⃗⃗⃗ ＝0，a ·aa ⃗⃗⃗⃗ ＝0，即{4a ﹣4a ＝0，2a ﹣√2a ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝√2.于是n ＝(1，1，√2)，平面P AD 的法向量为p ＝(0，1，0). 所以cos <n ，p >＝a ·a |a ||a |＝12. 由题知二面角B ﹣PD ﹣A 为锐角，所以它的大小为π3. (3)解由题意知M (﹣1，2，√22)，C (2，4，0)，aa ⃗⃗⃗⃗ ＝(3，2，﹣√22). 设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos <n ，aa ⃗⃗⃗⃗ >|＝|a ·aa ⃗⃗⃗⃗||a ||aa ⃗⃗⃗⃗ |＝2√69. 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为2√69.17.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“ ”表示服药者，“＋”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 解(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 22C 42＝16，P (ξ＝1)＝C 21C 21C 42＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 42＝16. 所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.18.已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1).过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x.抛物线C 的焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝﹣14.(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由{a ＝aa ＋12，a 2＝a 得4k 2x 2＋(4k ﹣4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝1﹣a a 2，x 1x 2＝14a 2. 因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)，直线ON 的方程为y＝a2a 2x ，点B 的坐标为(a 1，a 2a 1a 2).因为y 1＋a 2a 1a 2﹣2x 1＝a 1a 2＋a 2a 1﹣2a 1a 2a 2＝(aa 1＋12)a 2＋(aa 2＋12)a 1﹣2a 1a 2a 2＝(2a ﹣2)a 1a 2＋12(a 2＋a 1)a 2＝(2a ﹣2)×14a 2＋1﹣a 2a2a 2＝0，所以y 1＋a 2a1a 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 19.已知函数f (x )＝e x cos x ﹣x.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值.解(1)因为f (x )＝e x cos x ﹣x ，所以f'(x )＝e x (cos x ﹣sin x )﹣1，f'(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x ﹣sin x )﹣1，则h'(x )＝e x (cos x ﹣sin x ﹣sin x ﹣cos x )＝﹣2e x sin x.当x ∈(0，π2)时，h'(x )<0，所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减. 所以对任意x ∈(0，π2]有h (x )<h (0)＝0， 即f'(x )<0.所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减.因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝﹣π2.20.设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n ＝n ，b n ＝2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，aa a >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列.(1)解c 1＝b 1﹣a 1＝1﹣1＝0，c 2＝max{b 1﹣2a 1，b 2﹣2a 2}＝max{1﹣2×1，3﹣2×2}＝﹣1，c 3＝max{b 1﹣3a 1，b 2﹣3a 2，b 3﹣3a 3}＝max{1﹣3×1，3﹣3×2，5﹣3×3}＝﹣2. 当n ≥3时，(b k ＋1﹣na k ＋1)﹣(b k ﹣na k )＝(b k ＋1﹣b k )﹣n (a k ＋1﹣a k )＝2﹣n<0， 所以b k ﹣na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n ＝max{b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }＝b 1﹣a 1n ＝1﹣n. 所以对任意n ≥1，c n ＝1﹣n ，于是c n ＋1﹣c n ＝﹣1. 所以{c n }是等差数列.(2)证明设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k ﹣na k ＝b 1＋(k ﹣1)d 2﹣[a 1＋(k ﹣1)d 1]n ＝b 1﹣a 1n ＋(d 2﹣nd 1)(k ﹣1).所以c n＝{a1﹣a1a＋(a﹣1)(a2﹣aa1)，当a2>aa1时，a1﹣a1a，当a2≤aa1时.①当d1>0时，取正整数m>a2a1，则当n≥m时，nd1>d2，因此c n＝b1﹣a1n.此时，c m，c m＋1，c m＋2，…是等差数列.②当d1＝0时，对任意n≥1，c n＝b1﹣a1n＋(n﹣1)max{d2，0}＝b1﹣a1＋(n﹣1)(max{d2，0}﹣a1).此时，c1，c2，c3，…，c n，…是等差数列.③当d1<0时，当n>a2a1时，有nd1<d2.所以a aa ＝a1﹣a1a＋(a﹣1)(a2﹣aa1)a＝n(﹣d1)＋d1﹣a1＋d2＋a1﹣a2a≥n(﹣d1)＋d1﹣a1＋d2﹣|b1﹣d2|.对任意正数M，取正整数m>max{a＋|a1﹣a2|＋a1﹣a1﹣a2﹣a1，a2a1}，故当n≥m时，a aa>M.。

绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）【试卷解析】本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则AB =（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3} （C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3} 【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =−<<−，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i a i −+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋b i(a，b∈R ) 平面向量OZ.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B）32（C）53（D）85【答案】C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12−的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =−+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =−+− ；（3）斜率型：形如y b z x a−=−，而本题属于截距形式.（5）已知函数1()3()3xx f x =−，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx xx f x f x −−⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x −与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2 【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l=++=，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==−=⨯−=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N−=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

第1页，总14页…外…………○…………装……………订…………○……学校:___________姓名：_______________考号：___________…内…………○…………装……………订…………○……2017年高考理数真题试卷（北京卷）参考版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若集合A={x|–2 x 1}，B={x|x –1或x 3}，则A B= A.{x|–2 x –1} B.{x|–2 x 3} C.{x|–1 x 1} D.{x|1 x 3}2.若复数（1–i ）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A.(–∞，1) B.(–∞，–1) C.(1，+∞) D.(–1，+∞)3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A.2B.答案第2页，总14页○…………外…………○…………装…………○…………订……线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※○…………内…………○…………装…………○…………订……线…………○C.D.4.若x ，y 满足 {x ≤3 ，x +y ≥2 ， y ≤x则x + 2y 的最大值为A.1B.3C.5D.95.已知函数 ，则A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上是增函数C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数6.设m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A.3B.2第3页，总14页○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线……○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线……○… C.2D.2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.若双曲线 的离心率为 ，则实数m= .9.若等差数列 和等比数列 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则 = .10.在极坐标系中，点A 在圆 ，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .11.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。