系统的稳定性分析.ppt

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第四章 系统的稳定性分析
1 三、范数：－衡量（度量）状态空间距离的大小向量 x 的
李 长度称为向量 x 的范数：
氏
意
x x12 x22 xn2
义
下
向量x与xe的距离为：
的 稳
x xe (x1 xe1)2 (xn xen)2
定
与x xe限定在某一范围时，记作 x xe ， 0
3
等等。
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第四章 系统的稳定性分析
1
李
3、现代控制理论判稳方法：
氏
意 义 下
李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳－ －间接法
的
稳
李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数 V(x)，
定
根据 V(x)的性质判稳。－－对任何复杂系统都适用。
2
4、本章内容：李氏第二法及其应用。
下
至于在球域内如何变化不作任何规定。
的
而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而
稳
且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
定 – 从工程意义来说, 渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为
重要。
由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念, 只确定平衡
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态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。
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第四章 系统的稳定性分析
1
李
李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态
氏
邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。
意
义 下
系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要
的
就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不
稳 稳定。
定
上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是
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解：x(t) (t, x0,t0 )
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如线性定常：x Ax, x (t)x0
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第四章 系统的稳定性分析
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李
氏 意
定义 平衡状态：
义
对于动态系统
下
x f (x,t)
的 稳
如果对于所有t 总存在着
定
f (xe , t) 0
则称 xe 为系统的平衡状态。
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3
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第四章 系统的稳定性分析
B、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。 2
3
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0
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第四章 系统的稳定性分析
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线性系统稳定性分析的理论框架
李
氏
稳定性分析
意
义 解析 下 方法 的
SISO的代数 分析方法
1892年俄国数学 家李雅普诺夫
稳 定
Routh判据 Houwitz判据
第一 方法
第二 方法
2
根据SISO闭环特征 方程的系数判定系
氏
若xe为系统的平衡点，则 Axe (t) 0
意
如果 A 非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态
义
如果 A 奇异阵，则有无穷多个平衡点
下
的
(2) 非线性系统
稳
x f (xe ,t) 0
定
平衡点 xe 不只一个，可能有多个
2
例系统
x2
x1 x1 x1 x2
x23
中，有几个平衡点？
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(0 0), (0 1), (0 1) 皆为系统的平衡点
1
李
从定义可知, 平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为
氏 零向量的点(状态)。
意 由于导数表示的状态的运动变化方向, 因此平衡态即指能够保
义 持平衡、维持现状不运动的状态, 如图所示。 下
的
稳
定
平衡态
平衡态
平衡态
2 平衡状态的个数？
3 4
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第四章 系统的稳定性分析
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李
(1) 线性定常系统 x(t) Ax(t)
第四章 系统的稳定性分析
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李 引言：
氏 意
1、稳定性是控制系统的首要问题。
义 2、经典理论判稳方法及局限性。
下 的 稳 定
A、直接判定：单入单出系统中，基于特征方程的根是否都 分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古尔维茨代数判 据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适 用于非线性和时变系统。
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第四章 系统的稳定性分析
1 3、大范围渐近稳定
李
氏
如果平衡状态 xe是稳定的，而且从所有初始状态出发的轨
意 迹线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态 xe 大范围渐近稳 义 定。 下
的
xe 是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。
稳
定
－线性只要渐近稳定（只有一个xe )一定是整个状态空间
的渐近稳定。
－非线性系统，多个xe 2
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第四章 系统的稳定性分析
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李 氏 意 义 下 的 稳 定
Baidu Nhomakorabea
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第四章 系统的稳定性分析
1 4.2 李雅普诺夫第一法
几何意义：在n维状态空间中，
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表示以xe为球心，以为半径的
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一个球，记作S (）
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第四章 系统的稳定性分析
1 李亚普诺夫意义下的稳定 李
氏
意
系统稳定的分类：
义
下
的
稳
定
有界
在 f 作用下，x 偏离 xe 有三种
x xe
2
无界
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第四章 系统的稳定性分析
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李 氏 意 义 下 的 稳 定
3
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第四章 系统的稳定性分析
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4.1 基本定义
几个稳定性概念
李
氏 一、系统：
意
义
设x f (x,t,u)
下
稳定性是系统本身的一种动态属性，与外部
的 稳
输入无关。u 0,则x f (x,t)
定
x(t)为n维向量，f (x,t)也是n维向量
x fi (x1, x2 , xn , t),初始状态x(t0 ) x0
根据状态方程A阵判
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统的稳定性
定系统的稳定性
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第四章 系统的稳定性分析
1
3、现代控制理论判稳方法：
李 氏 意
[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用 于各种系统。
义
李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。23岁大学毕
下
业后留校工作，师从切比雪夫。35岁获博士学位并
的
成为教授。43岁当选为圣彼得堡科学院通讯院士，
在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状
2 态稳定于何处。
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第四章 系统的稳定性分析
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李 氏 意 义 下 的 稳 定
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：
氏 意
– 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。
义
对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，
稳
而后分别当选为意大利国立林琴科学院，巴黎科学
定
院外籍院士。 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出
代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微
分方程和数学物理最有名。在数学中以他的姓氏命
2 1857-1918 名的有：李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅
普诺夫曲面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机算子