初二分式整章复习

人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。

三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。

分式整章知识点总结一、基本概念1.分式的定义分式是指两个整数或者两个多项式的比值构成的数。

通常表示为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。

a称为分子，b称为分母。

2.分式的分类根据分子和分母的关系，分式可以分为真分式、假分式和带分式。

- 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值。

- 假分式：分子的绝对值大于分母的绝对值。

- 带分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，可以表示为整数部分和真分式部分的和，形如a+b/c的形式。

3.分式的简化分式的简化是指将分子和分母约去它们的公因数，使得分子和分母互质的过程。

简化后的分式要比原式更加简洁，更利于运算。

二、分式的性质1.分式的相等性分式a/b和c/d相等的条件是ad=bc。

即分子的积等于分母的积。

2.分式的倒数分式a/b的倒数是b/a。

3.分式的相反数分式a/b的相反数是-a/b。

4.分式的整除性分式a/b可以整除c/d的条件是ad可以整除bc。

5.分式的乘法分式a/b和c/d的乘积是ac/bd。

6.分式的除法分式a/b除以c/d等于a/b乘以d/c。

7.分式的加法分式a/b和c/d的加法是(ad+bc)/bd。

8.分式的减法分式a/b减去c/d等于(ad-bc)/bd。

三、分式的运算规则1.分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循乘法交换律和结合律的原则。

在计算分式的乘法和除法时，我们需要将分子和分母分别进行运算。

2.分式的加法和减法分式的加法和减法同样满足交换律和结合律。

在计算分式的加法和减法时，需要先通分，然后对分子进行加减运算。

3.分式的混合运算分式的混合运算是指在同一个表达式中包含加、减、乘、除等多种运算符号的运算过程。

在进行分式的混合运算时，我们需要遵循运算法则，先乘除后加减，按照顺序逐步进行计算。

四、分式的应用1.分式在方程中的应用在代数方程中，分式经常会出现在方程的解中。

例如在二次方程、分式方程等中，分式的运算和化简是解题的关键。

2.分式在比例和百分数中的应用比例和百分数是数学中常见的应用题型，其中分式经常会被用到。

八 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间：第一部分 章节知识梳理 分式及其基本性质 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．⑷分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；⑸分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．⑹ , 区别： 是分式， 是整式，根据本来面目判断．整式与分式统称为有理式．分式有意义的条件：分式的分母不为0 分式的值为零的条件：同时满足： ①分式的分子为零 ②分式的分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．用公式可表示为： a am b bm = a a mb b m÷=÷ (0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.分式的运算 1.基本运算法则同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bdac d a ±=±分式乘法：bdac d c b a =⋅ 分式除法：bcadc d b a d c b a =⋅=÷分式乘方： 2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 注：①约分的主要步骤：（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。

分式全章复习与巩固（基础）学习目标1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识网络要点梳理要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.典型例题类型一、分式及其基本性质1、在中，分式的个数是（）A.2B.3C.4D.5答案与解析2、当为何值时，分式的值为0？【变式】（1）若分式的值等于零，则＝_______；（2）当________时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：【变式】计算：（1）；（2）；（3）．类型三、分式方程的解法4、解方程【变式】类型四、分式方程的应用5、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的产品48件，乙厂有合格的产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率是多少？【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?巩固练习一.选择题1．下列变形从左到右一定正确的是( )．A. B. C. D.2. 把分式中的都扩大3倍，则分式的值( )．A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的D.不变3．下列各式中，正确的是( )．A. B.C. D.4. 式子的值为0，那么的值是（）A．2 B．－2 C．±2 D．不存在5．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍6. 下列分式中，最简分式是( )．A. B.C. D.7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（）．A． B．C． D．8. 方程的解是（）A．0 B．2 C．3 D．无解二.填空题9．若x＞，那么的值是______________．10．当______时，分式有意义．11．当______时，分式的值为正．12．＝______．13. ＝______．14. 写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）．15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．16．方程的解是______．三.解答题17. 计算；（2）．18. 已知，求．19. 已知，求的值．20. 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元．信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的．信息三：甲班比乙班多2人．请根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元．。

八年级数学分式及分式方程单元复习第八章分式及分式方程单元复习知识要点1、分式的定义： _________________________________ 。

2、分式的___________________ 时有意义; _____________ 时值为零。

(注意分式与分数的关系)3、分式的基本性质： ;用字母表示为：(其中 )。

(注意分式基本性质的应用，如改变分子、分母、分式本身的符号，化分子、分母的系数为整数等等)。

4、分式的约分：。

(思考：公因式的确定方法)。

5、最简分式： ____________________________________ 。

6、分式的通分：。

7、最简公分母：。

8、分式加减法法则： _____ 。

(加减法的结果应化成 )9、分式乘除法则：。

10、分式混合运算的顺序：。

11、分式方程的定义：。

12、解分式方程的基本思想： ____ ;如何实现：。

13、方程的增根：。

14、解分式方程的步骤：________________________________ 。

15、用分式方程解决实际问题的步骤:习题巩固一、填空：1、当x 时，分式有意义;当x 时，分式无意义。

2、分式：当x ______时分式的值为零。

3、的最简公分母是 _________ 。

4、 ; ;5、 ; 。

6、已知，则。

7、一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则甲、乙合作小时完成。

8、若分式方程的一个解是，则。

9、当，时，计算。

10、若分式13-x 的值为整数，则整数x= 。

11、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:①23 x-32 y 56 x+y = ; ② 0.3a-2b -a+0.7b = 。

12、已知x=1是方程的一个增根，则k=_______。

13、若分式的值为负数，则x的取值范围是_ _。

14、约分：① _______，② ______。

15、一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______________小时。

第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分 数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲 荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间 有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成 任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师 去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的 垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知 甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲 车少200元.（1） 求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和 用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。

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分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B 为分母。

B知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为 0〔 B0〕②分式无意义：分母为 0〔 B0 〕③分式值为 0：分子为0 且分母不为 0〔A 0B 〕0 ④分式值为正或大于0：分子分母同号〔A 0 A 0 〕B 0 或B⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔A 0 A 0 〕B或B⑥分式值为 1：分子分母值相等〔 A=B 〕⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数〔 A+B=0〕经典例题1、代数式 41 〕 A. 单项式B.多项式C.分式D.整式是〔x2、在 2， 1( x y) ，3，a 5 ， 2xy中，分式的个数为〔〕x 3x43、总价 9 元的甲种糖果和总价是 9 元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果廉价 1 元，比乙种糖果贵 0.5 元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9 元的甲种糖果的质量为千克 .4、当 a 是任何有理数时，以下式子中一定有意义的是〔〕a 1B.a 1C.a 1 D.a1 A.aa 2a21a 215、当 x1 时，分式① x 1 ，②x1，③ x 1，④1 中，有意义的是〔〕 A. ①③④ B.x 12x 2C. x 2 1x 3 1 D.③④②④ ④6、当 a1 时，分式a1 〔〕 A. 等于 0B.等于 1a 2 17、使分式8x4的值为 0，那么 x 等于〔〕 A. 3B.8x 388、假设分式x 2 1 的值为 0，那么 x 的值是〔〕或－ 1x2x 2C.等于－ 1D. 无意义18 D.1 2C.23C.－1 D.－ 29、当 x时，分式x1的值为正数 .10、当 x时，分式x1的值为负数 .x 1x 111、当 x时，分式x 1的值为 1.3x212、分式1有意义的条件是〔 〕 A. x0 B.x1 且 x0 C. x2 且 x 0D.x1 且 x 21 11 x13、如果分式x 3〕 A. xB.x3 C.x 0 且 x 3D.x3x的值为 1，那么 x 的值为〔314、以下命题中，正确的有〔 〕① A 、 B 为两个整式，那么式子A叫分式；② m 为任何实数时，分式m 1有意义；Bm 3③分式 1 有意义的条件是x 4 ；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1.2 16xA.1 个B .2 个个个15、在分式 x 2ax 中 a 为常数，当 x 为何值时，该分式有意义？当 x 为何值时，该分式的值为 0？x 2x 2知识点三：分式的根本性质分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不等于0 的整式，分式的值不变。

八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。

例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。

2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。

例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。

3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。

注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。

例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。

4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。

例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。

没有明显问题的段落，无需删除或改写。

1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。

3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。

清单03分式全章复习（4个考点梳理+9种题型解读）考点一分式的基础分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式A B来说：①当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若A B>0，则A、B同号;若A B<0，则A、B异号.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：类型方法步骤1．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式2x y x y-+：(1)如果1x =，那么y 取何值时，分式无意义？(2)如果1y =，那么x 取何值时，分式无意义？(3)使分式无意义的x ，y 有多少对？(4)要使得分式有意义，x ，y 应有什么关系？(5)如果=1x -，那么y 取什么值时，分式的值为零？2．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）对于分式23x a x b-+，当1x =-时，分式无意义；当4x =时，分式的值为0，求a b 的值．3．（22-23八年级上·湖南永州·期中）已知关于x 的分式21(1)(3)x x x -+-，求下列问题：(1)当x 满足什么条件，分式无意义；(2)当x 满足什么条件，分式有意义；(3)当x 满足什么条件，分式的值等于0．4．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子：（1）()()30510a axy xy axy=≠；（2）()()22124a a a +=≠±-；（3）()()222x y x y x y+=≠-；（4）()22222a ab b a b a b -+-=-（0a b +≠且0a b -≠）．5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：(1)35ba --；(2)35mn ---；(3)33 2xx---；(4)232x-．【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变．6．（21-22八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．①220.60.30.50.7x y x y -+；②22220.250.50.752a b a b +-；③1112361164a b c a b -++；④21318543x y x ---．考点二分式的运算【考试题型3】整式与分式相加减7．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：(1)212293m m+--(2)211x x x -+8．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：(1)2222242x x xy y x x y y x x y---+---(2)236924424x x x -++--；(3)2111111x x x+++--；(4)3211x x x x +-+9．（2022·四川泸州·一模）化简：2111x x x x -⎛⎫+- ⎪【考试题型4】分式加减乘除混合运算10．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）计算：(1)23234243b b b a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)()22224414;22x xy y x y x y x y -+÷-⋅11．（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算(1)22433842x x y x y y ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)211x x x x+--；(3)222632444163x x x x x x x ---÷⋅-+-+；(4)2211()xy x y x y x y -÷-+-．12．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算：(1)22233x y xy y z z⎛⎫⋅÷ ⎪⎝⎭(2)()22222x xy y x yxy x xy x-+--÷(3)2222223223x y x y x yx y x y x y ++--+---(4)222111x x x x x ++-【考试题型5】分式的化简求值13．（22-23八年级下·贵州六盘水·阶段练习）先化简，再求值：24431221x x x x x -+÷-+++⎛⎫⎪⎝⎭，其中x 是不等式381x -<的正整数解．14．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若a ，b 为实数，且()222|25|05a b b -+-=-，求22b aa b --的值．15．（23-24八年级上·广东湛江·期末）化简111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，再从1,1,3-中选择一个合适的数代入求值．16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）化简求值：()x y x y x y-÷-+-，其中x ，y 满足()2120x y -++=．考点三解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.【考试题型6】解分式方程17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）解分式方程：(1)23611x x =+-(2)31244x x x -+=--．18．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）解下列分式方程：(1)21122x x x +=+--；(2)2227611x x x x x -=．【考试题型7】根据分式方程解的情况求值19．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知关于x 的分式方程3211m x x+=---的解为非负数，求正整数m 的值．20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于x 的方程233x x -=--的解是正数，求m 的取值范围．【答案】6m <且3m ≠【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含m 的式子表示x ，根据0x >且30x -≠，确定m 的取值范围是解题的关键．【详解】解：∵方程两边乘()3x -，得()23x x m --=，∴6x m =-．∵方程的解为正数，∴0x >，即60m ->，解得6m <．又30x -≠，即630m --≠，解得3m ≠，∴6m <且3m ≠．21．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x 的方程4433x mm x x---=有增根，求m 的值．22．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x 的方程：3611(1)(1)mxx x x x +=+-+-．(1)若方程有增根，求m 的值；(2)若方程无解，求m 的值．【答案】(1)m 的值为6或12．(2)m 的值为9、6或12【详解】解：方程两边同时乘(1)(1)x x +-，得到3(1)6(1)x x mx -++=，整理得(9)3m x -=-．（1）由原分式方程有增根，得最简公分母(1)(1)0x x +-=，解得增根为=1x -或1x =，当=1x -时，6m =；当1x =时，12m =．答：m 的值为6或12．（2）分两种情况：去分母整理得到的整式方程无解，从而分式方程无解．即当90m -=时，该整式方程无解，此时9m =．整式方程有解，但它是分式方程的增根，从而分式方程无解．当90m -≠时，这时分式方程有增根，由（1）得6m =或12m =．综上所述，m 的值为9、6或12．答：m 的值为9、6或12．【易错点分析】易出现把分式方程无解等同于有增根的情况．分式方程无解包含两种情况：去分母整理得到的整式方程无解；分式方程有增根．23．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）解方程：(1)解方程：21133x xx x =-++；(2)解方程：2236111y y y +=+--；(3)关于x 的分式方程()()232121mx x x x x +=-+-+．①若方程的增根为2x =，求m 的值；②若方程有增根，求m 的值；③若方程无解，求m 的值．当方程的增根为2x =时，(1)28m -⨯=，所以3m =-；②若原分式方程有增根，则(1)(2)0x x +-=，2x ∴=或=1x -，当2x =时，(1)28m -⨯=，所以3m =-；当=1x -时，(1)(1)8m -⨯-=，所以9m =，所以m 的值为3-或9时，方程有增根；③当方程无解时，即当10m -=时，(1)8m x -=无解，所以1m =；当方程有增根时，原方程也无解，即3m =-或9m =时，方程无解，所以，当3m =-或9m =或1m =时方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．【考试题型8】分式方程与一元一次不等式组综合24．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）关于x 的方程2133x mx x--＋=的解为正数，且关于y 的不等式组()323y m y m m -≥⎧⎨-≤+⎩有解，则符合题意的所有整数m 的和为．∴336m y m +≤≤+，且336m m +≤+，解得： 1.5m ≥-，故m 的取值范围是： 1.55m -≤＜，且1m ≠-，则符合题意的整数m 有：0，1，2，3，4，∴符合题意的所有整数m 的和为10．故答案为：10．25．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）若实数m 使关于x 的不等式组2333222x x x m ++⎧-≤⎪⎨⎪-<-⎩有整数解且至多有4个整数解，且使关于y 的分式方程16211m y y-=---的解为非负数，则满足条件的所有整数m 的和为．m 是整数，m ∴为6或7，6713∴+=，故答案：13．【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组的整数解问题，含参数的分式方程问题，理解不等式组的解集意义和分式方程的解，掌握解法是解题的关键．26．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x 的不等式组3512622x x x x a-⎧<+⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有3个奇数解，且关于y 的分式方程32111y a a y y +-+=--的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为．考点四利用分式方程解决实际问题用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：【考试题型9】分式方程的实际应用27．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在2020年疫情防控期间，我市某公司为了满足全体员工的需求，花1万元买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩的价格下降了50%，该公司又花了6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包．求2020年每包口罩的价格是多少？(1)设2020年每包口罩的价格为x元，则2021年每包口罩的价格为元；（用含x的代数式表示）(2)求2020年每包口罩的价格．【答案】(1)0.5x(2)2020年每包口罩的价格是20元【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式：28．（23-24八年级上·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装．经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价．求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．29．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．30．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）2023年，淄博烧烤成为热门话题，和三五好友在路边小摊上说说笑笑、感受人间烟火气成为时下最受欢迎的休闲方式之一．为恢复和提振消费，越来越多的城市加入支持“地摊经济”的队伍，近日淄博某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”．每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？。

?分式?章节复习总结、复习目标与要求1 .本章主要学习了分式的根本概念和性质,分式的加减法和乘除法、含有字母系数的一元一次方程和分式方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程及其应用.2 .应当注意理解分式、有理式的概念,会求分式有意义的条件.应注意掌握分式的根本性质,能用它将分式变形,并能熟练进行通分和约分,掌握分式加减、乘除的运算法那么,进行分式的运算.3 .掌握含有字母系数的一元一次方程的解法,会进行简单的公式变形,深入理解分式方程的概念,掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,并能判定分式方程的增根,掌握可化为一元一次方程的分式方程的应用题的解法.4 .在进行分式加减运算时要注意通分,在进行分式的乘除运算中,注意对结果的约分化简.5 .在解含有字母系数的一元一次方程时,用含有字母的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的 值不能为零,如果无法判断是否为零,那么应当进行讨论.定义；含字母系数的一元一衩方程 可化为一元一次方程的分式方程的解法 列方式方程就应用题1 .分式及分式的根本性质2 .分式的运算(1)约分：①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.②分式约分的依据：分式的根本性质. ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的6.解分式方程时,由于可能会产生增根,因而一定要进行检验.分式定义 二、知识结构梳理概念有关耦念 ,有理式 最荷分式 最简公分母分式分式的根本性僦A JxM ¥ = BxM 4 =学皆M 是不等于零的整式) ,oB TM加演法分式的运直 除法中4ab d be分式方程三、重点知识梳理乘方乘.一了就公因式.④约分的结果：最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)(2)分式的乘法：乘法法测：-£ =变.b d bd(3)分式的除法：除法法那么：-^- = - .9=史b d bc bc(4)分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(自)：■,bn...... ............. ................. ............................... a a分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表不为：(一)n=F(n为正整数)b b n3.分式方程及其应用(1)分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程注意：它和整式方程的区别就在于分母中是否含未知数(2)分式方程的解法①方程两边都乘以最简公分母,去分母,化为整式方程；②解这个整式方程；③验根(3)分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要验是否符合题意；⑦答：写出答案四、易混、易错,问题辨析1.符号错误a b例1.不改变分式的值,使分式 a b的分子、分母第一项的符号为正.一a 一b诊断：约分的根据是分式的根本性质,将分子、分母的公因式约去,假设分子、分母是多项式,须先分解因式,再约去公因式.错解:一a b a b -a -ba -b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.正解:-a b -(a -b) a -b -a -b - (a b) a b2 .运算顺序错误2a - 4 a - 2 例 2.计算：22a 4 a-^ .(a 3)a 4a 3 a 3 错解：原式=2(a -2)+ (a -2) = i-2 ---------------------------- .a 4a 3 a 4a 3诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算,运算顺序应从左至右.正解: 原式2a -4 a 3 2(a ： ~2 ------------ ■ ------- .(a 3)= -------------- a 4a 3 a-2 a-13 .错用分式根本性质3.2a - 一 b 例3.不改变分式的值,把分式 ——2一的分子、分母各项系数都化为整数.-a b3(2a --b) 2错解：原式=22------(2 a b) 3 34a -3b2a 3b诊断：应用分式的根本性质时, 分式的分子、分母必须同乘以同一个不为 0的整式,分式的值不变,而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了.(2a --b) 6 正解：原式= ------------- 2 ---------(2a b) 6 312a -9b4a 6b4 .约分中的错误例4.约分:a 2 ab ~22a 2ab b 错解：原式1 1 12 b 23 b 2诊断：此题错误在于添加分数线时,忽略了分数线的括号作用.丘gqx 3 x 2 x 1x 3(x - 1)(x 2 x 1)x 3 x 3 -1 1正解：原式=—— ------- ----------- =—— -(----------- ------------ ) = —————x -11 x -1x -1x - 1 x - 1 x - 1五、典型问题梳理例1.判断以下各代数式中,哪些是分式?a(a b)正斛：原式= ----------- 2(a b)5 .结果不是最简分式例5.计算：力 x -yx 2y 2x - 3y ~22 + ―2 2 ,x 7 x 「y错解:原式=(x 3y )-(x 2y ) (2x -3y ) 2x -2y诊断：分式运算的结果必须化为最简分式,而上面所得结果中分子、分母还有公因式,必须进一步约分化简.正解：原式(x 3y) -(x 2y) (2x -3y) 2x -2y 2(x- y) 222二—2 2 二 IT 二x -yx —y (x y)(x-y) x y6 .误用分配律…、— m 2m 2 例 6.计算： ------------- 〒(m + 2 -------- ).2m -4 m - 21 J 3 -m 2(m -2)2 - 2(m -2)- m 2错解：原式=m --(m - 2) 2(m -2)2(m -2) m -2 诊断：乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律.正解：原式_2___,m 2 , m -m -6 m 2 m -2 1--------- ~ -------------- = --------- - ----------------- - ------------2(m -2) m -22(m -2) (m 2)(m -3) 2(m -3)7 .忽略分数线的括号作用3例 7.计算：——— x 2 -x -1 .x -1x 3 (x -1)(x 2 - x -1)x -1 x -12x 2 -1 x -1错解:2x - x -11(1) 1+- (2) x (3) x —3x a5解：如果式子分母中含有字母,那么叫做分式,因此(1) (2)是分式,(3)不是分式.例2.使分式(x +7)(x -2)有意义的条件是什么?使分式的值为零的条件是什么？ |x|-7解：使分式有意义的条件是分母的值为零,所以当 |x|—7W0,即XW 土时,分式有意义；使分式值为零的条件是分式分子的值不能为零,分母的值不等于零,所以当 x+7=0或x — 2=0且xw±j 即x=2时,分式的值为零.2m -3m- 29 -m2〃 m -3m m(m -3) m解： -------- 厂二 --- --------------- 二 -- ------9 -m (m 3)(m -3) m 3说明：①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的根本性质进行约 分.②注意对分子、分母符号的处理. 一 x x 4x例5.先化简,再求值：( --------------------- )+——,其中x=2005x -2 x 2 x -2j -r V 14例6.斛方程 --------- --2 ------- =1 .y -1 y -1解：两边同乘以(y+1)(y —1),去分母,得(y+1)2-4=y 2- 1, y 2+2y+1 — 4=y 2—1, y=1检验：把y=1代入最简公分母：(y+1)(y —1)=(1+1)(1 — 1)=0,,y=1是增根.所以,原方程无解...、一一2x 3 -m例7.关于x 的万程 ----------- + ------- =3有增根,求 m 的值.x 122r x解：方程两边都乘以(x-2),得2x-(3-m)=3(x- 2),把x=2代入上面得到的整式方程,得 4-3+m=0.所以 m= — 1.说明：假设分式方程有增根,那么增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值 ；反过来,使最简公分母 等于零的未知数的值不一定是方程的增根.例8.某自来水公司水费计算方法如下：假设每户每月用水不超过5 m 3,那么每立方米收费1.5元；假设每户每月用水超过5 m 3,那么超出局部每立方米收取较高的定额费用 .1月份,张家用水量是李家用水量的 3 , 张家当月水费是17.5元,李家当例4.解：原式=x 2 2x -x 2 2x (x 2)(x -2)x -2 1 14x - x 2 - 2007月水费是27.5元.超出5 m3的局部每立方米收费多少元？解：设超出5 m3局部的水,每立方米收费设为x元,根据等量关系,得17.5 -1.5 5 27.5 —1.5 5 2 加、人士加 /曰n------------------ +5= ( ----------------------- +5) X-.解这个万程,得x=2.经检验x=2是所列方程的根.答：超出 5 m3局部的水,每立方米收费2元.六、链接中考x —2 4x 1例9.有一道题先化简,再求值：( ----- 十^——)得———,其中x = -J3. 小玲做题时把x 2 x —4 x —4'x = -J3〞错抄成了‘x =百〞,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？2x -八5 / x.2 4x 、 1 x .4x 4 4x , 2 ,、 2解：先化间：( ----------- 十二----- )〒二----- = --------- 2 ---------- ^(x — 4) = x +4, 由于x = J3 或x 2 x -4 x -4 x -4x=-石,x2的值均为3,原式的计算结果都是7,所以把‘x = -J3〞错抄成‘x = J3〞,计算结果也是正确的.例9.如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为 3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗非典〞第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？// •学校解：分析题目中的等量关系：王老师骑车速度=王老师步行速度M；厂.王老师家王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟. /设王老师步彳T速度为x km/h,那么骑自行车的速度为3xkm/h.依题意,得2父3+0.5 ="+型,解得x=5,经检验x=5是原方程的根,•小明家3x x 60这日3 3x=15.答：王老师步行速度为 5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h..例11我市受14号台风云娜〞的影响后,局部街道路面积水比拟严重.为了改善这一状况,市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.假设甲、乙两队合做需12天完成此项工程；假设甲队先做了8天后,剩下的由乙队单独做还需18天才能完工.问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又甲队每施工一天需要费用2万元,乙队每施工一天需要费用1万元,要使完成该工程所需费用不超过35万元,那么乙工程队至少要施工多少天？解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天.1 1 1——+ —=---- 『依题意得I工y12 解之得「二20,8 18 i y = 30.—+——=1・1「1 y经检验知它们适合方程组和题意.那么甲队每天施工1200及0=60m,乙队每天施工1200 T0=40m.设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天,b天.依题意得J 解之得b>35[2a+i<35.答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天,30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元, 那么乙工程队至少要施工15天.。