运筹学 第四章习题答案教程文件

运筹学第四章习题答案4.1若用以下表达式作为目标规划的目标函数，其逻辑是否正确？为什么？ （1）max ｛-d -+d ｝ （2）max ｛-d ++d ｝ （3）min ｛-d ++d ｝ （4）min ｛-d -+d ｝（1）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最小值时，-d -+d 取最大值合理。

(2)不合理，+d 取最大值时，f （x ）取最大值，-d 取最大值时，f （x ）应取最小值 （3）合理，恰好达到目标值时，-d 和+d 都要尽可能的小。

（4）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最大值时，-d -+d 取最小值合理。

4.2用图解法和单纯形法解下列目标规划问题（1）min ｛P 13+d ，P 2-2d ，P 3（-1d ++1d ）｝24261121=-+++-d d x x 52221=-+++-d d x x155331=-++-d d x3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i（2）min{P 1(+++43d d ),P 2+1d ,P 3-2d ,P 4(--+435.1d d )} 401121=-+++-d d x x1002221=-++--d d x x30331=-++-d d x 15442=-++-d d x4,3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i(1)图解法0 A B C X 1由图可知，满足域为线段EG,这就是目标规划方程的解，可求得：E,G 的坐标分别为（0，12），（3,3） 故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a(2)图解法 21由图可知，满足域为线段AB A(25,15),B(30,10)故该问题的解可表示为)1015,3025()10,30()15,25(212121a a a a a a ++=+ )1,0(212,1=+≥a a a a(1)单纯形法0 0 P1 0 0 P2 P3 P3CB XB x1 x2 bP3 P2 06 2 0 0 0 0 -1 1 245152 1 0 0 -1 1 0 05 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 1 0 0 0-6 -2 0 0 0 0 2 0P3P20 x1 0 2 1.2 -1.2 0 0 -1 1 6230 1 0.2 0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1 P2 P3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 -0.2 0.2 1 0 0 0 0 -2 -1.2 1.2 0 0 2 0P30 0x2x10 0 0.8 -0.8 2 -2 -1 1 2230 1 0.2 -0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 -0.8 0.8 -2 2 2 00 0x2x10 0 0.4 -0.4 1 -1 -0.5 -0.5 1330 1 0.6 -0.6 0 0 0.5 0.51 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 10 0 x22 0 0 0 1 -1 -0.5 -0.5 71253 1 0 0 0 0 0.5 0.55 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 1故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a（2）P2P3P1P4P11.5P4CB XB x1 x2b 0 1 1 -1 1 00 0 0 0 0 401 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 100 1 0 0 0 0 0 -1 1 00 301-1115P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0P21P3 -1 -11 00 0 P4-11.5 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 251 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 85 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 30 0x2 0 115P1 0 0 00 0 0 1 0 1 0P20 0-1 0P3 -1 01-1 1 P4 -1 00 51 0 x110 -1 1 0 0 0 0 1 -11-1-110 0 1 -1 0 0 -1 1 -1 1 30 0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 P2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 P3 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0P4-1111.54.3某商标的酒是用三种等级的酒兑制而成。

第4章训练题实践能力训练1．某工厂生产A 、B 两种产品，产品A 每件利润为$10，而产品B 每件利润为$8，产品A 每件需3小时装配时间，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。

工厂允许加班，但加班生产出来的产品的利润得减去1美元，根据最近合同，厂商每天至少得向用户提供两种产品各30件。

通过与厂商经理交谈，确认如下事实：（1）与用户签定的合同必须遵守，且工厂正常工作时间只有120小时； （2）尽可能不加班；（3）求利润最大； 试建立此问题的数学模型。

1．设正常生产A 产品1x 件，B 产品3x 件，加班生产A 产品2x 件，B 产品4x 件。

则},,{m in 5443321ηρ-ηρ-η+η+η=a lex30..1121=ρ-η++x x t s 302243=ρ-η++x x 120233331=ρ-η++x x0234442=ρ-η++x x54078910554321=ρ-η++++x x x x0,,41≥x x 且为整数2．考虑双A 牌啤酒的混合问题。

D 厂用三种级别的白兰地（一，二，三）来生产三种混合酒(DT ,DTA ,QL )，三种级别的白兰地酒供应量受到严格限制，他们的供应量和成本如下： 一级 1,500加仑/日 $6.00 /加仑 二级 2,100加仑/日 $4.50 /加仑 三级 950 加仑/日 $3.00 /加仑双A 牌酒的信誉很高，为了保证质量，其生产配方受到严格控制，其配方如右表所示。

在此题中，把日供应量和混合比例设为硬约束，其余按其优先顺序表示如下：（1）求利润极大；（2）每日至少生产2，000加仑DT 酒。

试建立此问题的数学模型。

2．变量假设如表：},,{m in 1110987654321ηηη+ρ+η+ρ+η+ρ+ρ+ρ+ρ=a lex 1500..11312111=ρ-η+++x x x t s 210022322212=ρ-η+++x x x 95033332313=ρ-η+++x x x1.04413121112=ρ-η+++x x x x5.05513121111=ρ-η+++x x x x6.06623222123=ρ-η+++x x x x2.07723222121=ρ-η+++x x x x5.08833323133=ρ-η+++x x x x1.09933323131=ρ-η+++x x x x13650)(3)(5.4)(6)(5)(5.5)(61010332313322212312111333231232221131211=ρ-η+++-++-++-++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x20001111131211=ρ-η+++x x x .3,2,1,,0=≥j i x ij3．动力公司生产单一类型的机动自行车（即小型汽油机动摩托车），称为美洲神风，这家公司同时也进口意大利的安全牌机器摩托车，神风牌每辆售价为$650，安全牌$725，需求情况是厂家生产或进口摩托车都能轻易地卖出去。

习题四4.1工厂生产甲、乙两种产品，由A、E二组人员来生产。

A组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；E组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。

例如，A组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表4.21所示。

表 4.21二组人员每天正常工作时间都是8小时，每周5天。

一周内每组最多可以加班10小时，加班生产的产品每件增加成本5元。

工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序：P1：每周供应市场甲产品400件，乙产品300件P2：每周利润指标不低于500元P3：两组都尽可能少加班，如必须加班由A组优先加班建立此生产计划的数学模型。

4.1【解】解法一：设X1, X2分别为A组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，X3, X4分别为A组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；X5, X6分别为B组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，X7, X8分别为B组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。

总利润为80(X1 X3 X5 X7) (5055X3 45X5 50X7)75(X2 X X6 X s) (45X2 50X4 40X6 45x030X1 30X2 25X3 25X4 35X5 35X6 30X7 30X8生产时间为A 组：0.1捲0.125X20.1X30.125X4B 组：0.125x50.2X60.125X70.2沧数学模型为：min Z p1(d1d2) P2d3 P3(d 4 d5) P4(d6 2d?)X1 X3 X5 X7 d1 d1 400X2 X4 X6 X8 d2 d2 30030为30X225X325X435X535X630X730XS d3500400.1X10.125X2 d4d4400.125X5 0.2X6 d5d50.1X3 0.125x4 d6d6 100.125X70.2X8 d7d7 10X j 0,d i ,d i 0,i 1,2丄，7; j 1,2,L ,8解法二：设X1, X2分别为A组一周内生产产品甲、乙的正常时间，X3, X4分别为A组一周内生产产品甲、乙的加班时间；X5, X6分别为B组一周内生产产品甲、乙的正常时间，X7, X8分别为B组一周内生产产品甲、乙的加班时间。

第四章作业的参考答案151P 5、判断下列函数是否为凸函数.（3）31322123222126293)(x x x x x x x x x x f ++-++=解： )(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇1862662222)(2x f .)(2x f ∇的各阶主子式分别为.01862662224,07218666,03418222,086222,018,06,02=-->=>=>=-->>>因而)(2x f ∇为半正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。

152P 9、用0.618法求以下问题的近似解 5060212)(min 230+-+-=≥t t t t t ϕ已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0=ε。

解：迭代过程用下表给出：第三轮迭代开始时有ε=<=-=-8.0708.0646.1354.2a b 。

所以近似最优解为084.2*=t 。

152P 14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）2122122211620)(2)(min x x x x x x x f --+++=解：化简目标函数，得.1620223)(21212221x x x x x x x f --++=所以，)(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇4226)(2x f . 因为)(2x f ∇是正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。

另一方面，目标函数的梯度向量为 .)1624,2026()(1221Tx x x x x f -+-+=∇ 令0)(=∇x f ，即⎩⎨⎧=-+=-+01624020261221x x x x ， 求得目标函数的驻点为T x )514,512(*=. 所以，原问题的最优解为T x )514,512(*=.152P 16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。

（1）22212131min x x +，取初始点.)2,3(0T x = 解：由题意知.),32(),()(2121T T x x x f x f x f =∂∂∂∂=∇ 第一轮迭代：T x f p )2,2()(00--=-∇=。