2020九年级数学下册 专训1 圆的基本性质同步练习 (新版)沪科版

圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

（3）固定的端点O 叫做圆心。

（4）线段OA 的长为r 叫做半径。

2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。

（3）小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）经过圆心的弦叫做直径。

4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。

考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。

考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

④平行弦夹的弧相等。

沪科版九年级下册数学24.2圆的基本性质（解析版）一、单选题1．已知点P 与⊙O 在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法判断 【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可．解： ∵⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，∴OP ＞5cm ， 则点P 在⊙O 外．故选：A ．2．下面命题中，正确的是（ ）．A ．三点确定一个圆B ．垂直于弦的直线平分弦C ．经过四点不能作一个圆D ．三角形有一个且只有一个外接圆 【答案】D【解析】根据圆、垂径定理的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案．A ：经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A 错误；B ：垂直于弦的直线不一定平分弦，故B 错误；C ：经过四点可能能作一个圆，也可能不能作圆，故C 错误；D ：三角形有一个且只有一个外接圆，故D 正确；故选：D ．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点(10,0)A ，直线8y kx =+与O 交于B 、C 两点，则弦BC 长的最小值（ ）．A ．8B ．10C ．12D ．16 【答案】C【解析】 先确定直线8y kx =+必过点D (0,8)，再求出最短的弦CB 是过点D 且与该圆直径垂直的弦，先求出OD 的长，再求出OB 的长，最后根据勾股定理求得BD ，最后求出BC 的长即可．解：∵直线8y kx =+，∴无论k 为何值，该直线一定恒过(0,8)这个点，记为点D ，过圆内定点D 的所有弦中，与OD 垂直的弦最短，如图，BC OD ⊥，连结OB ，∵10OA OB ==，8OD =，∴由勾股定理可得226BD OB OD =-=，∴6CD BD ==，12BC =，∴弦BC 的最小值为12．故选：C ．4．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．15C ．16D ．8【答案】A【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2，∴CO ＝6，PO=4，∵AB ⊥CD ，∴AP=22OA OP - =2264-=25 ，∴AB ＝2AP ＝22545⨯=．故选：A ．5．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可． 解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DN ＝12MN ＝3，∴OD ＝7， ∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，∴PM ＝22PD DM +＝2243+＝5，即⊙P 的半径为5，故选：C ．二、填空题6．已知⊙O 的半径r =3cm ，PO =1cm 时，点P 与⊙O 的位置关系是________________．【答案】点P 在圆内【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．∵⊙O 的半径r=3cm ，点P 到圆心O 的距离PO=1cm ，∴点P 在⊙O 内．故答案为：点P 在圆内．7．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．【答案】4cm 或7cm【解析】当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．当点P 在圆外时，如图1，点P 到圆的最大距离与最小距离的差为8cm ，就是圆的直径，所以半径是4cm ．当点P 在圆内时，如图2，点P 到圆的最大距离与最小距离的和为14cm ，就是圆的直径，所以半径是7cm ．故答案是：4cm 或7cm ．8．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．【答案】23【解析】根据题意在Rt AOC △中求出CO ，利用垂径定理得出结果．由题意，在Rt AOC △中，1,2AO AC AB ===，3OC =，AB CD ⊥∴由垂径定理知CO DO =，223CD CO ==，故答案为：23．9．如图，已知在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD =______．【答案】3【解析】连接OD ，设圆的半径是x ，再根据锐角三角函数表示出DE 的长，在Rt ODE △中，利用勾股定理列式求出x 的值，得到圆的半径长，再求出DE 的长，最后根据垂径定理得到CD 的长．解：如图，连接OD ，设AO DO x ==，∵2OE =，∴2AE x =+，∵30BAD ∠=︒， ∴3tan 3DE BAD AE ∠==，则()323DE x =+， 在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2223223x x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，解得12x =-，24x =，∴4OD =，23DE =，根据垂径定理得243CD DE ==．故答案是：43．10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为__________．【答案】6【解析】直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=12CD ,∠ACB 是 AB 为直径所对的圆周角，由B 求∠A=90º-∠B ，利用30角所对直角边等于斜边的一半即可求出AC O 的直径AB 垂直于弦CD ，由垂经定理DE=CE=132CD = ∠ACB=90º 60B ︒∠= ∠A=90º-∠B=30º在RtΔACE 中，AC=2CE=6故答案为：6．三、解答题11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB ＝4，CD ＝1，求⊙O 半径的长．【答案】⊙O 半径的长为52． 【解析】设⊙O 的半径为r ，在Rt △ACO 中，根据勾股定理列式可求出r 的值．解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OC ＝r ﹣1，∵OD ⊥AB ，AB ＝4，∴AC ＝12AB ＝2， 在Rt △ACO 中，OA 2＝AC 2+OC 2，∴r 2＝22+（r ﹣1）2， r ＝52， 答：⊙O 半径的长为52． 12．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．【答案】（1）（2，0）；（2）在圆内．【解析】（1）由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ，根据图形即可得出点M 的坐标；（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM 的长，当DM 小于圆的半径时点D 在圆内．（1）如图1，点M 就是要找的圆心；圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）圆的半径AM =2224+=25．线段MD =22(52)2-+=13＜25，所以点D 在⊙M 内．13．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．【答案】18cm【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长．解：过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．∵OC ⊥AB 于点D ∴BD ＝12AB ＝12×60＝30cm ， ∵⊙O 的直径为68cm ∴OB=OC ＝34cm∵在Rt △ODB 中，OD=2222343016OB BD -=-=（cm ），∴DC ＝OC ﹣OD ＝34﹣16＝18（cm ）；答：油的最大深度为18cm ．14．如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =．（1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．【答案】（1）5；（25【解析】（1）连接OA ，根据AB=8cm ，CD=2cm ，C 为AB 的中点，设半径为r ，由勾股定理即可求出r ； （2）先求出AE 的长，根据垂径定理可知：OF ⊥AE ，FE=FA ，再利用勾股定理即可求得OF 的长． 解：（1）连接OA ，如图所示∵C 为AB 的中点，8AB cm =，∴4AC cm =又∵2CD cm =设O 的半径为r ，则()22224r r -+= 解得：=5r（2）523OC OD CD =-=-=，538EC EO OC =+=+=∴22224845EA AC EC =+=+=∵OF ⊥AE ，∴FE=FA ，∴45252EA EF === ∴2225205OF EO EF =-=-=．15．1．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD ＝3：5，则AB 的长为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．91【答案】C【解析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5求出OD 及OM 的长，再根据勾股定理可求出AM 的长，进而得出结论．【详解】连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OD ＝3：5，∴OD ＝10，OM ＝6，∵AB ⊥CD ，∴2222106=8AM OA OM =-=-，∴AB ＝2AM ＝16．故选：C ．16.如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）A ．6B ．10C ．211D ．43【答案】C【解析】 过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出222OG OB BG =-=，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出45,222OEG OE OG ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出122OF OE ==，由勾股定理得出11DF =，即可得出答案．解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示： 则1,32DF CF AG BG AB ====，∴2EG AG AE =-=，在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，∴EG OG =，∴EOG ∆是等腰直角三角形，∴45OEG ∠=︒，222OE OG ==，∵75DEB ∠=︒，∴30OEF ∠=︒，∴122OF OE ==，在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，∴2211CD DF ==；故选C ．。

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24。

2.2 圆的基本性质同步检测一、选择题:1。

圆是轴对称图形，它的对称轴有( ).A 。

一条B 。

两条C 。

三条D 。

无数条2.在⊙O 中,圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）。

A.42 B.82 C 。

24 D 。

163。

下列命题中错误的命题有（ ）。

(1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；（4)圆的对称轴是直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4。

如图24—2—4,过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）。

A.3cmB.6cmC.8cm D 。

9cm二、填空题:5.已知⊙0的半径为13,一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．6。

已知⊙O•中，•弦AB•的长是8cm ，•圆心O•到AB•的距离为3cm,•则⊙O•的直径是_____cm ．7。

已知⊙O 中，OC⊥弦AB 于C,AB=6，OC=3,则⊙O 的半径长等于________.图24-2-4图24-2-58。

[24.2 第4课时圆的确定]一、选择题1．用反证法证明“a＞b”时应假设( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b2．下列条件中能确定一个圆的是( )A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个顶点3．三角形的外心是( )A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条内角平分线的交点4．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是链接听课例2归纳总结( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定5．2018·烟台如图K－6－1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为( )图K－6－1A ．(－1，－2)B ．(－1，－3)C ．(－2，－2)D ．(－3，－1)6．2017·山西公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下：假设2是有理数，那么它可以表示成q p (p 与q 是互质的两个正整数)．于是(q p)2＝(2)2＝2，所以q 2＝2p 2.于是q 2是偶数，进而q 是偶数．从而可设q ＝2m ，所以(2m )2＝2p 2，p 2＝2m 2，于是可得p 也是偶数．这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有理数”的假设不成立，所以，2是无理数．这种证明“2是无理数”的方法是( ) A ．综合法 B ．反证法C ．举反例法D ．数学归纳法 二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点A (1，0)，B (0，－3)，C (2，－3)__________确定一个圆(填“能”或“不能”)．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图K －6－2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第________块.链接听课例1归纳总结图K －6－210．2017·宁夏如图K －6－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格的格点上，过A ，B ，C 三点的圆除经过A ，B ，C 三点外还经过的格点有________个．图K －6－311．2017·巢湖月考若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M ，使⊙M 经过点A (－4，0)，B (0，－2)，O (0，0)，求点M 的坐标．13.求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.链接听课例3归纳总结14．如图K－6－4所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图K－6－415．如图K－6－5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图K－6－516．如图K－6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝24，BD＝10，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点．试求以E，F，G三点所确定的圆的周长．(结果保留π)图K－6－6如图K－6－7，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E 为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC的外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] D 反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，故证明“a ＞b ”时应假设“a ≤b ”．2．[解析] D 确定一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确定一个圆；过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆．综上所述，选项D 正确．3．[答案] B 4．[解析] A △ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的内部，则△ABC 是锐角三角形．故选A. 5．[解析] A 根据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC ，AB 的垂直平分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－2)．6．[解析] B 阅读材料中的证明方法符合反证法的步骤． 7．[答案] 能[解析] ∵B(0，－3)，C(2，－3)，∴BC ∥x 轴， 而点A(1，0)在x 轴上，∴点A ，B ，C 不共线，∴三个点A(1，0)，B(0，－3)，C(2，－3)能确定一个圆． 8．[答案] 在一个三角形中有两个内角为钝角 9．[答案] ② 10．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆， 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.11．[答案] 2－3或2＋ 3 [解析] 如图，当△ABC 是钝角三角形时，△BOC 是等边三角形，且∠AOB ＝∠AOC ＝30°，BD ＝CD ＝1，∴OD ＝3BD ＝3，则AD ＝OA －OD ＝2－3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2－3)＝2－3；当△ABC 是锐角三角形时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2＋3)＝2＋ 3.12．解：如图所示：∵△AOB 是直角三角形，∴△AOB 的外心M 是斜边AB 的中点．过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，作MD ⊥y 轴于点D ，则MD ∥OA ，MC ∥OB ， ∴C 是OA 的中点，D 是OB 的中点， ∴OC ＝12OA ＝2，OD ＝12OB ＝1，∴点M 的坐标为(－2，－1)．13．解：已知：如图所示，直线AB ∥EF ，CD ∥EF.求证：AB ∥CD.证明：假设AB 与CD 不平行，则直线AB 与CD 相交，设它们的交点为P ，于是经过点P 就有两条直线(AB ，CD)都和直线EF 平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 所以假设不成立，故AB ∥CD.14．证明：如图所示，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ， ∴E ，B ，C ，D 四点在以点F 为圆心，12BC 为半径的圆上．15．解：(1)用尺规作出两边(如AB ，AC)的垂直平分线，交点即为圆心O ，以OA 为半径作出⊙O ，⊙O 即为所求(图略)．(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC ＝10米．∵直角三角形的外心为斜边的中点， ∴△ABC 外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 16．解：如图，连接EF ，FG ，EG.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，且EF ＝12AC ＝12.同理可得FG ∥BD ，且FG ＝12BD ＝5.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG.∵在Rt △EFG 中，EF ＝12，FG ＝5，∴EG ＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长， ∴以E ，F ，G 三点所确定的圆的周长为13π. [素养提升]解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO.又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 的外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝ ∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴5AE ＝45，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠AEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设OB ＝x ，则OD ＝4－x ，在Rt △OBD 中，有32＋(4－x)2＝x 2， 解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.。

沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对3、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90 B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦6、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°9、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）4、如图，一次函数1y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，作ABO 的外接圆C ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB ＝AC ，∴点C 在⊙A 上∵BC ＝BD ，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC ＝12∠CAD∵点D ，P 在⊙A 上，∴∠CPD ＝12∠CAD （______________________） （填推理的依据）∴∠APC ＝∠BAC2、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．3、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．4、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．5、如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC ，请画出将△ABC 绕点C 旋转180°得到的△A 'B 'C '．（需写出△A 'B 'C '各顶点的坐标）．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180 后能与自身重合.2、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．3、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90 ，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．7、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】×2π×2×3＝6π（cm2）．解：它的侧面展开图的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r ，则周长为2πr ， 120°所对应的弧长为120222π3603r r ππ︒⨯==︒ 解得r =3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、12【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．2-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．332π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．5【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，CE CD DE CD2∴CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴AB∴∵∠AMC=2∠AOC=120°，∴=AC=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案 【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，∵BC 是弦，OA ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．4、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．5、A '（-1，-3），B '（1，-1），C '（-2,0），画图见解析．【分析】先画出点A ，B 关于点C 中心对称的点A '，B '，再连接A '，B '，C 即可解题．【详解】解： A 关于点C 中心对称的点A '（-1，-3），B 关于点C 中心对称的点B '（1，-1），C 关于点C 中心对称的点C '（-2,0），如图，△A 'B 'C '即为所求作图形．【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．。

沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．D ．2、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．D ．4cm3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．54 B ．1 C ．2 D ．525、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π6、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（ ）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°7、如图，AB 为O 的直径，4AB =，CD =BC 的长是劣弧BD 长的2倍，则AC 的长为（ ）A ．B ．C ．3D ．8、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到AB C ''△，则图中阴影部分面积为（ ）A ．4πB ．8π-C ．4π-D ．9、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，若∠BAC ＝30°，BC ＝2，则AB 的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．1010、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A．7(,0)3-B．17(,0)3-C．7(,0)3-或17(,0)3-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．2、在平面直角坐标系中，将点(2,7)P-绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q，则点Q的坐标是___________．3、如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，AB ＝10，BC ＝12，D 是BC 上一点，CD ＝5，则AD 的长为______．4、如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，若58P ∠=︒，则ACB ∠的度数为________．5、AB 是O 的内接正六边形一边，点P 是优弧AB 上的一点（点P 不与点A ，B 重合）且BP OA ∥，AP 与OB 交于点C ，则OCP ∠的度数为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA ＝∠C ．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．2、如图，ABC内接于O，BC是O的直径，D是AC延长线上一点．∠的角平分线交O于点P．（保留作图痕迹，不写作法）（1）请用尺规完成基本作图：作出DCB⊥，垂足为E．则PE与O有怎样的位置关系？请说明（2）在（1）所作的图形中，过点P作PE AC理由．3、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）4、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若BE=5，DE=13，求AB的长-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．2、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB 于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2）， 即1432AB OM， 134322r r ，解得r =4，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．3、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．5、D【分析】根据垂径定理求得CE =EDCOE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CDCEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===， 又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．6、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、D【分析】连接,,OC OD BC ，根据AB 求得半径,OC OD ，进而根据CD 的长，勾股定理的逆定理证明90COD ∠=︒，根据弧长关系可得60COB ∠=︒，即可证明COB △是等边三角形，求得2BC =，进而由勾股定理即可求得AC【详解】如图，连接,,OC OD BC ，4AB =2OC OD ∴==228OC OD +=，28CD =∴222OC OD CD +=OCD ∴是直角三角形，且90COD ∠=︒2CB DB ∴=23BC CD ∴= 2603BOC COD ∴∠=⨯∠=︒ OC OB =OBC ∴是等边三角形2BC OC ∴== AB 是直径，4AB =90ACB ∴∠=︒AC ∴=故选D【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得BC 的长是解题的关键．8、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．9、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10、C【分析】由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】 解：∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x =0，得y =-3，令y =0，得x =-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC的外接圆，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，∴在圆上运动，D当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作AB的垂线交于点E，如图：=∠=︒，4120AB ADB∴∠=︒=30,DBE BE12DE BD ∴=， 在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．3、3【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，根据圆周角定理可得∠ACB =∠B =∠D ，AB =AC =10，再由等腰三角形的性质可知BE =CE =6，根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△CDF ，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE 、DF 、CF ， AF 即可求解．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，则∠AEB =∠CFD =90°，∵AB ＝AC ， AB ＝10，∴∠ACB =∠B =∠D ，AB=AC=10，∵AE ⊥BC ，BC =12，∴BE=CE=6，∴8AE ===，∵∠B =∠D ，∠AEB =∠CFD =90°，∴△ABE ∽△CDF ， ∴AB BE AE CD DF CF==， ∵AB =10，CD =5，BE =6，AE =8， ∴10685DF CF==， 解得：DF =3，CF =4，在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，AC =10，CF=4，则AF =∴AD=DF+AF=3＋故答案为：3＋【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．4、61︒【分析】根据已知条件可得出90OAP OBP ∠=∠=︒，122AOB ∠=︒，再利用圆周角定理得出1612C AOB ∠=∠=︒即可．【详解】解：PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，180********AOB P ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，111226122C AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：61︒．【点睛】本题考查的知识点是切线的性质以及圆周角定理，掌握以上知识点是解此题的关键．5、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键三、解答题1、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论； （2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=， 即863BC =， 94BC ∴=． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．2、（1）作图见解析（2）PE 是O 的切线，理由见解析【分析】（1）如图1所示，以点C 为圆心，大于OC 为半径画弧，交BC 于点N ，交CD 于点M ；分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长度为半径画弧，交点为G ，连接CG 即为DCB ∠角平分线，与O 的交点即为点P ．（2）如图2所示，连接、OP BP ，由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠，12DCP PCO ECO ∠=∠=∠；在四边形CEPO 中，=3603609022OPE PEC ECO POC PCO PBO ∠︒-∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠，90PCO PBO ∠+∠=︒，求出90OPE ∠=︒，得出OP PE ⊥，由于OP 是半径，故有PE 是O 的切线．（1）解：如图1所示（2）解：PE 是O 的切线．如图2所示，连接、OP BP由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠， 12DCP PCO ECO ∠=∠=∠ 在四边形CEPO 中=360OPE PEC ECO POC ∠︒-∠-∠-∠3609022PCO PBO =︒-︒-∠-∠∵90PCO PBO ∠+∠=︒∴3609029090OPE ∠=︒-︒-⨯︒=︒∴OP PE ⊥又∵OP 是半径∴PE 是O 的切线【点睛】本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用．3、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC 的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1） 解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π；（2）解：∵阴影部分的面积＝S 半圆+S 扇形BAC ﹣S 半圆＝S 扇形BAC ， ∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π． 答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇． 4、（1（2 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，PG =的面积公式即可得到结论．（1） 解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠，BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠，()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，BH GH ∴=，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB==，1BQ∴=，30BCQ∴∠=︒，90ECG∠=︒，60GCM∴∠=︒，1 CG AB CD===，GM ∴=12 CM=，BG∴=（2）解：如图3，连接DB，DG，过G作GP BC⊥交BC的延长线于P，GN DC⊥交DC的延长线于N，24BC AB==，2AB∴=，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE ，12CD CE ∴=， 30DEC ∴∠=︒，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =，1NG ∴=，PG =5DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+BG2DBG S DM BG ∆∴= 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．5、（1）见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∵△ACD ≌△BCE ，∴BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，∴∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，∴12BD ==，∴AB =AD +BD =17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。

沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60 得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．523、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．104、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（）A．60 B．90 C．120 D．1805、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB ，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm6、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80°B．70°C．60°D．50°7、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．64°B．52°C．42°D．36°8、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（）A．.等腰三角形B．等边三角形C．.直角三角形D．.等腰直角三角形9、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点()1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AM =BMB ．CM =DMC ．AC BC =D ．AD BD =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的半圆O 上有一动点B ，点()3,0A ，ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点，且C 在第一象限，则线段OC 长度的最大值为______．2、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．3、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．4、如图，在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2，使∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt △OA 2A 3，Rt △OA 3A 4…，若点A 0的坐标是（1，0），则点A 2021的横坐标是___________．5、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若2,4FH BF ==，求弧CD 的长．2、如图，已知线段4MN =，点A 在线段MN 上，且1AM =，点B 为线段AN 上的一个动点．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，旋转角分别为α和β．若旋转后M 、N 两点重合成一点C （即构成ABC ），设AB x =．（1）ABC 的周长为_______；（2）若270αβ+=︒，求x 的值．3、在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，连接CE ．（1）如图1，当B 、A 、E 三点共线时，连接AE ，若2AB =，求CE 的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD AB BE+的值． 4、如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴的负半轴上，顶点CD 在第二象限．将正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转，B 、C 、D 的对应点分别为B 1、C 1、D 1，且D 1、C 1、O 三点在一条直线上．记点D 1的坐标是（m ，n ），C 1的坐标是（p ，q ）．（1）设∠DAD 1＝30°，n ＝2，求证：OD 1的长度；（2）若∠DAD 1＜90°，m ，n 满足m +n ＝﹣4，p 2+q 2＝25，求p +q 的值．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．2、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．3、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．4、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°． 故选C ．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．5、C【分析】连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∴∠DAC =50°，∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°故选A ．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．7、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC ′=∠CAB =64°，再根据旋转的性质得∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC ′=∠AC ′C =64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC ′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB =64°∵△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，∴∠ACC ′=∠AC ′C =64°，∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠AC ′C =180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8、D【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．【详解】解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，∴∠ECF＝90°，CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．9、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k>,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．10、B【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，∴AM=BM，AC BC=，AD BD=，即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，当根据已知条件得CM和DM不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．二、填空题1、1+【分析】过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据ABC为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA =DC ，在Rt△EBO中，根据勾股定理OE == 得出CD =AE3，根据勾股定理COOD =CD时OC 最大，OC=此时3x =解方程即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ，∵点A （3，0）∴AD =x -3，∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠BAE +∠CAD =180°-∠BAC =180°-90°=90°，∵CD ⊥x 轴， BE ⊥x 轴，∴∠BEA =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°，∴∠ACD =∠BAE ，在△BAE 和△ACD 中，BEA ADC BAE ACD BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△ACD （AAS ），∴BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO 中，OB =1，BE = x -3，根据勾股定理OE ==∴EA =OE +OA 3，∴CD =AE 3，∴CO当OD =CD 时OC 最大，OC ，此时3x =，∴()()22313x x -=--，∴()2132x -=，∴3x -=∴13x =，23x =-，∴线段OC 31⎛=+=+ ⎝⎭故答案为：1+【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．2、5【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长．【详解】解：由勾股定理得：AB，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．3、2【分析】根据扇形的面积公式S ＝12lr ，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于6，∴半径r 为163⨯＝2，弧长l 为2， 这个扇形的面积为：12lr ＝1222⨯⨯＝2． 答案为：2．【点睛】 本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式12S lR =与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底，R 看成底边上的高即可．4、22020【分析】根据0190OA A ∠=︒，1060AOA ∠=︒，点0A 的坐标是()1,0，得01OA =，点1A 的横坐标是012=，点2A 的横坐标是-12，同理可得点3A 的横坐标是32-，点4A 的横坐标是32-，点5A 的横坐标是42，点6A 的横坐标是62，点7A 的横坐标是62，依次进行下去，可得点n A 的横坐标，进而求得2021A 的横坐标．【详解】解：∵∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，点A 0的坐标是（1，0），∴OA 0＝1，∴点A 1 的横坐标是 1＝20，∴OA 1＝2OA 0＝2，∵∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，∴OA 2＝2OA 1＝4，∴点A 2 的横坐标是- 12OA 2＝-2＝-21，依次进行下去，Rt△OA 2A 3，Rt△OA 3A 4…，同理可得：点A 3 的横坐标是﹣2OA 2＝﹣8＝﹣23，点A 4 的横坐标是﹣8＝﹣23，点A 5 的横坐标是 12OA 5＝12×2OA 4＝2OA 3＝4OA 2＝16＝24，点A 6 的横坐标是2OA 5＝2×2OA 4＝23OA 3＝64＝26，点A 7 的横坐标是64＝26，…发现规律，6次一循环，即()16112n n A --+= ()16122n n A --+=-()6132n n A -+=-，()16142n n A --+=-，()16152n n A --+=2021÷6=336 (5)则点A 2021的横坐标与()615n A -+的坐标规律一致是 22020．故答案为：22020．【点睛】本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A 3n 在x 轴上，且坐标为()312n n -⋅．5、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得． 【详解】 解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==． 故答案是：3π． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．三、解答题1、（1）相切，见解析（2）83π【分析】（1）连接OC 、OD 、AC ，OC 交AF 于点M ，根据AG ＝CG ，CD ⊥AB ，可得CF CA =，从而OC ⊥AF ，再由∠AFB ＝90°，可得CH ∥AF ，即可求证；（2）先证明四边形CMFH 为矩形，可得OC ⊥AF ，CM ＝HF ＝2，从而得到AM ＝FM ，进而得到OM ＝12BF ＝2，可得到CM ＝OM ，进而得到 OC =4，AM 垂直平分OC ，可证得△AOC 为等边三角形，即可求解．（1）解： CH与⊙O相切．理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，∵AG＝CG，∴∠ACG＝∠CAG，∴CF DA=，∵CD⊥AB，∴CA DA=，∴CF CA=，∴OC⊥AF，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∵BH⊥CH，∴CH∥AF，∴OC⊥CH，∵OC为半径，∴CH为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，∴OC∥BH，∵CH∥AF，∴四边形CMFH为平行四边形，∵OC⊥CH，∴∠OCH=90°，∴四边形CMFH为矩形，∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，∴AM＝FM，∵点O为AB的中点，BF＝2，∴OM＝12∴CM=OM，∴OC=4，AM垂直平分OC，∴AC＝AO，而AO＝OC，∴AC＝OC＝OA，,∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵AC AD，∴∠AOD＝∠AOC＝60°，∴∠COD＝120°，∴弧CD的长度为120481803ππ⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、（1）4（2）5 3【分析】（1）由旋转知：AM=AC=1，BN=BC，将△ABC的周长转化为MN；（2）由α+β=270°，得∠ACB=90°，利用勾股定理列方程即可．（1）解：由旋转知：AM=AC=1，BN=BC=3-x，∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=MN=4；故答案为：4；（2）解：∵α+β=270°，∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-90°=90°，∴AC2+BC2=AB2，即12+（3-x）2=x2，解得53x =．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明∠ACB =90°是解题的关键．3、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3 【分析】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得CD AB BE +的值 【详解】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，,120BD DE BDE∴=∠=︒30DBE DEB∴∠=∠=︒ABC是等边三角形60,ABC AB AC∴∠=︒=，112AH AB==CH∴=30 CBD ABC ABD∠=∠-∠=︒BD AC ∴⊥，112AD DC AB===BD∴=60BAC∠=︒120EAD∴∠=︒18030 ADE EAD AED∴∠=︒-∠-∠=︒AED ADE∴∠=∠1AE AD ∴==在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，点F 是CE 的中点FE FC ∴=又FK DF =∴四边形CDFK 是平行四边形ED KC ∴=，ED KC ∥∴EDA KCA ∠=∠将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒BD KC ∴=ABC 是等边三角形AB AC ∴=PD BC ∥60APD ABC ∴∠=∠=︒，CBD PDB ∠=∠，APD ∴是等边三角形AD AP ∴=AB AC =DC PB ∴=设CBD α∠=，则PDB α∠=,∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒-ED KC ∥60ACK ADE α∴∠=∠=︒-ABD ACK ∴∠=∠∴ABD ACK ≌AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒AKD ∴是等边三角形DF FK =1302FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12DF AD ∴= 即2AD DF =（3） 如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，90GMD GFD ∴∠=∠=︒,,,B D F G ∴四点共圆FGD FMD ∴∠=∠由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒60ADF ∴∠=︒FG FD =45FDG FGD ∴∠=∠=︒45FGD FMD ∠=∠=︒将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒12MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，MF ∴是EBC 的中位线MF BC ∴∥45EBC EMF ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒NBD ∴是等腰直角三角形ND NB ∴=60BAC ∠=︒90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒90,AFD DN AB ∠=︒⊥∴四边形ANDF 是矩形ND AF ∴=，AN DF =设1AN DF ==在Rt ADE △中，22AD DF ==AF ∴1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=121DC AC AD AB AD ∴=-=-==在Rt NBD 中,ND NB AF ===BD ∴==在Rt MBD 中MB ==2BE BM ∴==22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)211=+=CD AB BE +=∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．4、（1）4；（2）-1或-7【分析】（1）如图，130DAD ∠=︒且11D C O 、、三点在一条直线上的情况，连接1D O ，过点D 向x 作垂线交点为E ，在直角三角形1D EO 中，1130AD E AOD ∠=︒=∠，11sin30D E OD =︒，可求1D O 的长； （2）如图，过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M ；由111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，知111AND C MD ≌，11D N D M =，点G 坐标为()4,0G -，得4p =-，由2225p q +=知q 的值，从而得到p q +的值．【详解】解：（1）∵∠DAD 1＝30°且D 1、C 1、O 三点在一条直线上∴如图所示，连接1OD ，过点1D 向x 作垂线交点为E∴1130AD E AOD ∠=︒=∠∵12n D E ==111sin302D E OD ∴=︒= 14OD ∴=．（2）如图过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M11190AND D MC ∠=∠=︒，111111190AD N ND C ND C C D M ∠+∠=∠+∠=︒111AD N C D M ∴∠=∠在1AND 和11C MD 中111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()111AND C MD AAS ∴≌11D N D M ∴=G 点横坐标可表示为14m NG m D M m n +=+=+=-()4,0G ∴-4p ∴=-2225p q +=3q ∴=±∴p +q =-7或-1．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．5、（1）作图见解析；（2【分析】（1）由于D 点为⊙O 的切点，即可得到OC =OD ，且OD ⊥AB ，则可确定O 点在∠A 的角平分线上，所以应先画出∠A 的角平分线，与BC 的交点即为O 点，再以O 为圆心，OC 为半径画出圆即可；（2）连接CD 和OD ，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB 的度数，然后进一步求出∠COD 的度数，并结合三角函数求出OC 的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A 的角平分线，交BC 于O 点，以O 为圆心，OC 为半径画出⊙O 即为所求；（2）如图所示，连接CD和OD，由题意，AD为⊙O的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．。

专训1：圆的基本性质名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．弦、弧之间的关系1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第2题)2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则下列结论正确的是( )A ．AB>2CDB ．AB ＝2CDC ．AB<2CD D ．以上都不正确3．如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等，求证：AD ︵＝BC ︵.(第3题)圆周角、圆心角之间的关系4．如图，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，且∠CAB ＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第4题)弧、圆周角之间的关系5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．(第5题)弦、圆心角之间的关系6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．(第6题)弦、弧、圆心角之间的关系7．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．【导学号：31782088】(第7题)专训2：垂径定理的四种应用技巧名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，C D⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【导学号：31782089】(第2题)巧用垂径定理证明3．如图，在△AOB中，OA＝OB，以点O为圆心的圆交AB于C，D两点．求证：AC＝BD.(第3题)巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案专训11．C 点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确． 2．C3．证明：∵AB＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.4．证明：在⊙O 中，∠CAB，∠COB 是CB ︵所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA .又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.5．解：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ADC，∠ABC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°.6．解：BD ＝DE ＝EC.理由如下：连接OD ，OE. ∵OB＝OD ＝OE ＝OC ，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD 与△COE 都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°，∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE ＝EC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD ，OE ，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7．解：四边形OBDC 是菱形，理由如下： 连接AD ，设AD 与BC 交于P 点， ∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵.同理BD ︵＝CD ︵，∴AB ︵＋BD ︵＝AC ︵＋CD ︵，即ABD ︵和ACD ︵都是半圆．∴AD 为⊙O 的直径，即AD 过圆心O.∵AB＝BC ＝CA ，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD ＝BD ，OC ＝CD ＝DO.∴OB＝OC ＝BD ＝CD ，∴四边形OBDC 是菱形．专训2(第1题)1．解：如图，连接CM ，作MN⊥CD 于N ，CH⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形， ∴CD＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN⊥CD ，∴CN＝DN ＝12CD ＝4.∵OA＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3. ∴CH＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．(第2题)(第3题)3．证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E ，则CE ＝DE. ∵OA＝OB ，∴AE＝BE. ∵AE－CE ＝BE －DE ， ∴AC＝BD.4．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，ON ，作OD⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．(第4题)设OA ＝r m ，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4) m ，AD ＝12AB ＝3.6 m .在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2， 即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m )．所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m )．因为2.1 m ＞2 m ，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。

沪科版九年级数学下册
第24章圆
24.2圆的基本性质（1）
选择题
1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是()
A. D在圆内B．D在圆上C．D在圆外D．不能确定
2．下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．下面的四个判断中，正确的一个是()
A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦；
B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦；
C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦；
D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．
4．下列说法中，正确的有()
①菱形的四个顶点在同一个圆上；
②矩形的四个顶点在同一个圆上；
③正方形四条边的中点在同一个圆上；
④平行四边形四条边的中点在同一个圆上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
5.半径为5 cm的定圆O中，长度为6 cm的弦的中点的集合是______.
6．平面内一点到圆上点的最小距离是2cm，最大距离是8 cm．那么这个圆的半径________.。