A B C 1 2 正余弦定理例题解析
例1、在△ABC 中、如果a ＝18、b ＝24、A ＝︒45、则此三角形解的情况为( B ).
A. 一解
B. 两解
C. 无解
D. 不确定
解： 由 bsinA ＜a ＜b 故 有两解 选B
例2、在△ABC 中、a ＝5、b ＝15、A ＝︒30、则c 等于( C ). A. 25 B. 5 C. 25或5 D. 以上都不对
解： 由 bsinA ＜a ＜b 故 有两解 选C
例3、在△ABC 中、a ∶b ∶c ＝3∶5∶7、则此三角形的最大内角是( B ).
A.︒150
B.︒120
C.︒90
D.︒135
解：设a ＝3k 、b ＝5k 、c ＝7k 、由余弦定理易求得cosC ＝-
21、所以最大角C 为︒120. 例4、(1) 在△ABC 中、若B ＝︒30、AB ＝23、AC ＝2、则△ABC 的面积是_____.
(2) △ABC 中、若AB ＝1、BC ＝2、则角C 的取值范围是_____.
解：(1) sinC ＝
23230sin 32＝︒、于是C ＝︒60或︒120、故A ＝︒90或︒30、
由S △ABC ＝A AC AB sin 21⋅⋅可得答案23或3.
(2) 如图所示、由已知得BC ＝2AB 、又A BC C AB sin sin ＝ ∴ sinC ＝A sin 21≤21 又∵ 0＜C ＜A ∴ 0＜C ≤6
π 例5、在△ABC 中、求证：a 2sin2B+b 2sin2A ＝2absinC
证明：由正弦定理B b A a sin sin ＝知22
sin 2sin 2sin 2sin 2a B b A a b B A ab b a
+=+ sin sin 2sin sin 22(sin cos sin cos )2sin()2sin sin sin A B B A A B B A A B C B A ⋅=+=⋅+⋅=+= 故原式成立.
例6、在锐角三角形ABC 中、A 、B 、C 是其三个内角、记B
A S tan 11tan 11+++＝ 求证：S ＜1 证明： ∵ 111tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan (1tan )(1tan )1tan tan tan tan A
B A B S A B A B A B A B
+++++++==+++++++＝ ∵ ︒+90＞B A 、∴ ︒-︒9090＜＜A B 、∴ cotB ＜tanA 即B A tan tan ⋅＞1、∴ S ＜1.
例7、在△ABC 中、如果lga-lgc ＝lgsinB ＝-lg 2、且B 为锐角、判断此三角形的形状. 解：由lga-lgc ＝lgsinB ＝-lg 2、得 sinB ＝2
2、
D C
A B E
又B 为锐角、∴ B ＝︒45、又22＝c a 得22sin sin ＝C A 、
∴ 2sinC ＝2sinA ＝2sin(︒135-C)、 ∴ sinC ＝sinC+cosC 、 ∴ cosC ＝0 即C ＝︒90、 故此三角形是等腰直角三角形. 例8、已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边.
① 若△ABC 面积为
23、c ＝2、A ＝︒60、求b 、a 的值. ② 若acosA ＝bcosB 、试判断△ABC 的形状、证明你的结论. 解：① 由已知得︒60sin sin 2
123b A bc ＝＝、∴ b ＝1. 由余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA ＝3、∴ a ＝3.
② 由正弦定理得：2RsinA ＝a 、2RsinB ＝b 、
2RsinAcosA ＝2RsinBcosB 即sin2A ＝sin2B 、
由已知A 、B 为三角形内角、∴ A+B ＝︒90或A ＝B 、 ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.
例9、如图所示、已知在梯形ABCD 中AB ∥CD 、CD ＝2, AC ＝19、∠BAD ＝︒60、求梯形的高.
解:作DE ⊥AB 于E 、 则DE 就是梯形的高.
∵ ∠BAD ＝︒60、 ∴ 在Rt △AED 中、有DE=AD ︒60sin ＝23⨯AD 、即 DE ＝23AD. ① 下面求AD(关键)：
∵ AB ∥CD 、∠BAD ＝︒60、 ∴ 在△ACD 中、∠ADC ＝︒120、 又∵ CD ＝2, AC ＝19、∴ ,cos ADC CD AD CD AD AC ∠⋅-+2222＝ 即 ︒⨯-+12022219222cos )(AD AD ＝
解得AD ＝3、(AD ＝-5、舍).
将AD ＝3代入①、 梯形的高.23332323＝＝＝⨯AD DE 例10、如图所示, 在△ABC 中、若c ＝4, b ＝7、BC 边上的中线AD ＝2
7, 求边长a. 解：∵ AD 是BC 边上的中线、∴ 可设CD ＝DB ＝x. ∵ c ＝4, b ＝7, AD ＝27, ∴ 在△ACD 中、有2
22772cos .27x C x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯
在△ACB 中、有2227(2)4cos .272x C x +-=⨯⨯∴
2
22222777(2)42,27272x x x x ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=⨯⨯⨯⨯ ∴ x ＝
2
9, ∴ a ＝2x ＝9.
