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初二数学竞赛讲座 二次根式的运算解答提示
式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)
b
a
b
a =
(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542
4
52
22+-----=
x
x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质：
(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；
(2) a a =2
)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；
(3) a a =2
)(，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
提示：22222
2
054
20,262045x x x y x y x x
⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【例2】 化简2
2
)1(111++
+
n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)
A ．1111++
+
n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1
1
11+--n n 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式
111
n n n +=-+ （C ）
【例3】计算：
（1）
)
23)(36(23346++++； （2；
（3）
49
4747491
7
55715
33513
31++
+++++
+ ；
（4．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、
配方等
方法寻
找它们
的联系
，以此
为解题
的突破
口．（
1
）
原
式
=
=
=+
（2）原式=
(55==--=
（3
=
1
2=
=
= 原式11113
(
()
2217747
=
+++=-=
（4=
==【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算1
2
1
2-
-
+
-
+a
a
a
a．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨（1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，
原式11=此外，由于4+23
与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原
式
3423
=-
21612
==-=
(2)
原式==
242(2)4 =+==
(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就
a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
原式
=
2
11
2
a
a
⎧≤≤
⎪
=+=⎨
>
⎪⎩
1，即12时
，即时
【例5】已知5
2
1
3
3
2
4
1
2-
-
-
=
-
-
-
-
+c
c
b
a
b
a，求c
b
a+
+
的值．(山东省竞赛题)
思路点拨
已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，
一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：
22222
1
1]
221
2][(3)23
39]
2
a c c
-+--+=----+
即222
1
1)2)]3)0
2
+
+=，10
=，得2
a=20
=，得6
b=；
30
=，得12
c=。故261220
a b c
++=++=。
学历训练
1．如果2
2
3
3
2+
-
+
-
=x
x
y，那么4x y
-=
．
2
．已知3
=
xy
，那么
y
x
y
x
y
x+的值为
．(
成都市中考题)
提示：原式(
x y
x y
x y x y
⎧⎪
==+=⎨
-
⎪⎩
、均为正
、均为负
3
．计算2001
)1
3
(2
)1
3
(2
)1
3
(1999
2000
2001+
+
-
+
-
+= ．(天津市选拔赛试题)
原式1999219992
1)1)1)13]20011)11)3]20012001
=-+-+=--+=
