建立空间直角坐标系,解立体几何题

建立空间直角坐标系,解立体几何高考题

立体几何重点、热点:

求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系与垂直关系等.

常用公式: 1、求线段的长度

:

222z y x AB ++==()()()2

12212212z z y y x x -+-+-=

2、求P 点到平面α的距离:

PN =

,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量)

3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ⋅=

θl PM ⊂,α∈M ,为α的法向量)

4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos =

θ

5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ⋅=

θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量)

6、求二面角的平面角θ:S

S 射影

=

θ

cos ,(射影面积法)

7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量,

则由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

n b n a ,可求得法向量.

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容,使得空间立体几何的平行﹑

垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析,只需建立空间直角坐标系进行定量分析,使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键就是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系。

例1、 (2002年全国高考题)如图,正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都就是1,而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若

CM=BN=a(20<

解:(1)以B 为坐标原点,分别以BA ﹑BE ﹑BC 为x ﹑y ﹑z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,由CM=BN=a,M(

a 22,0,a 221-),N(a 22,a 2

2

,0) ∴ =(0,

a 22,12

2-a ) ∴ MN =22)2

2()122(

a a +- =2

1)22(2+-a (20<

(2)由(1)=21

)22(2+-a

所以,当a=

2

2

时,min

=2

2

, 即M ﹑N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为2

2。 (3)取MN 的中点P,连结AP ﹑BP,因为AM=AN,BM=BN,

所以AP ⊥MN,BP ⊥MN,∠APB 即为二面角α的平面角。

MN 的长最小时M(21,0,21),N(21,21

,0)

由中点坐标公式P(21,41,4

1

),又A (1,0,0),B (0,0,0)

∴ =(21,-41,-41),=(-21,-41,-41

)

∴ cos ∠

APB=

=

8

3

83161

16141⋅++-

=-31

∴ 面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小为π-arccos 3

1

例2、(1991年全国高考题)如图,已知ABCD 就是边长为4的正方形,E ﹑F 分别就是AB ﹑AD 的中点,GC ⊥面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离。

解:建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,

由题意 C(0,0,0),G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0)

∴ =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0)

设平面EFG 的法向量为=(x,y,z),则

得{

02420224=-+=-+z y x z y x ,

令z=1,得x=31,y=31

,

即n =(31

,3

1

,1),

在方向上的射影的长度为

d =BE =

19

1

913

2

++11例3、 (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中CA=CB=1, ∠BCA=900,棱A A 1=2,M ﹑N 分别就是A 1B 1﹑A 1 A 的中点。

(1)求的长; (2) 求cos ><11,CB BA ;(3)求证:A 1B ⊥C 1M

解:建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),B(0,1,0),

N(1,0,1),A 1(1,0,2),B 1(0,1,2),C 1(0,0,2),M (21,2

1

,2)

(1)=(1,-1,1), =3;

(2)1CB =(0,1,2),1BA =(1,-1,2) ∴ cos ><11,CB BA =

CB BA

=

5

641⋅+-=1030 (3)A 1=(-1, 1,-2),

C 1=(21,2

1

,0)

∴ B A 1•M C 1= -1×

21+1×2

1

+(-2)×0=0 ∴ A 1B ⊥C 1M

二﹑利用图形中的对称关系建系。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但就是图形中有一定的

对称关系(如:正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。

例4、 (2001年二省一市高考题)如图,以底面边长为2a 的正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox ∥BC,Oy ∥AB,E 为VC 的中点,高OV 为h 。

(1)求cos ><,; (2)记面BCV

β的平面角,求∠BED 。 解:(1)由题意B(a,a,0),

D(-a,-a,0),E(-2a ,2a ,2h

)

∴ =(-23a ,-2a ,2h

), =(2a ,23a ,2

h )

cos >

=

4

25425443432222222h

a h a h a a +⋅++

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