高三数学 1.7.1定积分在几何中的应用学案 人教A版选修2-2

1.7定积分的简单应用一、教学目标知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、教学重点与难点重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三、教学过程 1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .y=x 2y x= OxyxxO y=x 2 AB C 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =++-= 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π==x 轴所围成的图形面积。

1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用
1．体会定积分在解决几何问题中的作用．
2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．
基础梳理
1．平面图形面积的求法：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
2．常见的平面图形面积的计算：求由一条曲线y ＝f (x )和直线 x ＝a ，x ＝b (a <b )，及y ＝0所围成平面图形的面积 S .
图①中，f (x )>0， b a f (x )d x >0，因此面积S ＝ b
a f (x )d x ；
图②中， f (x )<0， b
a f (x )d x <0，因此面积S ＝|| b
a f （x ）d x ＝－ b
a f (x )d x ；
图③中，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，因此面积S ＝ b
a |f (x )|d x ＝－ c a f (x )d x ＋ b
c f (x )
d x ．
想一想：(1)选择积分变量时，一定是x 吗？
(2)由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5
4π，y ＝0所围成的图形的面积为________．
(1)解析：不一定，可以根据题意，选择x 或y ，但要注意选择y 为积分变量时，要把
函数变形成用y表示x的形式．
自测自评
基础巩固
能力提升。

一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y 作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x bb a ==>>，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ）A ．43B ．1C ．34D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积（1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x =与直线4,==y x y 围成 （3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a t y a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积（1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成（3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段） 习题 6—2一、填空题 1、连续曲线()x f y =()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a <及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．()210d y y y π-⎰ Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121B. 3210C. 3242D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin =()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos ==()π≤≤t 0绕x 轴旋转 2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度 1、星形线｛ta y t a x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段 二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。

定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|4＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限． 跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.☆课堂提高☆1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.f(x)dxB.f(x)dxC.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】 因为在区间[a ，b]上f(x)<0，所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ，所以阴影部分的面积为：S=f (x)dx-f(x)dx.2.已知a =(cosx ，sinx)，b =(cosx ，-sinx)，f(x)=a ·b ，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( ) A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x|4π-sin2x|34ππ=-+=.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623 【答案】 C【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1. 如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.4．直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.sinxdx B.sinxdx C.2sinxdxD.2sinxdx【答案】D【解析】由于y=sinx ，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积为|si nx|dx=2sinxdx.5．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．6．求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′- 0 +S ↘极小值↗所以当t=时，S最小，且S min=.。

1.7.1定积分在几何中的应用【学习目标】1.进一步理解定积分的几何意义.2.了解应用定积分解决几何问题的思想方法.3.能应用定积分解决一些简单的几何问题. 【新知自学】知识回顾：1.定积分的几何意义是_____________________________________________.2.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间b a,上的连续函数，并且，)()(x f x F ，那么dx x f b a )(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bb a a f x dx F x ________________________．3.定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为_______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于______ 的曲边梯形的面积．4.定积分的三个性质(1)a bkf(x)dx ＝；(2)a b[f 1(x)±f 2(x)]dx ＝(3)a bf(x)dx ＝a c f(x)dx ＋c b f(x)dx(其中a<c<b)．新知梳理：1.若函数错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上连续且在错误！未找到引用源。

上有错误！未找到引用源。

,。

1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1例2．教材P57面的例2。

练习：例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0。

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)d t.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝F(x)d x.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝f (x )d x .( ) (2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为x 3d x ＋(2－x )d x .( ) (4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示．显然S ＝2(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝(3t ＋2)d t ＝t2＋2t 336＝(54＋12)－＋627＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝F (x )d x ＝(4x －1)d x ＝(2x 2－x )13＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x －4)]d x 表示？为什么？ 提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝－(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2d x ＋[－(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝2y2d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为34，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝，y ＝2－x ，y ＝－31x 所围成的图形的面积． [解] (1)由y ＝kx ，y ＝x2，解得 y ＝0，x ＝0，或y ＝k2，x ＝k ，故阴影部分的面积为(kx －x 2)d x ＝x310k ＝21k 3－31k 3＝61k3＝34，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示． 解方程组x ＋y ＝2，x ，x 1及x ，1得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝x 1d x ＋(2－x )－x 1d x ＝x 1d x ＋x 1d x ＝x2101＋x2113 ＝32＋61＋x2113＝65＋6－31×9－2＋31＝613.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A 41，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即81x 0＝31x 03，解得x 0＝46或x 0＝－46或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝46.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝x 2d x ＋(x 2－4x ＋4)d x ＝31x 301＋x3－2x2＋4x 112＝32.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由x ＋y ＝2，y2＝x 得y ＝1x ＝1或y ＝－2.x ＝4∴阴影部分的面积 S ＝(2－y －y 2)d y＝3y3－21 ＝31－38＝29.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值. [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝(8t －2t 2)d t －(8t －2t 2)d t＝t3204－t3246＝3128.当t ＝6时，点P 的位移为 (8t －2t 2)d t ＝t3206＝0. (2)依题意(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－32t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b (a ＜b )所经过的路程s 和位移s ′情况如下：(1)若v (t )≥0，则s ＝v (t )d t ；s ′＝v (t )d t .即s ＝s ′(2)若v (t )≤0，则s ＝－v (t )d t ；s ′＝v (t )d t .即s ＝－s ′.(3)若在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )＜0，则s ＝v (t )d t －v (t )d t ，s ′＝v (t )d t所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s. v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t . 令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝(10－2t )d t ＝(10t －t 2) 05＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝20x d x ＝10x 2015＝2 250(N·cm)＝22.5(J)． [规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝2x －2，x ＞2，2，0≤x ≤2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝2d x ＋(2x －2)d x ＝2x 02＋(x 2－2x ) 24＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝[f (x )－g (x )]d x S ＝(2－2x ＋8)d x① ②[f(x b③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝[f (x )－g (x )]d x ； ②错误，S ＝2d x ＋(2－2x ＋8)d x ； ③④正确．]2．曲线y ＝cos x π3与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．25D ．4 B [S ＝＝sin 2π－sin 0－sin 23π＋sin 2π＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30， ∴s ＝v (t )d t ＝ (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) 030＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a＝32，所以a ＝94.[答案] 945．一物体在变力F (x )＝x236(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝F (x )d x ＝－36x －1818＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－29＝25(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为25 J.。

1.7.1 定积分在几何中的应用教学目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．教学知识梳理知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？[答案]求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？[答案]不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？[答案]与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a 移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.题型探究类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. [答案]13[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256.命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎡⎦⎤2－x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321 ＝12－0＋⎝⎛⎭⎫4－83－⎝⎛⎭⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程．解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31t 2－4t ＋3d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a |v (t )|d t ＝－ʃb a v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃb a F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930 J D ．6 J[答案]A[解析]设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930 J.当堂检测1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163 D.23[答案]A[解析]如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J[答案]C[解析]依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．[答案]1－ln 2[解析]因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.[答案]900[解析]由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ1003t d t ＋ʃ6010⎪⎪⎝⎛⎭⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－310t 2＋36t 6010 ＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13－⎝⎛⎭⎫－1＋13＋⎝⎛⎭⎫13×23－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝83.。

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛ab (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛ab f (x )d x .[预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝1256.规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎨⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ， 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－23x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪1＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限．跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪1－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案43解析 解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 320＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x 41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a c f x d x C ． ⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f x －g x ]d x 答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02x 2－1d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方， 其定积分为正，故应选C. 4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎨⎧y ＝1x 2＝4y，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－x y ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪ 2⎪⎪⎪＋6x －12x 262＝ 163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝⎪⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221 ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13 B ．12C ．1D ．23答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝∫1c 0(x 2－cx 3)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为 S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎨⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2. (1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)， 直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2， 因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. (2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2a＝a 2－13a 3＝43，∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意． 综上a ＝－1，或a ＝2.。