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第3讲立体几何中的截面问题的解决方法知识与方法在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱雉、长方体、正方体等)得到的平面图形.此平面与几何体表面的交线叫做截线,此平面与几何体的棱的交点叫做截点.作截面的关键在于确定截点.通过位于多面体同一表面上的两个不同截点即可连结成截线,从而得到截面.正方体的基本截面如下.正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、针角三角形、直角梯形、正五边形.典型例题【例1】 在正方形1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别在AB,BC,DD 1,B 1C 1上，点,,P Q R 在平面1111,,AC AB BC 内,点S 在正方体内部,(1)作过,,E F G 三点的截面;(2)作过,,E G H 三点的截面;(3)作过,,E G P 三点的截面;(4)作过,,F H S 三点的截面;(5)作过,,P Q R 三点的截面.【例2】如图，在三棱锥A BCD -中，截面EFGH 与对棱,AC BD 都平行,且分别与,,,AB BC CD DA 交于点,,,E F G H ,则点,,,E F G H 在何处时,截面EFGH 面积最大.【例3】 如图○1，在三棱锥O ABC -中三条棱OA,OB,OC 两两垂直，且OA OB OC >>,分别经过棱,,OA OB OC 作一个截面平分三棱雉的体积,截面面积依次为123,,S S S ,则123,,S S S 的大小关系为 .【例4】如图○1，已知正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点,过点O 的平面α与棱,,PA PB PC 分别交于点,,D E F .设三棱雉P DEF -的体积为0V ,截面DEF 的面积为0S ,则（ ）A.008,4V V S SB.008,4V V S SC.008,4V V S SD.008,4V V S S【 例5】如图 (1), 在直三棱柱 111ABC A B C - 中, 若 122,BC AB AA AC ===M = 是 11B C 的中点, 过 AM 作这个三棱柱的截面, 当截面与平面 ABC 所成的锐二面角最小时,这个截面的面积为（ ）A. 2B.C.D.【例6】 已知球O 是正三棱锥 (底面为正三角形, 顶点在底面上的射影为底面中心)A BCD - 的外接球, 3,BC AB ==点 E 在线段 BD 上, 且 6BD BE =, 过点E 作球 O 的截 面, 则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例7】 一个长方体形状的无盖容器 1111ABCD A B C D - 的容积是 V , 其长、宽、高分别为 1,,AD a AB b AA c ===, 容器内装有体积为23V 的水并放在水平的地面上. 现固定顶点 A 在地面上, 将容器倾斜, 当容器中的水刚好要从顶点 1A 处流出时, 设水平面与 11,BB CC , 1DD 分别交于点 ,,E F G , 且 1AA 与水平地面所成的角为 θ. 现有下列命题:(1) 111C F B E D G =+;(2) 1C F 为定值;(3)若 a b >, 则当 10B E = 时 θ 取得最小值; (4)若 a b >, 则当 10D G = 时θ 取得最小值;(5) 当 2121D G a B E b= 时, θ 取得最大值.其中的真命题是________ (写出所有真命题的编号).强化训练1.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过,,A P Q 三点的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题中正确的是（ ）○1当102CQ <<时,截面S 为四边形; ○2当12CQ =时,截面S 为等腰梯形; ○3当34CQ =时,截面S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;○4当314CQ <<时,截面S 为六边形;○5当1CQ =时,截面S . A.○1○3○4 B.○2○4○5 C.○1○2○4 D.○1○2○3○52.已知圆雉的母线长为l ,轴截面的顶角为θ,求过此圆雉母线的截面面积的最大值.3.如图,在正方体ABCD A B C D '-'''中,平面α垂直于对角线AC ,且平面α截正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）A.S 为定值,l 不为定值B.S 不为定值,l 为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值4.在边长为 1 的正方体 ABCD A B C D '-''' 中, ,,E F G 分别在 ,,BB BC BA ' 上,并且满足 311,,422BE BB BF BC BG BA =='=. 若平面 AB F ', 平面 ACE , 平面 B CG ' 交 于一点 ,O BO xBG yBF zBE =++, 则 x y z ++= _________,OD =______.5.如图, 正方体 1111ABCD A B C D - 的棱长为 1,,E F 分别是棱 11,AA CC 的中 点, 过点 ,E F 的平面分别与棱 11,BB DD 交于点 ,G H . 给出以下四个命题: (1) 平面 EGFH 与平面 ABCD 所成角的最大值为 45; (2)四边形 EGFH 的面积的最小值为 1 ;(3) 四棱锥 1C EGFH - 的体积为定值16;(4)点 1B 到平面 EGFH 的距离的最大值为3. 其中正确命题的序号为 A. (2) (3)B. (1) (4)C. (1) (3)(4)D. (2) (3)(4)6.已知直四棱柱 1111ABCD A B C D -, 其底面 ABCD 是平行四边形, 外接球的 体积为36π. 若 1AC BD ⊥, 则其外接球被平面 11AB D 截得的图形面积的最小值为（ ）A. 8πB.24310π C.8110πD. 6π7.如图, 水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽, 水面高度恰为正方体棱 长的一半, 在该正方体侧面 11CDD C 上有一个小孔 ,E E 点到 CD 的距离为 3 , 若该正方体 水槽绕 CD 倾斜 ( CD 始终在桌面上), 则当水恰好流出时, 侧面 11CDD C 与桌面所成角的 正切值为A.B.12C.D. 2。
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。
数学立体几何高考题答题技巧高中数学的学习对学生来讲非常重要，尤其是几何部分可以提升学生的思维能力。
下面我给高考考生带来数学立体几何答题技巧，希望对你有帮助。
高考数学立体几何答题技巧01、合理安排，保持清醒。
数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。
然后带齐用具，提前半小时到考场。
02、通览全卷，摸透题情。
刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。
这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。
03、解答题规范有序。
一般来说，试题中容易题和中档题占全卷的80%以上，是考生得分的主要来源。
对于解答题中的容易题和中档题，要注意解题的规范化，关键步骤不能丢，如三种语言文字语言、符号语言、图形语言的表达要规范，逻辑推理要严谨，计算过程要完整，注意算理算法，应用题建模与还原过程要清晰，合理安排卷面结构……对于解答题中的难题，得满分很困难，可以采用“分段得分”的策略，因为高考阅卷是“分段评分”。
比如可将难题划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，获取一定的分数。
有些题目有好几问，前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根据前面的结论你能够解答出来，这时候不妨引用前面的结论先解答后面的，这样跳步解答也可以得分。
高考数学立体几何知识1、有关平行与垂直线线、线面及面面的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题包括论证、计算角、与距离等中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行垂直、线面平行垂直、面面平行垂直相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：1根据定义--证明两平面没有公共点;2判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;3证明两平面同垂直于一条直线。
立体几何．专题综述：立体几何的主要任务是培养学生的空间想像能力，当然推理中兼顾逻辑思维能力的培养，几何是研究位置关系与数量关系的学科，而位置关系与数量关系可以相互转化，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面的问题，即空间问题平面化，平面化的手法有：平移（包括线、面、体的平移）、投影、展开、旋转等变换。
1.考纲要求（1）掌握平面的基本性质。
会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理：理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理：掌握三垂线定理及其逆定理。
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。
（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。
（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定量。
（8）了解多面、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。
（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
（11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
2.考题设置与分值从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是1至3个填空或选择题，1个解答题，分值25分左右3.考试重点与难度（1）空间基本的线、面位置关系。
一般以客观题的形式出现，试题很基础，但需要全面、准确掌握空间线、面位置关系的判断、性质，还需要有好的空间感。
（2）空间距离和角的计算。
立体几何大题的解题技巧——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1两点间距离221221221)()()(d z z y y x x -+-+-=2点P 到线l的距离d =（Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）3两异面直线的距离d =（P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量） 4点P 到平面的距离d =（Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1异面直线角【0，2π】cos θ=2121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0，π）2线面角 【0，2π】sin θ=nv vn n v =,cos 或者解三角形3二面角 【0，π】cos 2121n n n n ±=θ或者找垂直线，解三角形不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。
高考数学中的三维几何解析技巧数学作为一门科学，一直是高考中的必修科目，而其中的三维几何解析技巧也是高考中不可或缺的一部分。
三维几何作为高中数学阶段的最后一个重点难点，是很多学生的难点。
然而掌握解析几何的技巧可以较大地帮助我们解决多维几何问题，因此本篇文章将向大家介绍数学中的三维几何解析技巧。
一、三维空间坐标系的建立首先，在学习三维几何之前，我们需要熟练掌握三维空间坐标系的建立。
三维坐标系的建立可以围绕坐标轴、平面和点三个物体展开。
其中，坐标轴和平面的建立需要考虑到它们的方向、截距，而点的坐标则需要考虑到点在坐标轴所在的位置。
以建立三维直角坐标系（空间直角坐标系）为例，我们需要先建立三个相互垂直的坐标轴，分别标记为x、y、z轴。
此外，我们还需确定了坐标轴的正负方向和坐标轴的长度。
二、三维空间中的位置关系建立了三维坐标系后，我们就可以通过位置关系来解决三维几何问题。
三维空间中最常见的位置关系包括点、线、面之间的位置关系。
对于点和点之间的位置关系，我们可以通过勾股定理求出点与点之间的距离。
对于两条直线交点的求解，我们需要通过列方程求出交点坐标。
而通过两个平面之间的交线，我们可求出两个平面的夹角。
此外，在使用平面解决问题时，我们可以通过法向量求出一个平面，再引用该平面上的点来计算距离等相关问题。
三、三维空间中立体图形的解析几何三维空间中最常见的立体图形可以分为球、圆锥、圆柱、立方体等。
在计算立体图形时，我们需要考虑其体积、表面积等相关指标。
因此掌握解析几何技巧可以帮助我们快速地解决这些问题。
对于一个圆柱体而言，我们可以旋转一个平面图形得到。
而对于圆锥体而言，我们可以再平移一个圆锥底面得到，通过这样的方式我们就可以求解出圆锥体的体积和表面积。
此外，在计算球的体积时，我们可通过球的半径，乘积运算来快速计算。
四、三维向量的解析几何最后，三维向量的解析几何技巧也是高考中需要掌握的部分。
在三维向量的解析几何中，我们需要熟练掌握向量的坐标表示，运算以及向量之间的位置关系。
2013年高考解答题魔鬼训练三《立体几何》1． 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值； （Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.1A B COA 1B 12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．A D OC PBE3. 在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠= ，1AB AD PD ===，2CD =. （Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.ACDEP4.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O . （Ⅰ）求证：⊥PO 底面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若M 是PB 上的一点，且PB CM ⊥，求PMMB的值．APDCOB-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，5．如图，在四棱锥S ABCDAC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；--的大小为45︒时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.（Ⅲ）当二面角E BD C6.如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠= ,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =你的结论.M7．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，,E F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A DC B--．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E DF C--的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP DE⊥？证明你的结论．ABC DEFAB CDEF8．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求MEMN的值.9．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.B10．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．11．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC , 的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．DFECBAP12．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得AQ BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图13．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形DD AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。
高中数学三维几何解题技巧在高中数学中，三维几何是一个重要的考点。
它涉及到空间中的点、直线、面等概念，需要我们具备一定的几何直观和思维能力。
本文将介绍一些三维几何解题的技巧，帮助学生们更好地应对这一考点。
一、空间几何基本概念的理解在解决三维几何问题时，首先需要熟悉空间几何的基本概念。
例如，点、直线、平面的定义和性质，以及它们之间的关系。
同时，还需要了解空间中的投影、距离等概念。
通过深入理解这些基本概念，可以更好地把握题目的要求，从而有针对性地进行解题。
例如，考虑以下题目：已知直线l1：x=1+t，y=2-t，z=3+2t，直线l2：x=2-2s，y=1+s，z=4-3s，求直线l1与l2的关系。
解答：首先，我们可以通过观察直线的参数方程，判断直线的方向。
对于l1，x、y、z的系数分别为1，-1，2，说明直线的方向向量为(1，-1，2)；对于l2，x、y、z的系数分别为-2，1，-3，说明直线的方向向量为(-2，1，-3)。
由于两个向量不平行，所以直线l1与l2不平行。
此外，由于两个直线都不在同一个平面上，所以直线l1与l2也不共面。
因此，直线l1与l2的关系是相交。
二、空间几何的图形刻画和分析在解决三维几何问题时，我们需要学会将题目中的几何图形进行刻画和分析。
通过绘制图形，可以更直观地理解题目的要求，从而更好地解决问题。
例如，考虑以下题目：已知四面体ABCD，其中AB=AC=AD，且∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，求四面体ABCD的体积。
解答：首先，我们可以通过绘制四面体ABCD的图形，更好地理解题目的要求。
由于AB=AC=AD，所以可以判断出四面体ABCD是一个等边四面体。
通过连接四面体的对角线，可以将四面体分割为四个等体积的四面体。
然后，我们可以利用等边四面体的性质，计算其中一个等体积四面体的体积，并乘以4得到整个四面体ABCD的体积。
三、空间几何的投影分析在解决三维几何问题时，投影分析是一个常用的方法。
如何解决高考数学中的立体几何题在高考数学中，立体几何题是一个常见的考点，也是考生普遍感觉难以解决的问题之一。
立体几何题的解答需要掌握一定的几何知识和解题技巧。
下面将介绍一些解决高考数学中的立体几何题的方法和技巧。
一、掌握基础几何知识解决立体几何题首先需要掌握基础几何知识，包括立体图形的性质、体积和表面积的计算公式等。
熟练掌握这些基础知识可以帮助我们快速理解和解答立体几何题目。
二、分析题目，确定解题思路解决立体几何题的关键是正确地分析题目，确定解题思路。
在解答题目之前，我们应该仔细读题，理解题意，并分析给出的条件和要求。
根据题目中的信息，我们可以确定使用的几何知识和解题方法。
三、画图辅助推理在解答立体几何题时，可以通过画图辅助推理的方法来帮助理解题意，推导解题过程。
画出几何图形可以很直观地展示问题，帮助我们更好地理解并解决问题。
四、运用几何定理和性质在解答立体几何题目时，应该灵活运用几何定理和性质。
比如，当涉及到平行关系时，我们可以应用平行线的性质，通过角度对应相等、内错角和等于180度的性质来解答问题。
此外，还可以利用三角形的性质和圆锥的性质等进行推理和计算。
五、运用代数方法解题解决立体几何题目时，有时也可以运用代数方法进行解答。
通过设立方程、利用等式关系等代数技巧，将几何问题转化为代数问题，从而求解方程并得到正确答案。
六、多练习，熟练掌握解题技巧高考数学中的立体几何题目都是可以通过多练习来掌握解题技巧的。
通过反复练习各类立体几何题目，不断总结和归纳解题技巧，逐渐熟练掌握解题方法，提高解题能力和准确性。
七、注意审题和解题过程的准确性在解答立体几何题目时，我们需要特别注意审题和解题过程的准确性。
要仔细分析题目中的条件和要求，确保理解正确。
在解题过程中，要注意推理和计算的准确性，避免出现错误。
总结起来，解决高考数学中的立体几何题需要掌握基础知识，分析题目确定解题思路，运用几何定理和性质，画图辅助推理，运用代数方法解题，多练习并注意准确性。
