第八章 联立方程的识别和估计

第八章 联立方程的识别和估计
第一部分 学习指导
一、本章学习目的与要求
1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量；
2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义；
3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别；
4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。

二、本章内容提要
联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。

它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。

其主要内容有：
1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。

2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。

3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。

假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下：
（1）识别的必要条件
1-≥-i i g k k
其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。

该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。

（2）识别的充要条件
在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。

充要条件是从矩阵的秩出发而得出，因而又称为秩条件。

（3）结构方程可以识别的两种情况
（1）恰好识别：求解的结构参数值唯一，当1i i k k g -=-时，则该方程就是恰好识别；
（2）过度识别：求解的结构参数值不唯一，当1i i k k g ->-时，则该方程就是过度 识别。

4．一种特殊的联立方程模型——递归系统模型：递归系统模型，递归系统模型的估计。

5．联立方程计量经济学模型的单方程估计方法：狭义的工具变量法，间接最小二乘法，二阶段最小二乘法；对于恰好识别的结构方程，三种方法是等价的。

6．联立方程计量经济学模型估计方法的比较：大样本估计特性的比较，小样本估计特性的Monte Carlo 试验，为什么普通最小二乘法被普遍用。

7．联立方程计量经济学模型的检验：拟合效果检验，预测性能检验，方程间误差传递检验，样本点间误差传递检验。

第二部分 重点、难点释析
1．如何确定模型中的内生变量和外生变量？
由于内生变量是联立地被决定，因此，联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程。

这个规则决定了任何联立方程模型中内生变量的个数。

可是，确定哪个变量为内生变量，要根据经济分析和模型的用途。

在设定模型时，通常将以下两类变量设定为外生变量：
（1）政策变量，如货币供给、税率、利率、政府支出等。

（2）短期内很大程度上是在经济系统之外决定或变化规律稳定的变量，如人口、劳动力供给、国外利率、世界贸易水平、国际原油价格等。

当然我们也可以用豪斯曼检验（Hausman ）来进行外生性检验,见参考文献：古扎拉蒂《计量经济学》。

2．为什么用最小二乘方法OLS 方法估计联立方程的参数是非一致性的？
因为在联立方程中解释变量与误差项相关，这样得到的估计量就是非一致的。

例如凯恩斯收入决定模型： 消费函数：01101t t t
C Y ββεβ=++
收入恒等式：t t t Y C I =+
假定22()0,(),(,)0,(,)0t t t t j t t E E E COV I εεσεεε+====，
下面证明(,)0t t COV Y ε≠。

证明：把（1）式代入（2）式得： 01t t t t Y Y I ββε=+++
即： 0111
11111t t t Y I βεβββ=++--- 所以 011
1()11t t E Y I βββ=+-- 所以 11()1t t t Y E Y εβ-=
- 而 ()t t t E εεε-=
所以 (,)(())(())t t t t t t COV Y E Y E Y E εεε=--
22
11
()011t E εσββ==≠-- 从而,t t Y ε式相关，这就违反了经典线性回归模型中的假定：解释变量与误差项不相关，在这种情形下，OLS 估计量式非一致的。

3．间接最小二乘法ILS 的估计步骤？
第一步，确定某个待估方程是否是恰好识别，如果是，进入下一步，否则停止。

第二步，把联立方程组中所有的内生变量用外生变量线性表示，即给出简化型。

第三步，对简化型中每个方程分别进行OLS 估计，得到各个简化型系数的估计值。

第四步，根据相关的参数体系，利用（3）中得到的简化型系数的估计值求得该方程结构型系数的估计值。

4．两阶段最小二乘法2SLS 的估计步骤？
第一步，找出待估方程中作为解释变量的那些内生变量，并把它们分别表示成联立方程组中所有外生变量的线性组合。

第二步，对上述得到的每个方程进行估计，同时得到每个作为解释变量的内生变量的点估计值。

第三步，把这些点估计值带入到待估计方程中，分别替代对应的内生解释变量。

第四步，对替换后的新方程进行估计，由此得到的参数估计值就是最终的2SLS 估计值。

2SLS 法对于恰好识别的方程也适用，而且和ILS 估计的结果一致。

5．三阶段最小二乘法3SLS 的估计步骤？
第一步，首先把处于解释变量位置上的所有内生变量用外生变量线性表示，即给出这些内生解释变量的简化型，就上述的联立方程组显然要把所有的内生变量外生化。

第二步，对简化型的每个方程进行OLS 估计，得到每个简化型参数的估计值，进一步得到每个内生解释变
量的估计值序列1ˆY
，2ˆY ，…，ˆg Y 。

这是第一阶段估计。

第三步，把内生解释变量的估计值序列带回到原联立方程组，即用1ˆY
，2ˆY ，…，ˆg Y 替代1Y ，2Y ，…，g Y ，对替代后的每个方程进行OLS ，得到每个结构型系数的初次估计，进而得到每个结构型方程随机误差项的估计
值序列，即残差序列12ˆˆˆˆ(,,),1,2,i i i in i g ε
εεε'==。

这是第二阶段估计。

第四步，利用残差序列得到联立方程系统随机误差项的方差协方差矩阵的估计，每个元素的估计为
1
1垐ˆ,,1,2,n ij it jt t i j g n σεε===∑ 第五步，对联立方程组进行第三阶段的估计，即实行GLS 估计。

6．如何进行联立方程模型的联立性检验？
联立性检验的实质是检验内生变量与误差项是否相关。

如果是，就有联立性的检验，这时需要找出不同于OLS 的估计方法；如果不是，就可以使用OLS 的估计方法。

可以采取豪斯曼检验（Hausman ）来进行联立性检验。

豪斯曼检验（Hausman ）的基本步骤为：
第一步：用OLS 方法求某个内生变量（不妨设为1y ）与外生变量的回归，得回归误差ˆt μ
； 第二步：用Pindycy 和Rubinfeld 建议得方法，用OLS 方法做另外一个内生变量（不妨设为2y ）与1y 、ˆt μ
的回归。

若ˆt μ
的系数在统计上为零，则不存在联立性问题；若ˆt μ的系数在统计上不为零，则存在联立性问题.。