第三章第4讲-定积分之换元法、分部积分法、广义积分

格式：ppt
大小：690.50 KB
文档页数：23

下载文档原格式

第三章第4讲-定积分之换元法、分部积分法、广义积分

= ln
(
) (
2
)
0
ln 3
(
3 + 2 − ln 1 + 2
) (
)
不换元则不变限
例2 证明
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx
a
b
分析：分析：（1）积分区间一样；（2）被积函数不同。积分区间一样；（被积函数不同。；（2 解决：采用适当的换元， a+b解决：采用适当的换元，使 a+b-x 化为 x . 证明令
定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律，与不定积分相同；基本换元规律，与不定积分相同； 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到换元同时换限。
◆定积分的分部积分法
例2
(1) ∫1
2
已积出的部分
xe dx
x
x
要求值
x 2 2
定积分之换元法与分部积分法
广义积分
定积分的换元法
例1
(1) ∫ 1
e
( ln x )
x
e
4
dx
4
解原式 =
∫ 1 ( ln x ) d ln x
凑微分d ln x 不换元则不变限
1 5 = (ln x ) 5
另解原式
[
]
e
1
1 = 5
1 4
u = ln x
1 5 ∫0 u du = 5 u
[ ]
1 = lim − + 1 = 1 b → +∞ b
简记为
∫
+∞

定积分的换元法和分部积分法课件

常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意非零常数c，有c乘以被积函数的定积分等于该常数乘以被积函数在积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部积分，将一个复杂函数的积分转化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧，通过将一个不定积分转化为两个函数的乘积的导数，从而简化计算过程。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复杂函数的不定积分转化为简单函数的定积分，实现积分的求解。

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量对价格变动敏感程度的指标，用需求量变动百分比与价格变动百分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积分，以便使用积分的性质和公式进行计算。
将难以求导的被积函数变换成容易求导的函数，以便使用微积分基本定理进行计算。
02
定积分的分部积分法

定积分的换元法和分部积分法课件-精选文档

5
2 ln x 例 2 计算 dx 1 x
e
6
此种方法可以不明显写出新变量，如上例也可这样解：
e 2 ln x 解 dx ( 2 ln x ) d ( 2 ln x ) 1 1 x 1 1 5 2e [( 2 ln x ) ] ( 9 4 ) 1 2 2 2 e
) dx F ( b ) F ( a ) f(x
a
b

f[
( ( t)] t) dt F [ (t)]
F [ ( )] F [ ( )]

f ( x )dx f[ ( t)] ( t) dt a
b
2
F ( b ) F ( a )
求不定积分那样把 ( t) 还原成 x 的函数，而只须直 t 的
4
换元公式也可以反过来使用:
f [ ( x )] ' ( x ) dx f [ ( x )] d ( x ) a a
b b
t ( x )
( t ) dt ( ( a ), ( b )) f
b
b
所以
' dx [ uv ] ' vdx uv u
a b a a
b
b
或
[ uv ] udv vdu
a b a a
b
b
这个公式就是定积分的分部积分公式 13
注用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,
故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择与不定积分的分部积分法相同.
注：当不引入新，变定量积时分的上、不下变限更就。

定积分的换元积分法与分部积分法

解：对 p 1,

a
dx (a 0) p x
收敛或发散

b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–

a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公式为 :

udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0

1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值

1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义

高等数学：第三节定积分的换元法、分部积分法

2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx

定积分的换元法和分部积分法

0 0
a
a
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a 0
0
T
a +T
T
f ( x)dx
例9 求
∫
π +1
1
sin 2xdx
解函数sin2x 是以为周期的周期函数，故
∫
π +1
1
sin 2 xdx = ∫
π
0
1 π 1 sin 2 xdx = ∫ sin 2 xdx = [ cos 2 x ]π = 0 0 2 0 2
2 7 2
π
解（1）因为f(x)=sin7x在 [ 2 , 2 ]
x dx (2)在 ∫4π 4 1 + cos x
π
x （2）π ∫ 4 1 + cos xdx
4
π
π π
上为奇函数，所以∫2π sin 7 xdx = 0
2
π
中，令f(x)=
x 1 + cos x
，因为
f(-x)= 所以f(x)在
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx
a 0 0 0
0
T
a
T
对右边第三个积分，x=t+T, 则dx = dt , 当x = T 时, t = 0, 当x = a + T 时, t = a,
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f (t + T )dt = ∫ f (t )dt ,

定积分的换元法和分部换元法课件

分部换元法的定义
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变量，将积分表达式转化为三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分

定积分的换元法和分部积分法

1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节定积分的换元法和分部积分法
一定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有意义.

最新04第四节定积分的换元法积分法和分部积分法

04第四节定积分的换元法积分法和分部积分法第四节定积分的换元积分法和分部积分法从上节微积分学的基本公式知道, 求定积分«Skip Record If...»的问题可以转化为求被积函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用, 本节将具体讨论之, 请读者注意其与不定积分的差异.分布图示★定积分的换元积分法★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6 ★例7 ★例8★定积分的分部积分法★例9 ★例10 ★例11 ★例12★例13 ★例14 ★例15 ★例16★内容小结★课堂练习★习题5-4讲解注意：一、定积分换元积分法定理1设函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续, 函数«Skip Record If...»满足条件:（1）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»;（2）«Skip Record If...»在«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)上具有连续导数,则有«Skip Record If...». (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是, 在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用«Skip Record If...»把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量«Skip Record If...»的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出«Skip Record If...»的一个原函数«Skip Record If...»后,不必象计算不定积分那样再把«Skip Record If...»变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入«Skip Record If...»然后相减就行了.二、定积分的分部积分法«Skip Record If...»«Skip Record If...»或 «Skip Record If...»«Skip Record If...».例题选讲：定积分换元积分法例1（E01）求定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 本例中，如果不明显写出新变量«Skip Record If...»则定积分的上、下限就不要变，重新计算如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2（E02）求定积分«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由换元积分公式得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»注: 在第一节的课堂练习中，我们曾利用定积分的几何意义解本题并得到相同的结果.例3求定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4（E03）求定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5（E04）当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续, 则(1) 当«Skip Record If...»为偶函数, 有«Skip Record If...»;(2) 当«Skip Record If...»为奇函数, 有«Skip Record If...».证«Skip Record If...»«Skip Record If...»在上式右端第一项中令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»为偶函数，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2)当«Skip Record If...»为奇函数，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6（E05）计算定积分«Skip Record If...».解因为积分区间对称于原点，且«Skip Record If...»为偶函数,«Skip Record If...»为奇函数，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»例7 计算«Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»偶函数奇函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»单位圆的面积例8若«Skip Record If...»在[0, 1]上连续, 证明(1) «Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»由此计算«Skip Record If...»证(1) 设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) 设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9(E06)求定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10(E07)求定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»定积分的分部积分法例11（E08）计算定积分«Skip Record If...»令«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12计算定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»例13 求«Skip Record If...»解由分部积分公式得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»再用一次分部积分公式得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»从而«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例14（E09）计算定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»于是有«Skip Record If...»再使用分部积分法，令«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15（E10）导出«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为非负整数)的递推公式.解易见«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»从而得到递推公式«Skip Record If...»反复用此公式直到下标为 0 或 1，得«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为自然数.注: 根据例8的结果，有«Skip Record If...»例16计算定积分«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...», 于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»课堂练习1.求定积分«Skip Record If...».2.设«Skip Record If...»在[0, 1]上连续, 且«Skip Record If...»求«Skip Record If...»。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

本课程只介绍——无穷区间上的广义积分本课程只介绍——无穷区间上的广义积分
◆无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分
b
(−∞, b] , [a, +∞) , (−∞, +∞)
∀a < b
∀b > a
f ( x ) dx
假设被积函数f (x)是连续函数则有如下定义：假设被积函数f (x)是连续函数，则有如下定义：是连续函数，
定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律，与不定积分相同；基本换元规律，与不定积分相同； 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到换元同时换限。
◆定积分的分部积分法
例2
(1) ∫1
2
已积出的部分
xe dx
x
x
要求值
x 2 2
解原式
= x ln x − ∫ −1 −1
2 −2 −1
1 x ⋅ 2 ln x ⋅ dx x
−2 −2
= −2 ln 2 − 2 ∫ ln x dx = −2 ln 2 − 2 x ln x −1 + 2 ∫ 1dx −1
2
= −2 ln 2 + 4 ln 2 + 2 [ x ]−1
2 −2
= −2 ln 2 + 4 ln 2 − 2
2
例3
( 4)
∫
2 −2x 0
π
e sin2xdx
π
1 2 −2 x 解原式 = − ∫ e d cos 2 x 2 0
π
1 −2 x 1 2 −2 x 2 + e cos 2 x =− 0 2 ∫0 cos 2 x ⋅ e ⋅ (−2)dx 2 π 1 1 2 −2 x −π = (1 + e ) − ∫ e d sin 2 x 2 2 0 π π 1 1 −2 x 1 2 −π 2 + = 1 + e − e sin 2 x sin 2 xde −2 x 0 2 ∫0 2 2 π 1 −π 2 −2 x = (1 + e ) − ∫ e sin 2 xd x 0 2 π 1 −π 所以 2 −2 x ∫0 e sin 2 xdx = 4 1 + e
解原式
= ∫ xde = xe − ∫ e x dx 1 1 1
2
= ( 2e − e ) − e 1
2 x
2
= ( 2e − e ) − ( e − e ) = e
2 2
2
定积分的分部积分法
例3 解
( 2) ∫
π
已积出的部分要求值
π
x 4 原式 = 4 x ( sec x − 1) dx = 4 xd tan x − ∫0 2 ∫0 0 π 2
1 ∫0 (t − 1 + t + 1)dt 2 2 t = 3 − t + ln ( t + 1) 2 0 = 3 ( 2 − 2 + ln 3) = 3ln 3
2
定积分的换元法
例1
换元必须换限
( 3) ∫−1
1
xdx 5 − 4x
1 1 2 解令 5 − 4 x = u，则 x = (5 − u ), dx = − udu 4 2 当 x = − 1时， u = 3；当 x = 1时， u = 1
2
对称区间上偶函数的积分性质
2
y = 2sin x
π
8 2 ∫ cos xdx
4 0
π
偶次方化倍角
= 4 2 ∫ 4 (1 + cos 2x ) dx
0
1 4 π 1 = 4 2 x + sin 2 x = 4 2 + 2 0 4 2
π
定积分的换元法
例1
换元必须换限
2
2
π
4 0
x tan xdx
π
2
= [ x tan x ]04 − ∫ tan xdx −
4 0
π
π
32
=
π
+ ln cos x − 4 32
4 0
π
π
2
2 π = + ln − 4 2 32
2
π
定积分的分部积分法
例3
已积出的部分要求值
( 3) ∫−1 ln
2
−2
2
x dx
−2 −2
定积分之换元法与分部积分法
广义积分
定积分的换元法
例1
(1) ∫ 1
e
( ln x )
x
e
4
dx
4
解原式 =
∫ 1 ( ln x ) d ln x
凑微分d ln x 不换元则不变限
1 5 = (ln x ) 5
另解原式
[
]
e
1
1 = 5
1 4
u = ln x
1 5 ∫0 u du = 5 u
[ ]
π
(
)
(
)
定积分的分部积分法小结
1、u与dv的选择规律，与不定积分的规律完全相同； dv的选择规律，与不定积分的规律完全相同完全相同； 2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函不同之处，仅在于：数的函数值之差。数的函数值之差。
无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分
定积分的讨论对象是有限区间上的有界函数，定积分的讨论对象是有限区间上的有界函数，有限区间上的有界函数但在一些实际问题中还常会遇到积分区间为无穷区间，但在一些实际问题中还常会遇到积分区间为无穷区间，无穷区间或被积函数在积分区间上有无穷间断点，或被积函数在积分区间上有无穷间断点，即函数是无穷间断点无界函数的问题。因此需要对定积分的概念加以推广，无界函数的问题。因此需要对定积分的概念加以推广，的问题从而形成的了“广义积分”的概念。从而形成的了“广义积分”的概念。
1 = lim − + 1 = 1 b → +∞ b
简记为
∫
+∞
1
1 1 1 dx = − = lim − + 1 = 1 2 x →+∞ x x 1 x
+∞
dx 例1 (2 ) ∫−∞ 1 − x 0 dx 解原式 = lim a → −∞ ∫a 1− x
1 0
1 = 5
换元必须换限
定积分的换元法 8 1 例1 ( 2 ) ∫0 1 + 3 x dx
解令t
3 3 2
换元必须换限
= x , 则 x = t , dx = 3t dt
2 2
换元换限
当 x = 0 时，t = 0 ；当 x = 8 时, t = 2
3t 3t 原式 = ∫ dt = 3 0 1+ t
a+b− x =t
则
dt = − dx
换元换限
当 x = a 时，t = b；当 x = b 时, t = a
所以
∫
b
a
f (a + b − x)dx = ∫ f (t )(−dt )
b b a
a
= ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx
a
b
所以，原命题成立。所以，原命题成立。课堂思考题：课堂思考题：P148 26
例1
(3)
解原式
= [arctan x ] = lim arctan x − lim arctan x x →+∞ x →−∞ π π = −− = π 1 4 +∞ 2 2 另解原式 = x 4 −∞ +∞ 3 (4) ∫−∞ x dx 1 4 4 = ( +∞ ) − ( −∞ ) 4 0 +∞ 3 3 解原式 = ∫ x dx + ∫ x dx
当k 若k 若则广义积分发散； < 1 则广义积分发散； k > 1 综上所述：综上所述：当
(ln 2) 则广义积分收敛于
1− k
广义积分发散； k ≤ 1 时，广义积分发散；当
k −1 k >1
时，广义积分收敛。广义积分收敛。
定积分分部积分公式
返回
定积分换元法
返回
再见！再见！
1.
∫
−∞
f ( x ) dx
= lim
a →−∞ a
∫ f ( x ) dx
b
2.
3.
∫
∫
+∞
a
+∞
f ( x ) dx
f ( x ) dx
c
= lim
=∫
c
b →+∞ a
∫ f ( x ) dx
b
+∞
−∞
−∞
f ( x ) dx + ∫
b
c
= lim
a →−∞ a
∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx
+∞ −∞
−∞ 0
dx ∫−∞ x 2 +1
+∞
因为
∫
1 4 0 x dx = x −∞ = −∞ −∞ 4
0 3
= ×0
所以，此广义积分发散。所以，此广义积分发散。
错误
arctan x 例1 ( 5 ) ∫1 x 2 dx +∞ 1 解原式 = ∫ arctan xd − 1 x +∞ +∞ dx 1 = − arctan x + ∫ 1 x x 1+ x2 1 +∞ 1 π x dx = +∫ − 2 4 1 x 1+ x +∞ 1 π 2 发散？发散？ = + ln x − ln (1 + x ) 4 2 1 +∞ x π π 1 = + ln = − ln 2 4 2 1+ x 1 4

第三章第4讲-定积分之换元法、分部积分法、广义积分

合集下载