【步步高】2015届高考数学二轮复习 专题突破训练八 第2讲 坐标系与参数方程 理(含2014年高考真题)

第2讲 坐标系与参数方程错误！未找到引用源。

考情解读错误！未找到引用源。

高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．错误！未找到引用源。

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x x .2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．错误！未找到引用源。

立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________． 答案 432．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________． 答案 2 23．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积 S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A ．4π B ．3π C ．2π D.32π 答案 D4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系是________． 答案 相交5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交． ②直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．③直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)平面与平面①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)． ②平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[问题5] 已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b ，直线a ⊥c ”的________条件． 答案 充分不必要 6．空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|. ②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． ③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． (2)用空间向量求A 到平面α的距离： 可表示为d ＝|n ·AB →||n |.[问题6] (1)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________． 答案 (1)64 (2)24解析 (1)方法一 取A 1C 1的中点E ，连接AE ，B 1E ，如图． 由题意知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，则∠B 1AE 为AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角． 设正三棱柱侧棱长与底面边长为1， 则sin ∠B 1AE ＝B 1E AB 1＝322＝64.方法二 如图，以A 1C 1中点E 为原点建立空间直角坐标系E －xyz ，设棱长为1，则A ⎝⎛⎭⎫12，0，1，B 1⎝⎛⎭⎫0，32，0， 设AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，EB 1→为平面ACC 1A 1的法向量． 则sin θ＝|cos 〈AB 1→，EB 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12，32，－1·⎝⎛⎭⎫0，32，02×32＝64. (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24.易错点1 三视图认识不清致误例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80错解 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4. 所以表面积S ＝42×3＋2×4＋2×12(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80.找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.正解 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12 ＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.答案 C易错点2 对几何概念理解不透致误例2 给出下列四个命题：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)． 错解1 ①②③ 错解2 ②③④找准失分点 ①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直． 正解 ②③易错点3 对线面关系定理条件把握不准致误例3 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β； ⑤若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α. 其中正确的命题序号是________． 错解 ②③④⑤找准失分点③是错误的；⑤是错误的．正解①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.②正确．实质上是两平面平行的性质定理．③是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．④正确．利用线面平行的判定定理即可．⑤错误．从结论考虑，若n⊥α且m⊂α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．答案②④1．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．故选C.2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件答案 A解析当m⊂α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．64B ．72C ．80D ．112答案 B解析 根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，所以V ＝4×4×4＋2×13×(12·4·2)×3＝72，故选B.4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2＋ 2B ．3＋ 2C ．1＋2 2D ．5答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示． 该几何体的底面是边长为1的正方形，故S 1＝12＝1. 侧棱P A ⊥面ABCD ，且P A ＝1， 故S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，而PD ⊥DC ，CB ⊥PB ，且PB ＝PD ＝2， 所以S △PBC ＝S △PDC ＝12×2×1＝22.所以该几何体的表面积为S ＝1＋2×12＋2×22＝2＋ 2.故选A.6．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( ) A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， ∴∠PDA ＝45°，D 正确．7．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中正确的是________．(填序号) 答案 ①④解析 取线段BC 的中点E ，连接AE ，DE ， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE ， ∴BC ⊥平面ADE ， ∵AD ⊂平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，故①正确．设点O 为点A 在平面BCD 上的射影， 连接OB ，OC ，OD ， ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴OB ⊥CD ，OC ⊥BD ， ∴点O 为△BCD 的垂心， ∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，易知②③不正确，填①④.8.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．答案 π3解析 由∠ABC ＝∠DCB ＝π2知，BA →与CD →的夹角θ就是二面角A －BC －D 的平面角． 又AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝AB →2＋BC 2→＋CD →2＋2AB →·CD →.因此2AB →·CD →＝(23)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－12，且0<π－θ<π，则π－θ＝23π，故θ＝π3.9．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①④解析 对命题①，则l ⊥α，α∥β得，l ⊥β，m ⊂β，∴l⊥m，故①正确．对命题②，l⊥mD⇒/l⊥β，则l⊥mD⇒/α∥β，故②错误．对命题③，当α⊥β时，l与m也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故④正确．10．三棱锥D－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD的长为________．答案4 2解析由正(主)视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由侧(左)视图知CD＝4，BE＝23，在Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝(23)2＋22＝4，在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝4 2.故答案为4 2.。

第1讲排列.组合与二项式定理2•排列、组合、两个计数原理往往通过实际问 题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式 出现，难度中等，还经常与概率问题相结合， 出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也 为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在 选择题或填空题中，难度为易或中等.考情解读 1 •高考中对两个计数原理、排考情解手学2F知识梳理1 •分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2 •排列与组合⑴排列：从光个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个排歹•从〃个不同元素中取出加个元素的排列数公式是A = n{n - 1）（〃-2）…（〃+ 1）或写成n\（2）组合：从死个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个组 合•从〃个不同元素中取出加个元素的组合数公式是 咆d ・g+l ）或号成r -5 -」 /与秋5-应！（…）! • ⑶组合数的性质①etc ；严；②c^^c+cr 1. 3•二项式定理⑴二项式定理：(a + b)" = C%"沪 + C\a n ~lb + C%"叫2 + ••• + Gfl"~r b r + ••• + C"^b'\r = 0,1^, •••, n). (2)二项展开式的通项Tr +i = W, r = 0,U, •», n,其中 C ；叫做二项 式系数.11m\_ 亠and）二项式系数的性质①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等cm即eg, cjzzcr1,②最大值：当"为偶数时，中间的一项的二项式系数&取得最大值;当«为奇数时，中间的两项的二项式系数C二卅1C］相等，且同时取得最大值.+ 1 + •••③各二项◎丽分类突破＞热点一两个计数原理＞热点二排列与组合＞热点三二项式定理两个例1 (1)将1,2,3,…，9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大•当思维启迪先3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种—•O * "E解析•• •每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2X3=6种结果，故选A・答案A⑵如果一个三位正整数“a“J满足如＜^且如《2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275), 那么所有凸A.240B.204C.729D.920 思维启迪按中间数进行分类.解析分8类，当中间数为2时，有1X2=2种;当中间数为3时，有2X3=6种；当中间数为4时，有3X4 = 12 种；当中间数为5时，有4X5=20 种；当中间数为6时，有5X6=30 种；当中间数为7时，有6X7=42 种；（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到!■ 分类加法计数原理.（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当i 玄加练1选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则 不同的选法共有（）A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种 思或表(1)(201）有6名男医生、5名女医生，从中列出示意足这样条件的函数的个数为（A.8B.9C.26D.27ln(x 2+l)=l=»x=±A/e —1,ln(x 2+l)=2=>x=±\t 2--l,所以定义域取值即在这5个元素中选取,②当定义域中有4个元素时，C ；C]=4,③当定义域中有5个元素时，有一种情况. 所以共有4+4+1=9（个）这样的函数. 答案B数/仗2111（2 + 1）的值域为{0,1,2},则满 ①当定义域中有3个元素C ；C ；Cj=4, 解析I软诫汇排列与组合例2 （1）（2014 •重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168思维启迪将不能相邻的节目插空安排；—廿•: GW q「IT •解卞先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1, 小品2,相声” “小品1,相声，小品2”和“相声, 小品1,小品2"・对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2口相声丁 ,有A；CjA；=36（种）安排方法;同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“口小品1□相声□小品2□” ,有A圖=48（种）安排方法，故共有36+36+48=120（种）安排方法.答案B其中“1=(), “5 = 2, “]2 = 5,且％+ 1-加=1，R = l，2,3,…，11,则满足这种条件的不同数列的个数为（A.84B.168C.76D.152思维启迪⑵数列V\a k+x—a^ = l, jt = 1,2,3， (11)前一项总比后一项大1或小1,如到色中4个变化必然有3升1减，到如2中必然有5升2减，是组合的问题，AC1XC?=84. 答案A解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.⑵以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.变式训练2（1）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序〃和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A.24 种C.96 种B.48 种D.144 种首先安排4有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排C, 有4种排法，而C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有&种排法, 共有2X4X2XA；=96（种）.答案C(2)从0,1,23,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数________ (用数字作答).且为0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位一是当0在个位的四位偶数有A；=24(个);二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A]A提=36(个),故共有四位偶数60个.丰热点三二项式定理例3 (1)在(a+x)7展开式中『的系数为35,则实数a的值为 _____ •思维启迪利用通项公式求常数项;解析通项公式：77+i=C"-匕所以展开式中J的系数为C制=35,解得尸1・P)如果(1 +X +Z)(x 一“)5(“为实常数)的展开式中所有项 的系数和为0,则展开式中含0项的系数为—_・思维启迪可用赋值法求二项展开式所有项的系数和. 解析•・・令兀=1得(1+x +x 2)(x 一“)啲展开式中所有项 的系数和为(1 + 1 + 12)(1-«)5=0, •I “ = 1, (1 +x +x 2)(x —a)5=(1 +x +x 2)(x — l)5= (Z —1)仗一1)4=兀3仗一1)4一仗一1)4, 其展开式中含『项的系数为d(-l)3-C ；(-l)°=-5.(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：① 它表示二项展开式的任意项，只要死与厂确定， 该项就随之确定；② 7；+】是展开式中的第厂+1项，而不是第厂项； ③ 公式中，方的指数和为nRa, 〃不能随便颠 倒位置；思维升4④ 对二项式(a-by 展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2) 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 经典方法. 变式训练3(1)(2014•湖北诺二项式(2工+了的展开式中］的系数 是84,则实数a 等于()A.2思维升尹叱5»r二项式(2x+-)7的展开式的通项公式为T；+1 = G(2Q7 丁白JC 旷处7巳令7—2r=—3,得厂=5・故展开式中Z的系数是C?2V=84,解得a=l.X答案C—<«>/*«J r n(2)(2014-浙江)在(1 +x)6(l +刃4的展开式中，记严尸项的系数为几n, n),贝IJ/(3,O) +/(2,1) +/(1,2) + 力0,3)等于(。

第2讲 坐标系与参数方程(推荐时间：40分钟)1．(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为________． 答案 2 2解析 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 2．圆心为C (3，π6)，半径为3的圆的极坐标方程为________．答案 ρ＝6cos(θ－π6)解析 设极点为O ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，过OC 的直线与圆交于另一点O ′，直角三角形OMO ′中，ρ＝6cos|θ－π6|，即ρ＝6cos(θ－π6)．3．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 答案 (－33，－3)解析 点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 116π＝－3. 即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)．4．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线的极坐标方程为________．答案 ρsin θ＝2解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，所以所求的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2.5．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的倾斜角为________．答案 150°解析 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.6．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)化为普通方程为________________． 答案 x －3y －5＝0，x ∈[2,77]解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段．7．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 答案3解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3.8．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点(m ，12)，则m ＝________.答案 ±154解析 将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点(m ，12)代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.9．(2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.10．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 答案 2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝⎛⎭⎫－p 2，±6p ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．11．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________. 答案 ±2解析 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.12．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N ，则线段MN 的长为________． 答案 2解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3， ∴y 1＝0，y 2＝1.∴|MN |＝32＋1＝2.即线段MN 的长为2.13．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 答案 相离解析 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝22＝2>1.故直线与圆相离． 14．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为______________． 答案 (6－2，6＋2)解析 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. 15．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)C 1与C 2交点的极坐标为________；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，则a ，b 的值分别为________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4 (2)－1,2 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.。

页眉内容1．(2014·郑州质检)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1， C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)、半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点、焦点在x 轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2| ＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.2．(2014·石家庄质检二)已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin 2θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2＋2k π(k ∈Z )，(2，π＋2k π)(k ∈Z )．3．(2014·云南统检)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数)，当t ＝1时，曲线C 1上的点为A ，当t ＝－1时，曲线C 1上的点为B .以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝64＋5sin 2θ. (1)求A ，B 的极坐标；(2)设M 是曲线C 2上的动点，求|MA |2＋|MB |2的最大值．解：(1)当t ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，即A 的直角坐标为A (－1，3)；当t ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，即B 的直角坐标为B (1，－3)．∴A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B 的极坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3. (2)由ρ＝64＋5sin 2θ，得ρ2(4＋5sin 2θ)＝36， 曲线C 2的直角坐标方程为x 29＋y 24＝1.设曲线C 2上的动点M 的坐标为M (3cos α，2sin α)， 则|MA |2＋|MB |2＝10cos 2α＋16≤26， ∴|MA |2＋|MB |2的最大值为26.4．(2014·福建质检)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (0,1)，倾斜角为π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ2－4ρsin θ＝1.(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)依题意知，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)，由ρ2－4ρsin θ＝1，得x 2＋y 2－4y ＝1， 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)由(1)易知，l ：x －3y ＋3＝0，圆C ：x 2＋(y －2)2＝5， 所以圆心C (0,2)到直线l 的距离d ＝|0－23＋3|1＋3＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝17.5．(2014·贵阳检测)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ＞0)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点． (1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径．设所求最小距离为d ， 则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.6．(2014·东北四市高三联考)以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设过点P (2,0)，倾斜角为π6的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值．解：(1)由ρsin 2θ＝4cos θ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，得 t 2－83t －32＝0.则A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝83，t 1t 2＝－32. ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝85， ∴1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝54.7．(2014·包头水平测试)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，N 点满足OA →＝2OM →，N 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 3的极坐标方程是ρ＝2，正三角形ABC 的顶点都在C 3上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，设P 是C 2上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的取值范围．解：(1)设N (x ，y )，则由已知条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝3sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝6sin α，从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝6sin α(α为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫求出C 2的普通方程x 216＋y 236＝1亦可(2)由已知，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋4π3，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋4π3， 即A (3，1)，B (－3，1)，C (0，－2)．设P (4cos α，6sin α)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2，则S ＝60＋60sin 2α. 因为0≤sin 2α≤1，所以S 的取值范围是[60,120]．8．(2014·太原模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1. 设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4代入，得2＝2R ·22，解得R ＝1， ∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入，得 ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋sin 2θ16＋cos 2θ4＝516.。

第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________． 答案 3∶2解析 方法一 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC)2＝AD ·AB BD ·AB ＝ADBD.又AD ∶BD ＝9∶4， 所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二 因为AD ∶BD ＝9∶4， 所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ， 所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ， 所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD＝12，BE 的长为________． 答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且PA ＝4，PC ＝8，则tan∠ACD 和sin P 的值为________． 答案 12，35解析 连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝PA ·PB . 故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PCPB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B . 所以tan∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12. 因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10.所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三 圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin∠BAC ＝AD ·AE ，则sin∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·某某)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________． 答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD，设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·某某)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt△ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·某某)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析 在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE)2＝9. 押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a2解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a 2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt△ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·某某)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.3．(2014·某某改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·FA ， 故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE .∴AE BE ＝CE DE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BD AB， 即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·某某)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝PA ＝2QA ＝4.2．(2014·某某)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△APB ∽△CPA ，则AB CA ＝AP CP ，即AB8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________． 答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC PA ＝BC AD .∵PB PA ＝12，PC PD ＝13， ∴BC AD ＝66. 4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2， 所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为______． 答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.6．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析 由切割线定理可得PA 2＝PB ·PC ，即PC ＝PA 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3， 因为AC 是圆O 的直径， 所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12， 即AC ＝12＝23， 所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，PA ＝2，则AC 的长为________．答案2解析 ∵PA 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得PA 2＝PC ·PD . ∵PA ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形， ∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△PAC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则PA ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)， 即PD ＝2，由相交弦定理，得PA ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ，∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt△CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233. 15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°，AC ＝ADsin∠ACD ＝2，AB ＝ACsin∠ABC ＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。

坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)． 【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】 将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】 将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。