线性代数1-2-行列式的性质

ajpj
aipi
anpn
一、行列式的性质
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明
设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D det aij 变换 i, j 两行得到的,
即当 k i, j 时, bkp akp; 当 k i, j 时,
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
DT
1 b b p1p2 pn 1 p1 2 p2
1 a a p1p2 pn p11 p2 2
bnpn
apnn .
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
a11 a12
(b1 c1)
a1n
D a21 a22
(b2 c2)
a2n
an1 an2
a11 D1 a21
(bn cn )
b1
a1n
b2
a2n
ann
a11 D2 a21
c1
a1n
c2
a2n
an1
bn
ann
an1
cn
ann
D
1 a (p1 pi pn ) p11
(bi +ci )
；
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
下列乘积是不是4阶行列式中展开式中的项？ 如是，项前的带什么符号？
a32a24a13a42
a32a24a13a41
知识回顾：几类行列式的计算
上三角行列式 下三角行列式 对角行列式
a11 a12 a1n
a11 0
0 a11 0
0
0 a22 a2n
* =
a22
0
0 =
a22
0
0 0 ann
**
ann
00
ann
a11a22 ann .
知识回顾：几类行列式的计算
次对角行列式
1 *
2
* =
*
* * 1
* 2
=
1 2 *
**
n
n
0 n * * *
nn1
1 2 12 n .
一、行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
记
D
p11 p2 2
apnn .
又因为行列式D可表示为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn .
故 D DT .
证毕
一、行列式的性质
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
思考：利用定义表示出如下行列式的值；
给出a它11 们a12之间的a1关n 系。
an1 an2
ann
D
1 a (a ) a (p1 pi pn )
1 p1
ipi
npn
D1
1 a (p1 pi pn ) 1 p1
k
1 a (p1 pi pn ) 1 p1
(kaipi ) anpn (aipi ) a npn
一、行列式的性质
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
4504
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
一、行列式的性质
问题：比较下列行列式之间的关系；有什么结论？
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
D ＝ ai1 ai2
ain
D1 = kai1 kai2
kain
an1 an2
ann
p11 p2 2
pnn
D
1 a a ( p1p2 pn )＋ (q1q2 qn ) p1q1 p2q2
a pn qn
知识回顾：行列式的定义说明
1、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
2、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
3、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1 ( . p1p2pn )
a11 a12
a1n
ai1 ai2 D
aj1 aj2
ain i行 ajn j行
aj1 aj2 D1
ai1 ai2
ajn i行 ain j行
an1 an2
ann
an1 an2
ann
D
1 a (p1 pi pj pn ) 1 p1
aipi
ajpj
anpn
D1
பைடு நூலகம்
1 a (p1 pj pi pn ) 1 p1
bip a jp , bjp aip,
一、行列式的性质
于是
D1
1 b (p1 pi pj pn ) 1 p1
bipi
b jp j
bnpn
1 a (p1 pi p j pn ) 1 p1
ajpi
aip j
anpn
-
1 a (p1 pj pi pn ) 1 p1
aipj
ajpi
一、行列式的性质
证明
记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n
DT
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
即 bij aij i, j 1,2,, n, 按定义
DT
1 b b p1 p2 pn 1 p1 2 p2
bnpn
1 a a p1 p2 pn
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
一、行列式的性质
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
§1．3
行
• 行列式的性质
列
• 行列式的计算
式
• 小结
的
性
质
与
计
算
程学汉
知识回顾：行列式的定义
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 a a a p1 p2 pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
D
1 a a a ( p1p2pn )
证明 问题：求下面行列式的值
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
一、行列式的性质
问题：比较下列行列式之间的关系；有什么结论？
anpn
-D
其中 1i jn 为自然排列,
证毕
例如 175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
一、行列式的性质
问题：求下面行列式的值；由此可以得到什么结论？
1234
1234
D
,
0010
3126
1001
2292
D
,
3003