2021届高考数学一轮复习训练第3讲圆的方程

析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。

[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。

12B 。

1 C.32 D.522。

［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。

4B 。

8C 。

1+√332D 。

1+√333。

［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。

3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。

钝角三角形 D 。

不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。

空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2 ⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=m m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。

第3讲　椭圆、双曲线、抛物线[考情分析]　高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1　(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　D解析　椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2答案　B解析　方法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1　(1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案　C解析　方法一　因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．由|MF|＝x M＋＝5，得x M＝5－，即M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y轴相切于点(0,2)，从而2＝，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.方法二　由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知，得AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又因为p>0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.(2)已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )A．(6＋2，25] B．[9,25]C．(6＋2，20] D．[3,5]答案　A解析　椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2＝8－2.由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.①又点A在椭圆内，所以＋<1(m>4)，所以8m－16<m(m－4)(m>4)，解得m<6－2(舍)或m>6＋2.②由①②得6＋2<m≤25，故选A.考点二　圆锥曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．例2　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.答案　C解析　∵AF2＝2F2B，设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，∵AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝，在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2，整理得＝，∴e＝＝.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )A.B．4C．7D．8答案　B解析　由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，由图象可知|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，∴|MM′|＝|AB|，联立得x2－6x＋1＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.二级结论　抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)＋＝.跟踪演练2　(1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于( )A.B.C.D.答案　D解析　抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y＝±，可得|AB|＝，由△ABF为等边三角形，可得p＝·，即有＝，则e＝＝＝＝.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|等于( )A.B．1C．2D．3答案　B解析　如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋.∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2.∵＝2，∴|MF|＝|MA|，∴x0＝p.又∵点M(x0,2)在抛物线上，∴2p2＝8，又∵p>0，∴p＝2.∴|MA|＝2＝2，∴|AF|＝1.考点三　直线与圆锥曲线的位置关系核心提炼解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．例3　(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解　(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＋＝1.(2)设P(x P，y P)，Q(6，y Q)，根据对称性可设y Q>0，由题意知y P>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝y P，|BQ|＝.因为|BP|＝|BQ|，所以y P＝1.将y P＝1代入C的方程，解得x P＝3或－3.由直线BP的方程得y Q＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝；|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.综上，△APQ的面积为.规律方法　解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．跟踪演练3　(1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C 交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　B解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，| BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为( )A.B．1C.D.答案　D解析　假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝.专题强化练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为( )A. B.C. D.答案　C解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2B．3C．6D．9答案　C解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案　C解析　由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①又＋＝1，所以y＝b2，②由①②解得b2＝2.所以C的方程为＋＝1.4．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.C．2D.答案　A解析　如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.答案　C解析　如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知|HF1|＝|PF1|＝|MF1|，∵O是F1F2的中点，∴OH∥MF2，又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，∴|HF1|＝，直线PF1的方程是y＝(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝＝a，∴在△OHF1中，a2＋2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线答案　ACD解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b ＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．7．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )A．C的方程为－y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x－2－1经过C的一个焦点D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点答案　AC解析　因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝e x－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A．p＝4 B.DF＝FAC．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案　ABC解析　如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF ＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝| EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则DF＝FA，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴| BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案　(3，)解析　不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B 为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．答案　2解析　如图，A(a,0)．由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则k AB＝＝3，即b2＝3ac－3a2.又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．答案　解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝－，c＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝－，又离心率为2，即＝4，解得n＝1，m＝－，∴此双曲线的方程为y2－＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d＝＝.12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则AB·CD的值为________．答案　解析　易知AB·CD＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A，B，C，D，|AB|＝|CD|＝，所以AB·CD＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k，由可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则AB·CD＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，AB·CD＝.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．(1)解　由题意可得解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)，联立得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.所以直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，易知直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.因为点F到直线GB的距离d＝＝＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。

高中数学一轮(y ī l ún)复习资料第十五章 解析几何(ji ě x ī j ǐh é)第三节 圆的HY 方程(f āngch éng)和一般方程A 组1．假设圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公一共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，假设圆与两坐标无公一共点，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2. 2．假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，那么该圆的HY 方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或者x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2021年调研)D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案：π4．(2021年高考宁夏、卷改编)圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，那么圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，假设∠APB ＝90°，那么实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的间隔 等于半径的22倍．由于圆的HY 方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3.6．点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足(mǎnzú)|P A |＝2|PB |.(1)假设(jiǎshè)点P 的轨迹(guǐjì)为曲线C ，求此曲线(qūxiàn)的方程；(2)假设点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公一共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图那么直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，那么|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公一共点为M 1，M 2，易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或者y ＝－4.B 组1．(2021年质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，那么圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的HY 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2021年调研)假设直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，那么以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2021年高考卷改编(gǎibiān))点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点(yī diǎn)连线的中点轨迹方程是________________．解析(jiě xī)：设圆上任一点(yī diǎn)坐标为(x 0，y 0)，那么x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，那么a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为20 6.6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，那么△ABP的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝25，∴半径r＝ 5.而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，那么PO的取值范围是______．解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－12)2＋(|y|－12)2＝12.所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2021年质检)曲线f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析(jiě xī)：曲线(qūxiàn)f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线(qiēxiàn)l方程(fāngchéng)为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x－12)2＋(y＋12)2＝12.答案：(x－12)2＋(y＋12)2＝129．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，假设对满足条件的x 、y ，不等式y x －3＋c ≥0恒成立，那么c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤y x －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34. 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)假设⊙E 与直线CD 相切，务实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，假设存在？求出⊙E 的HY 方程；假设不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a . 由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的间隔 为3 2.又圆心E 到直线CD 间隔 为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a 2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的HY 方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt △ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 间隔 的平方和的最大值和最小值．解：如下(rúxià)图，以O 为原点，OA 所在(suǒzài)直线为x 轴，OB 所在(suǒzài)直线为y 轴，建立(jiànlì)直角坐标系xOy ，那么A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的间隔 的平方和为d ，那么d ＝P A 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x .∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)务实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否那么，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以(suǒyǐ)b 的取值范围(fànwéi)是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程(fāngchéng)x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是(yúshì)，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，或者⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上， 因此，圆C 过定点． 内容总结。

2021届高考数学一轮知能训练：第一章第3讲充分条件与必要条件含解析第3讲充分条件与必要条件1．（2015年天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0"的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2016年四川)设p：实数x，y满足x〉1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y〉2，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2017年浙江）已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2015年福建)若l，m是两条不同的直线,m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2019年浙江)若a〉0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（2017年安徽淮北一中）“a2＝1”是“函数f（x）＝ln(1＋ax）－ln（1＋x)为奇函数”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件7．（2019年北京）设函数f（x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b ＝0"是“f(x）为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2018年福建福州八县一中期中联考)下列说法正确的是（)A．“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的充分不必要条件B．若a∈R，则“错误!<1”是“a〉1”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋3〈0”的否定是“∀x∈R,x2＋2x ＋3〉0”D．命题p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤2”，则p是真命题9．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r 的必要条件,q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④p是s的必要不充分条件;⑤r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤10．（多选)下列说法正确的有（）A．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0"的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”B．对于命题p:“∃x≤1，x2－3x＋2≥0”，则p为“∀x〉1，x2－3x＋2〈0”C．“a〈b”是“ac2〈bc2”的必要不充分条件D．“m<2”是“sin x＋错误!>m对x∈错误!成立”的充分不必要条件11．（多选）下列叙述中不正确的是(）A．若a，b,c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0"的充要条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b,c∈R，则“ab2〉cb2”的充要条件是“a>c”C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a〉1”是“错误!<1"的充分不必要条件12．设命题p：|4x－3｜≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1）≤0，若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．A解析：|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1.∴“|x－2|＜1"是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．故选A.2．A3．C解析:由S4＋S6－2S5＝10a1＋21d－2（5a1＋10d)＝d,可知当d〉0,则S4＋S6－2S5〉0，即S4＋S6>2S5；反之，S4＋S6〉2S5⇒d〉0,∴为充要条件，选C。

[基础题组练]1．已知圆C 的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析：选C.根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16.2．(2020·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选C.3．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．4．(2020·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A.设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．解析：已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆． 答案：(－2，－4) 57．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为 ． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝208．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆C 的方程是 ． 解析：设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1，0)，由点A ，C 关于x ＋y －1＝0对称得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＋1×（－1）＝－1，a －12＋b 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1， 即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0 9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．(应用型)已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为 ．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝52．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是 ．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 53．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.4．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0，4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋（2a －4）2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2，4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (b ，2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0，4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.。

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

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第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x ＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一（直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。

法二（数形结合法）画图可得，故选C.答案C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（）．A．[－3,－1］B．［－1,3]C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）解析由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案C3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）．A．－3错误!B．－3 C．3 D．3错误!解析易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。