2011-2012学年九年级数学（人教版上）同步练习第23章
第一节图形的旋转
一. 教学内容：
图形的旋转
1. 旋转的概念和性质．
2. 按要求作出简单平面图形旋转后的图形．
3. 应用旋转进行简单的图案设计．
二. 知识要点：
1. 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
2. 一般地，可以根据定义得出旋转的以下性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
（3）旋转前、后的图形全等．
3. 画已知图形旋转后的图形时，首先要确定一些对应点的位置，这主要由旋转角度及对应点到旋转中心的距离相等等条件确定，也可以利用一些特殊图形的性质．
4. 利用旋转设计图案时，要注意到影响设计效果的三个主要因素：基本图形，旋转中心，旋转角度．多试验才能得出美丽的图案．
三. 重点难点：
本讲的重点是旋转的基本性质，难点是利用旋转解决相关问题．
【典型例题】
例1.如图所示，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置，则旋转中心是哪点？旋转方向是什么？旋转角度是多少？点B的对应点是什么？
分析：（1）从旋转前后的图形对比，点A没有改变位置，△ABC是绕着点A旋转的，旋转中心为点A．（2）由于AC是正方形ABCD的对角线，则∠BAC＝45°，△ABC绕着点A逆时针方向旋转45°到达△AEF位置，点B的对应点是线段AC上的点E．解：旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，旋转角为45°，点B的对应点是点E．评析：在旋转中找出旋转中心、旋转角度及方向是研究旋转的基础，在找角度时，也可以采取测量或计算的方法，本题中由于是特殊图形（正方形），角度易算出．
例2.选择题：
（1）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）
A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）
（2）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）
分析：（1）根据题意可求得线段AB＝4，将月牙①旋转90°后得到月牙②，所以∠ABA’＝90°．所以A’的坐标为（2，4）．（2）选项A用轴对称或旋转；B用平移；C用平移或旋转；D用旋转，故选C．
解：（1）B（2）C
例3.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是斜边上任意一点，以A点为中心，把△ACD顺时针旋转30°，画出旋转后的图形．
分析：要画出旋转后的图形（三角形），关键是确定三个顶点，它们分别是△ACD的三个顶点的对应点．由旋转的性质，可以找出各个量之间的关系，从而确定它的位置．解：首先确定三个顶点的位置．点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身（位置没有变）．
由∠BAC＝30°，所以点C的对应点E在直线AB上，由对应点到旋转中心A的距离相等得AE＝AC．在AB上取点E，使AE＝AC．
由旋转前后的图形全等，设点D的对应点为F，则△AEF≌△ACD，以AE为一边作△AEF，使AF＝AD，EF＝CD，则△AEF为旋转后的图形．
评析：在确定对应点的位置时，一般先确定比较特殊的点，如本题中A的对应点是A．点C的对应点在AB上，在确定点E时用了EA＝CA，对应点到旋转中心的距离相等．第三点可通过作全等三角形或作∠FAE＝30°，FA＝DA得出．
例4.如图所示，用图（1）中的等腰直角三角形经过旋转，可以得到图（2）与图（3）中的图形，请说明旋转的方法．
分析：要说明旋转的方法，就要求找出旋转中心，旋转角度．
解：图（2）中的图案是图（1）中三角形绕着三角形外一点O按顺（或逆）时针方向每次旋转90°，共旋转3次得出的．图（3）中的图案是由图（1）中的三角形绕着点A按顺（或逆）时针方向每次旋转45°，共旋转7次得出．
评析：旋转中心比较明显，但旋转角度要通过观察与计算得出，其中图（3）稍复杂．由于三角形的底角为45°，从图中可以看出旋转角等于45°．
例5.观察下图①和②，请回答问题：
（1）简述由图①到图②的变化过程；
（2）若AD＝3，DB＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．
分析：从图中可以看出，△AED绕D点作旋转90°的变换，到△A’FD位置，由旋转的性质，A’D＝AD，DE＝DF，∠ADE＝∠A’DF，由于∠EDF＝90°，∠A’DB＝90°，R t △A’DB的面积为1/2×A’D×BD＝1/2×3×4＝6．
解：（1）图①到图②的变化过程是△AED绕点D逆时针旋转90°到达△A’FD的位置，其中A’是点A的对应点；
（2）由于旋转的性质得A’D＝AD，∠A’DF＝∠ADE，
∵∠EDF＝90°，
∴∠A’DF＋∠BDF＝∠ADE＋∠BDF＝90°，即∠A’DB＝90°，
∴1/2A’D·BD＝1/2AD·BD＝×3×4＝6．
评析：在讨论与计算图形面积时，可以使用旋转变换将图形拼接或拆开，以便于计算．要掌握好旋转的性质，说明计算的依据．
例6.如图所示，分别以△ABC的两边为边向外作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC、BF，运用旋转的观点解释．
（1）CD与BF相等吗？为什么？
（2）CD与BF互相垂直吗？为什么？
分析：这是道几何证明题，从题中可以看出，∠DAB＝∠CAF＝90°，DA＝BA，CA ＝FA．可以把△ABF看成由△DAC绕点A旋转得到的．
解：（1）∵四边形ADEB，ACGF都是正方形．
∴∠DAB＝∠CAF＝90°．
AD＝AB，AC＝AF．
于是可以得到△DAC绕点A逆时针旋转90°将到达△BAF的位置，点D与点B对应，点C与点F对应．即△BAF是△DAC绕点A逆时针旋转90°得到的，由旋转的性质△DAC ≌△BAF，∴DC＝BF．
（2）由（1）得，线段DC绕点A旋转90°得到BF，
∴DC与BF相交得夹角为90°（等于旋转角），即DC⊥BF．
评析：这是一道几何中的老题，用旋转变换的观点去考虑，会使思路更清晰．判断两个三角形是否有旋转变换的关系，一般看各个点之间是否存在与例题中类似的对应关系（点D 旋转90°到点B，点C旋转90°到点F，点A与点A对应）．判断对应点的关系时通常要用到各点与中心连线所成夹角相等，都等于旋转角；到中心距离相等．
【方法总结】
1. 确定旋转中心与旋转角的常用方法是：当变换后的两图形中有一个点的位置不改变，则这个点是旋转中心，否则可以由对应点到旋转中心距离相等找到旋转中心，确定了旋转中心后可以通过计算或度量的方法确定旋转角度．
2. 旋转的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与中心的连线夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等．这些性质除了可以帮助画出有关旋转图形外，还可以帮助解决一些几何计算与证明题．在解这类题时，关键是要找出旋转关系．
一. 预习前知
1. 在平面直角坐标系x O y中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA’，则点A’在平面直角坐标系中的位置是在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2. 如图，点A关于y轴的对称点的坐标是__________．
二. 预习导学
