高一数学课间练习(36)

2024-2025学年高一上数学课时作业36换底公式基础强化1.化简log 464的值为()A ．1B ．2C ．3D ．42．化简式子(18)13－log 32×log 427＋20230＝()A ．0B ．32C ．－1D ．123．已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 1815＝()A ．a ＋b 1－a 2B ．a ＋b 1＋2a C ．－a ＋b －1D ．a ＋b －14．若log 23×log 36m ×log 96＝12，则实数m 的值为()A ．4B ．6C ．9D ．125．(多选)已知a ，b 均为不等于1的正数，则下列选项中与log a b 相等的有()A ．1log b aB ．lg a lg b C ．log b a D ．log an b n6．(多选)已知2a ＝5b ＝m ，现有下面四个命题中正确的是()A ．若a ＝b ，则m ＝1B ．若m ＝10，则1a ＋1b＝1C ．若a ＝b ，则m ＝10D ．若m ＝10，则1a ＋1b ＝127．已知实数a ，b >0，且log a 2＝log b 3＝π，则log 3a ·log 2b ＝________．8．设32x ＝5，25y ＝16，则xy ＝________．9．(1)求(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92)的值；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498.10．设x a ＝y b ＝z c (x ，y ，z >0)，且1a ＋1b ＝1c，求证：z ＝xy .能力提升11.若log a b ＝log b a (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，且a ≠b )，则ab ＝()A ．1B ．2C ．14D ．412．已知log 189＝a ，18b ＝5，则log 4581＝()A ．－a a ＋bB ．2－aabC ．2aa ＋b D ．2－a a ＋b13．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量M ＝4π2R 3GT 2(kg).已知lg 2≈0.3，lg π≈0.5，lgR 3GT 2≈28.7，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为()A ．2×1030kg B ．2×1029kg C ．3×1030kg D ．3×1029kg14．(多选)已知a ＝log 25，b ＝log 35，则()A ．1a <1bB ．a ＋b <3C ．ab <a ＋bD ．ab >215.把满足log 23×log 34×…×log n ＋1(n ＋2)，n ∈N *为整数的n 叫做“贺数”，则在区间(1，50)内所有“贺数”的个数是________．16．设α，β是方程lg 2x －lg x －3＝0的两根，求log αβ＋log βα的值．答案解析1．解析：log 464＝log 264log 24＝log 226log 222＝62＝3.故选C.答案：C2．解析：原式＝12－lg 2lg 3×3lg 32lg 2＋1＝0.故选A.答案：A3．解析：log 1815＝log 215log 218＝log 23＋log 251＋2log 23＝a ＋b1＋2a.故选B.答案：B4．解析：∵log 23×log 36m ×log 96＝lg 3lg 2×lg m lg 36×lg 6lg 9＝lg 3lg 2×lg m 2lg 6×lg 62lg 3＝lg m 4lg 2＝14log 2m ＝12，∴log 2m ＝2，∴m ＝4.故选A.答案：A5．解析：1log b a ＝log a b ，lg a lg b＝log b a ，log b a ＝log b a ，log an b n＝log a b .故选AD.答案：AD6．解析：当a ＝b 时，由2a ＝5b ＝m ，可得(25)a ＝1，则a ＝0，此时m ＝1，所以A 正确，C 错误；当m ＝10时，由2a ＝5b＝m ，可得a ＝log 210，b ＝log 510，则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝1，所以B 正确，D 错误．故选AB.答案：AB 7．解析：因为实数a ，b >0，且log a 2＝log b 3＝π，所以，由换底公式可得，log 3a ·log 2b ＝lg a lg 3·lg b lg 2＝lg a lg 2·lg b lg 3＝1log a 2·1log b 3＝1π2.答案：1π28．解析：因为32x ＝5，25y ＝16，所以x ＝log 325，y ＝log 2516，则xy ＝log 325×log 2516＝15log 25×42log 52＝25×lg 5lg 2×lg 2lg 5＝25.答案：259．解析：(1)(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝(2log 223＋log 233)(log 32＋log 322)＝(22log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32)＝43log 23·32log 32＝2lg 3lg 2·lg 2lg 3＝2.(2)∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b .10．证明：设x a ＝y b ＝z c＝k ，k >0，则a ＝log x k ，b ＝log y k ，c ＝log z k .因为1a ＋1b ＝1c ，所以1log x k ＋1log y k ＝1log z k ，即log k x ＋log k y ＝log k z .所以log k (xy )＝log k z ，即z ＝xy .11．解析：因为log a b ＝log b a ，所以lg b lg a ＝lg a lg b，即lg 2a ＝lg 2b ，所以(lg a ＋lg b )(lga －lgb )＝lg ab lg a b ＝0，故ab ＝1或ab＝1(舍去)，故选A.答案：A12．解析：由log 189＝a ，18b＝5，所以a ＝log 189，b ＝log 185，所以log 4581＝log 1881log 1845＝2log 189log 189＋log 185＝2aa ＋b.故选C.答案：C13．解析：因为lg 2≈0.3，lg π≈0.5，lg R 3GT 2≈28.7，所以由M ＝4π2R3GT2得：lg M ＝lg (4π2R 3GT 2)＝lg 4＋lg π2＋lg R 3GT2＝2lg 2＋2lg π＋lg R 3GT 2≈2×0.3＋2×0.5＋28.7＝30.3，即lg M ≈30.3⇒M ≈1030.3＝1030＋0.3＝100.3×1030，又lg 2≈0.3⇒100.3≈2，所以M ≈2×1030kg.故选A.答案：A14．解析：因为a ＝log 25，b ＝log 35，则1a －1b ＝log 52－log 53＝log 523<log 51＝0，所以1a <1b，故选项A 判断正确；因为a ＝log 25>2，b ＝log 35>1，所以a ＋b >3，故选项B 判断错误；因为1a ＋1b＝log 56>1，又a ＝log 25>0，b ＝log 35>0，所以ab <a ＋b ，故选项C 正确；因为a ＝log 25>2，b ＝log 35>1，则ab >2，故选项D 判断正确．故选ACD.答案：ACD15．解析：因为log 23×log 34×…×log n ＋1(n ＋2)＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg （n ＋2）lg （n ＋1）＝lg （n ＋2）lg 2＝log 2(n ＋2)，又log 24＝2，log 28＝3，log 216＝4，log 232＝5，log 264＝6，…，所以当n ＋2＝4，8，16，32时，log 2(n ＋2)为整数，所以在区间(1，50)内“贺数”的个数是4.答案：416．解析：由题意lg α，lg β是关于lg x 的一元二次方程lg 2x －lg x －3＝0的两根，根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，所以log αβ＋log βα＝lg βlg α＋lg αlg β＝（lg β）2＋（lg α）2lg αlg β＝（lg β＋lg α）2－2lg αlg βlg αlg β＝－73.。

第36讲空间几何体内接棱锥体积最大及与球有关截面问题【题型目录】题型一：球的内接棱锥体积最大值问题题型二：球中有关截面交线问题【典型例题】题型一：球的内接棱锥体积最大值问题【例1】四面体ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，且6AB BC AC ===，若该球的表面积为64π，则四面体ABCD 体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．O 为四面体ABCD 外接球球心，设面ABC 上的高为h ，所以又因为在h DO OO '≤+所以max h DO OO '=+=所以四面体ABCD 体积的最大值为【例2】已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.【例3】若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，三棱锥S ABC -的体积为2，则三棱锥S ABC -的外接球的体积为（）A ．43πB ．163πC ．263πD ．323π【答案】D【分析】根据给定条件，求出ABC 外接圆直径，结合锥体体积公式及球面的性质求出球半径即可计算作答.【详解】如图，设ABC 的中心为1O ，连接1OO ，1CO 的延长线交球面于点D ，连SD ，显然CD 是ABC 外接圆1O 的直径，则/SD 因正ABC 边长为3，则13CO =，2CD =而1193333342S ABC ABC V S SD SD -=⋅=⨯=，解得在Rt SCD 中，球O 的直径22R SC SD ==所以三棱锥S ABC -的外接球的体积为V =故选：D【例4】球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD 的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为______．【答案】43【分析】设球O 的半径为r ，利用正四面体的性质可得运算及数量积的运算律可得2P PM P O N ⋅= 【详解】设球O 的半径为r ，由题可知正四面体所以2213132642234343r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得66r =，【题型专练】1．已知三棱锥A BCD-的外接球的体积为5003π，BCD△是边长为A BCD-体积的最大值为（）A．B．2C D．22．已知三棱锥-P ABC的顶点都在球O的球面上，2,120AB BC ABC==∠=︒，若三棱锥-P ABC的体积最大值为2，则球O的半径为（）A B．3C．3D．33.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．点M 为三角形ABC 的中心，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥此时，OD OB R 4===23934ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心4．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为6，体积为A ，B ，C 三点均在以S 为球心的球S 的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥-P ABC 体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．题型二：球中有关截面交线问题【例1】如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（）。

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1.天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若成绩低于60分的人数是180，则考试成绩在区间[60,80)内的人数是( )A．180B．240C．280D．3202.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )A．某学术厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1∼40，有一次报告会学术厅里坐满了观众，报告会结束以后听取观众的意见，要留下32名观众进行座谈B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检验C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解大家对学校机构改革的意见，要从中抽取容量为20的样本D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量4.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数B．平均数C．方差D．极差5.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，⋯，[5.45,5.47]，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A．10B．18C．20D．366.10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a7.某班由编号为01，02，03，⋯，50的50名学生组成，现在要选取8名学生参加合唱团，选取方法是从如下随机数表的第1行第11列开始由左到右依次选取两个数字，则该样本中选出的第8名学生的编号为( )495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877044767217633502583921206764954A．20B．23C．26D．348.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩（单位：分）分别为66，83，87，83，77，96．关于这组数据，下列说法错误的是( )A．众数是83B．中位数是83C．极差是30D．平均数是839.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,610.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为( )A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题）11.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为 1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是（米）．12.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是．13.校本课程的学分，统计如表．甲811141522乙67102324用s12，s22分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差，得s22=，并由此可判断成绩更稳定的班级是班．14.众数、中位数、平均数（1）众数、中位数、平均数的概念．①众数：在一组数据中，出现最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据）叫这组数据的众数．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．③平均数：指样本数据的算术平均数．即：x=．（2）众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系．众数众数是最高矩形的 所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图 相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．16.一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车甲轿车乙轿车丙舒适型100120z标准型300480600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则z的值为，抽取的50辆车中，乙类舒适型的数量为．三、解答题（共6题）17.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3:2:5:2:3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．18.作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受啊目，2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长17.4%，下面给出的是通州区2011∼2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%．(1) 在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；(2) 从2011∼2017这7年中随机选取续的2年份，求后一年份增长率高于前一年份增长率的概率；(3) 设2011∼2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较x0与x的大小（写出结论即可）．19.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．(1) 求这次测试数学成绩的众数； (2) 求这次测试数学成绩的中位数．20. 某公交公司为了估计某线路公交公司发车的时间间隔，对乘客在这条线路上的某个公交车站等车的时间进行了调查，以下是在该站乘客候车时间的部分记录：等待时间(分钟)频数频率[0,3) 0.2[3,6) 0.4[6,9)5x [9,12)2y [12,15) 0.05合计z 1 (1) 求 x ，y ，z ；(2) 画出频率分布直方图及频率分布折线图； (3) 计算乘客平均等待时间的估计值．21. 某校从高一全体男生中用简单随机抽样抽取了 20 人测量出体重情况如下：（单位 kg ）6556708266725486706258726460767280685866试估计该校高一男生的平均体重，以及体重在 60∼75 kg 之间的人数所占比例．22. 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】频率分布直方图2. 【答案】D，面积表示频率．【解析】频率分布直方图中小长方形的高是频率组距【知识点】频率分布直方图3. 【答案】B【知识点】简单随机抽样4. 【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．【知识点】样本数据的数字特征5. 【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25+5.00)×0.02=0.225，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80×0.225=18．【知识点】频率分布直方图6. 【答案】D=14.7，【解析】依题意，得a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710中位数b=15，众数c=17，故c>b>a．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】D【解析】从样本中选出来的8名学生的编号分别为17，37，23，30，35，20，26，34．故该样本中选出的第8名学生的编号为34．【知识点】简单随机抽样8. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征9. 【答案】D【解析】高级职称应抽取：160×40800=8（人），中级职称应抽取：320×40800=16（人），初级职称应抽取：200×40800=10（人），其余人员：120×40800=6（人）．【知识点】分层抽样10. 【答案】C【解析】由频率分布直方图可知：5×(0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06)=1，解得：a=0.03，即在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生数之比为：4:3:1，则从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为38×8=3．【知识点】分层抽样、频率分布直方图二、填空题（共6题）11. 【答案】1.72【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】33【解析】数学成绩在(80,100)之间的学生人数是(520+620)×60=33．【知识点】频率分布直方图13. 【答案】62；甲【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】次数；最中间；1n(x1+x2+⋯+x n)；中点；面积【知识点】样本数据的数字特征15. 【答案】15【解析】高二年级学生人数占总数的310，样本容量为50，则应从高二年级抽取的学生人数为50×310=15．【知识点】分层抽样16. 【答案】400；3【解析】由题意知抽样比为10100+300=140，则50100+300+120+480+z+600=140，解得z=400．可得甲，乙，丙三类车数量的比例为2:3:5，则乙类车抽到的数量为310×50=15，乙类车中，舒适型与标准型的数量比为1:4，所以舒适型的数量为15×15=3．【知识点】分层抽样三、解答题（共6题）17. 【答案】因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：（1）将3万人分成5层，一个乡镇为一层．（2）按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：300×315=60( 人)，300×215=40(人)，300×515=100( 人)，300×215=40( 人)，300×315=60( 人)．各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60．（3）将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．【知识点】分层抽样18. 【答案】(1) 由题意在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图，如图．(2) 从2011∼2017这7年里，随机选取连续的2个年份，共6组，分别为：(2011,2012)，(2012,2013)，(2013,2014)，(2014,2015)，(2015,2016)，(2016,2017)，设事件A表示“随机选取续的2年份，后一年份增长率高于前一年份增长率”，则事件A包含的基本事件有2个，分别为：(2011,2012)，(2015,2016)，所以随机选取续的2年份，后一年份增长率高于前一年份增长率的概率P(A)=26=13．(3) x0<x．【知识点】频率与频数、样本数据的数字特征、频率分布直方图19. 【答案】(1) 由题干图知众数为70+802=75．(2) 由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3+0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1=0.03(x−70)，所以x≈73.3，即中位数为73.3．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征20. 【答案】(1) 由上面表格得0.2+0.4+x+y+0.05=1即x+y=0.35，又52=xy，所以x=0.25，y=0.1．又5z=x=0.25，所以z=20(2) 根据上一问做出的数据画出频率分步直方图．(3) 由频率分步直方图可以知道x=1.5×0.2+4.5×0.4+7.5×0.25+10.5×0.1+13.5×0.05=5.7，即乘客平均等待时间的估计值是5.7．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、频率与频数21. 【答案】这20名男生的平均体重为65+56+70+⋯+68+58+6620=67.85(kg)．20名男生中体重在60∼75kg之间的人数为12，故这20名男生体重在60∼75kg之间的人数所占比例为1220=0.6．所以佔计该校高一男生的平均体重约为67.85kg，体重在60∼75kg之间的人数所占比例约为0.6．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．【知识点】样本数据的数字特征。

第36课平面向量的数量积(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P81习题2改编)已知向量a与向量b的夹角为30°，|a|=2，|b3a和向量b的数量积a·b=.【答案】3【解析】a·b33=3.2.(必修4P88练习4改编)已知向量a=(1，-1)，b=(2，x).若a·b=1，则实数x=. 【答案】1【解析】因为a·b=2-x=1，所以x=1.3.(必修4P89习题2改编)已知向量a，b的夹角为120°，a=1，b=3，那么5-a b=.【答案】7【解析】先求5-a b的平方，再开方.4.(必修4P88练习4改编)已知向量a=(1，2)，b=(x，4)，且a·b=10，则|a-b|=.5【解析】因为a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，所以|a-b5 5.(必修4P81习题13改编)若|a|=2，|b|=4，且(a+b)⊥a，则a与b的夹角为.【答案】2π3【解析】设a与b的夹角为θ.因为(a+b)⊥a，所以(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.因为cosθ=2-||||aa b=-424⨯=-12，所以θ=2π3.1.两个向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=|a||b|cos θ，其中|b|·cos θ称为向量b在a方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量，θ是a与b的夹角.(1)若a与b同向，则a·b=|a||b|；若a与b反向，则a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2.(2)a·b=0⇔a⊥b.(3)cos θ=||||⋅a ba b.3.数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b=a·(λb).(3)分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.【要点导学】要点导学各个击破利用向量的数量积求向量的模和夹角例1(1)(2016·苏北四市期中)已知a=1，b =2，a+b=(1，2)，那么向量a，b的夹角为.(2)设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1+7e2与向量e1+t e2的夹角为钝角，某某数t的取值X围.【思维引导】模长和夹角是数量积的两个要素，解题时要充分关注它们之间的转化.(1)【答案】2π3【解析】设向量a与b的夹角为θ，则由题知(a+b)2=a2+b2+2a·b=1+4+2a·b=3，所以a·b=|a|·|b|·cos θ=-1，所以cos θ=-12，由θ∈[0，π]，知θ=2π3.(2)【解答】由题意知(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0，所以2t21e+(2t2+7)e1·e2+7t22e<0.又因为|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，所以e1·e2=2×1×cos 60°=1，所以2t×22+(2t2+7)+7t<0，即2t2+15t+7<0，解得-7<t<-1 2.又当2t e1+7e2与e1+t e2共线时，21t=7t，解得t=-142(正根舍去).所以实数t的取值X围是(-7，-142)∪(-142，-12).【精要点评】第(1)题利用向量的数量积公式和向量夹角的X围求得；第(2)题一定要关注共线时的情况，因为(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0反映的是夹角为钝角或平角.变式(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角为.(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为.(3)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1·b2=.(1)【答案】π4【解析】2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)，设向量2a+b与a-b的夹角为θ，则cos θ=(2)(-)|2||-|+⋅+a b a ba b a b=323⨯=22，故夹角为π4.(2)【答案】1【解析】因为向量a，b，c都是单位向量，所以a2=1，b2=1，c2=1，由a·b=0，及(a-c)·(b-c)≤0，可知(a+b)·c≥c2=1.因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c，所以|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)≤1，故|a+b-c|≤1.(3)【答案】-6【解析】由题设知|e1|=|e2|=1，且e1·e2=1 2，所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=321e-2e1·e2-822e=3-2×12-8=-6.例2 设向量a=(1+cos x，1+sin x)，b=(1，0)，c=(1，2).(1)求证：(a-b)⊥(a-c)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值.【思维引导】(1)要证(a-b)⊥(a-c)，只需证(a-b)·(a-c)=0，可以计算(a-b)·(a-c)；(2)要求|a|的最大值，可以求出|a|的表达式，通过求函数(三角函数)的最值进行. 【解答】(1)因为a-b=(cos x，1+sin x)，a-c=(cos x，sin x-1)，(a-b)·(a -c)=(cos x，1+sin x)·(cos x ，sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0. 所以(a-b)⊥(a -c).(2)|a|=22 (1cos)(1sin)x x+++=32(sin cos)x x ++=π322sin4x⎛⎫++⎪⎝⎭≤ 322+=2+1.当sinπ4x⎛⎫+⎪⎝⎭=1，即x=π4+2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值2+1.向量数量积的应用微课10● 典型示例例3(2015·某某、某某、宿迁三检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为线段OP，OQ的中点，A为PQ上任意一点，则AM·AN的取值X围是.(例3)【思维导图】【答案】3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(例3(1))【规X解答】方法一：如图(1)，以点O为坐标原点，OQ所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M13-2⎛⎝⎭，，N(1，0)，由题意可设点A(2cos θ，2sin θ)，其中0≤θ≤2π3，所以AM =13--2cos2ANθθ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，=(1-2cos θ，-2sin θ)，所以AM·AN=1--2cos2θ⎛⎫⎪⎝⎭(1-2cos θ)+3θ⎫⎪⎪⎝⎭(-2sin θ)=72-cos θ3θ=72-2cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0≤θ≤2π3，因为0≤θ≤2π3，所以-π3≤θ-π3≤π3，所以12≤cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭≤1，-2≤-2cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭≤-1，32≤72-2cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭≤52，即AM·AN的取值X围是3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(例3(2))方法二：如图(2)，连接OA，设∠AOQ=α，∠AOP=2π3-α，其中0≤θ≤2π3，AM·AN=(OM-OA)·(ON -OA)=OM·ON -OA·OM-OA ·ON+2OA=1×1×cos 2π3-2cos α-2cos2π-3α⎛⎫⎪⎝⎭+4=72-2cos α-22π2πcos cos sin sin33αα⎛⎫+⎪⎝⎭=72-cos α372-2cosπ-3α⎛⎫⎪⎝⎭，其中0≤α≤2π3，因为0≤α≤2π3，所以-π3≤α-π3≤π3，所以-12≤cosπ-3α⎛⎫⎪⎝⎭≤1，-2≤-2cosπ-3α⎛⎫⎪⎝⎭≤-1，32≤72-2cosπ-3α⎛⎫⎪⎝⎭≤52，即AM ·AN的取值X围是3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【精要点评】对于求平面向量数量积的问题，常规思路要么通过建立平面直角坐标系求解，要么是利用平面向量内的同一组基底来求解，一般地，对于特殊的图形往往通过前者求解.● 总结归纳解决此类问题的知识点有：(1)选择适当的两向量作为基底——利用平面向量基本定理把题中所有向量用基底表示——用向量的数量积公式(基底一般选择长度已知的向量、互相垂直的向量、夹角已知的向量)；(2)建立平面直角坐标系——写出所有点的坐标——代入数量积的坐标公式求解，图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系.● 题组强化1.(2015·某某卷)已知向量OA⊥AB，|OA|=3，则OA ·OB =.【答案】9【解析】根据题意作出图形，如图所示.设向量OAOB，的夹角为θ，(第1题)则OA ·OB=|OA||OB|cos θ.因为OA⊥AB，所以|OB|cos θ=|OA |，所以OA·OB=|OA|2=9.2.(2015·某某三模)在△ABC中，若∠ABC=120°，BA =2，BC =3，D ，E是线段AC的三等分点，则BD·BE=.【答案】119【解析】由题意得BD·BE=(BA+AD)·(BC+CE)=13BA AC⎛⎫+⎪⎝⎭·13BC CA⎛⎫+⎪⎝⎭=1(-)3BA BC BA⎡⎤+⎢⎥⎣⎦·1(-)3BC BA BC⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=(13BC+23BA)·(23BC+13BA)=229BC+59BC·BA+229BA=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119.3.已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若AO=x ·AB +y·AC 且2x+10y=5，则cos∠BAC=. 【答案】13【解析】由题设知AC·AO=x AB·AC+y2AC，因为O是△ABC的外心，所以AC·AO=212AC，所以12×102=x·6·10cos∠BAC+y·102.又因为2x+10y=5，所以10y=5-2x，所以50=60xcos∠BAC+10(5-2x)，所以cos∠BAC=1 3.4.(2015·某某、某某、某某、某某三调)如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作圆交AD于点F.若P为劣弧EF上的动点，求PC·PD的最小值.(第4题)【解答】方法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，2)，C(2，2)，设P(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π2，则PC·PD=(-cos θ，2-sin θ)·(2-cos θ，2-sin θ)=5-2cos θ-4sin θ=5-25sin(θ+φ)≥5-25.方法二：设∠PAB=θ，PC·PD=(AD-AP)·(AB-AP+BC)=-2AD·AP+4-AP·AB+1=5-2cos θ-4sin θ(下同法一).1.若单位向量a与b的夹角为π3，则-a b=.【答案】1【解析】由题设知|a|=|b|=1，所以-a b22-2⋅+a ab b2.已知向量a与b的夹角为60°，且a=(-2，-6)，|b10，则a·b=. 【答案】10【解析】由题意得|a|=210，设向量a与b的夹角为θ，所以a·b=|a||b|cosθ=210×10×12=10.3.(2015·某某卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BD·CD=.【答案】32a2【解析】因为BD·CD =BD·BA=(BA+BC)·BA=2BA+BC·BA=a2+a2cos60°=32a2.4.(2015·宿迁一模)如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量AM=14AB+m AC，且AM的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则AM·BM的取值X围是.(第4题)【答案】(-2，6)【解析】以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，从而直线AD的方程为y=x，直线BC的方程为y=-x+4.由AM=14AB+m AC得M(1，4m).因为点M在△ACD的内部，所以1-40144mm<⎧⎨+<⎩，，解得14<m<34.又因为AM·BM=(1，4m)·(-3，4m)=16m2-3，所以AM·BM∈(-2，6).5.已知向量OA=(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB=(-sin β，cos β)，其中O为坐标原点.(1)若α-β=π6且λ=1，求向量OA与OB的夹角；(2)若|BA|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，某某数λ的取值X围. 【解答】(1)当λ=1时，OA=(cos α，sin α)，故|OA|=22cos sinαα+=1，|OB|=22(-sin)cosββ+=1.又OA·OB=cos α ·(-sin β)+sin αcos β=sin(α-β)=sin π6=12，设向量OA与OB的夹角为θ，所以cos θ=·||||OA OBOA OB=12.因为θ∈[0，π]，所以θ=π3.(2)BA=OA-OB=(λcos α+sin β，λsin α-cos β)，由|BA|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，即(λcos α+sin β)2+(λsin α-cos β)2≥4对任意实数α，β都成立. 整理得λ2+1+2λsin(β-α)≥4对任意实数α，β都成立.因为-1≤sin(β-α)≤1，所以21-24λλλ>⎧⎨+≥⎩，或2124λλλ<⎧⎨++≥⎩，，解得λ≥3或λ≤-3.所以实数λ的取值X围为(-∞，-3]∪[3，+∞).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第71~72页.【检测与评估】第36课平面向量的数量积一、填空题1.在平面直角坐标系x O y中，A(1，0)，函数y=e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e x图象上的任意一点，则OP·AB的最小值为.2.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，a，b之间的夹角为60°，那么a·(a+b)=.3.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=t a+(1-t)b.若b·c=0，则实数t=.4.(2015·某某卷)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6，|AD|=4.若点M，N满足BM=3MC DN，=2NC，则AM·NM=.5.(2015·某某调查)如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点，Q是线段AP 上靠近点A的三等分点，且AQ·AB=4，则BQ·BP=.(第5题)6.(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，2AD=1，且MA·MB=-16，则AB·AD=.(第6题)7.(2015·某某期末)如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC 上，且AB=2AD AC，=3AE，F为DE的中点，则BF·DE的值为.(第7题)8.(2015·某某卷)若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为.二、解答题9.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2.(1)求|a+b|；(2)求|3a-4b|；(3)求(a-2b)·(a+b).10.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a=3e1-2e2，b=2e1-3e2.(1)求a·b；(2)求a+b与a-b的夹角.11.已知向量a =33cos sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，，b =（cos 2θ，-sin 2θ），且θ∈π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(1)求||⋅+a ba b 的最值；(2)是否存在实数k ，使得|k a +ba -kb |?三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·某某卷)已知AB ⊥AC ，|AB |=1t ，|AC |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =||AB AB +4||ACAC ，则PB ·PC 的最大值为.13.(2015·某某卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE =λBC DF ，=19DCλ，则AE ·AF 的最小值为.【检测与评估答案】第36课平面向量的数量积1. 1【解析】由题意得B (0，1)，设P (x ，e x)，则AB =(-1，1)，OP =(x ，e x)，所以OP ·AB =-x+e x ，令f (x )=e x -x ，则f'(x )=e x -1，令f'(x )=0，得x=0，求得最小值为f (0)=1.2.52【解析】a ·(a +b )=a 2+a ·b =1+|a ||b |cos60°=1+1×3×12=52.3. 2【解析】由b ·c =0，得b ·[t a +(1-t )b ]=0，即t ab +(1-t )b 2=0，所以2t+1-t=0，解得t=2.4.9【解析】AM =AB +34AD NM，=CM -CN =-14AD +13AB ，所以AM ·NM =14(4AB +3AD )·112(4AB -3AD )=148(162AB -92AD )=148×(16×36-9×16)=9.5.24【解析】因为AQ ·AB =13AP ·(AP +PB )=213AP =4，所以2AP =12，因此BQ ·BP =(BP +PQ )·BP =2BP =2AB -2AP =36-12=24.6.34【解析】由题知AM =23AE =2132AD AB ⎛⎫+⎪⎝⎭=23AD +13AB MB ，=23DB =23(AB -AD )，所以AM ·MB =2133AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·23(AB -AD )=16，所以AB ·AD =34.7.4【解析】方法一：记AB AC ，方向上的单位向量分别为a ，b ，则a 2=b 2=1，a ·b =12AB，=4a ，AC =6b ，从而AD =2a ，AE =2b ，AF =12(AD +AE )=a +b ，BF =AF -AB =b -3a ，DE =AE -AD =2b -2a ，所以BF ·DE =(b -3a )·(2b -2a )=2b 2+6a 2-8a ·b =2+6-4=4.方法二：取CE 的中点G ，连接BG ，设BG 的中点为M ，连接FM ，则BM =DE ，且FM ⊥BM ，所以BF ·BM =2BM =BM 2=DE 2=22=4.方法三：若对坐标法情有独钟，也可以以A 为原点，AB 方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (3，，从而D (2，0)，E (1，F32⎛ ⎝⎭，所以BF =5-22DE ⎛ ⎝⎭，，=(-1，所以BF ·DE =52+32=4.8.4【解析】设向量a，b的夹角为θ，则由题知(a-b)·(3a+2b)=3a2-a·b-2b2=0，即3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，所以3×23⎛⎝⎭-3cos θ=2，解得cosθ=2，又因为0≤θ≤π，所以θ=π4.9.由题知a·b=|a|×|b|cos 120°=4×2×1-2⎛⎫⎪⎝⎭=-4.(1) |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=12，所以|a+b|=(2) |3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2=16×19，所以|3a-4b|=.(3) (a-2b)·(a+b)=|a|2-2a·b+a·b-2|b|2=12.10.(1) 由题知e1·e2=cos 60°=12，所以a·b=(3e1-2e2)·(2e1-3e2)=621e-13e1·e2+622e=6-132+6=11 2.(2) a2=(3e1-2e2)2=921e-12e1·e2+422e=9-6+4=7，b2=(2e1-3e2)2=421e-12e1·e2+922e=7，(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，所以a+b与a-b的夹角为90°.11. (1) a·b=cos 2θ，|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2cos 2θ=4cos2θ，所以||⋅+a ba b=cos22cosθθ=cos θ-12cosθ.因为θ∈π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cos θ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.令t=cos θ，则12≤t≤1，1-2tt⎛⎫⎪⎝⎭'=1+212t>0，所以y=t-12t在t∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，所以-12≤t-12t≤12，即所求的最大值为12，最小值为-12.(2) 由题设可得|k a+b|2=3|a-k b|2.又|a|=|b|=1，a·b=cos 2θ，所以原式化简得cos 2θ=214kk+.由0≤θ≤π3，得-12≤cos 2θ≤ 1，所以-12≤214kk+≤1，解得k∈2-323⎡⎤+⎣⎦，∪{}-1.12.13【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B1t⎛⎫⎪⎝⎭，，C(0，t)，AP=(1，0)+4(0，1)=(1，4)，即P(1，4)，所以PB=1-1-4PCt⎛⎫⎪⎝⎭，，=(-1，t-4)，因此PB·PC=1-1t-4t+16=17-14tt⎛⎫+⎪⎝⎭，因为1t+4t≥21·4tt=4，所以PB·PC的最大值为13，当且仅当1t=4t，即t=12时取等号.(第12题)13.2918【解析】因为DF=19DC DCλ，=12AB CF，=DF-DC=19DCλ-DC=1-99DCλλ=1-918AB AEλλ，=AB+BE=AB+λBC AF，=AB+BC+CF=AB+BC+1-9 18AB λλ=1918ABλλ++BC AE，·AF=(AB+λBC)·1918AB BCλλ+⎛⎫+⎪⎝⎭=1918λλ+·2AB+λ2BC+19118ABλλλ+⎛⎫+⋅⎪⎝⎭·BC=1918λλ+×4+λ+19918λ+×2×1×cos120°=29λ+12λ+1718≥2+1718=2918，当且仅当29λ=12λ，即λ=23时，AE·AF的最小值为29 18.。