浙教版八年级数学下册平行四边形练习讲解学习

平行四边形的判定定理（提高）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．（1）在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形．（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是________________.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．举一反三【变式】（2016•呼伦贝尔）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．【答案与解析】【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．3、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ，∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OF=OE ，∴四边形AECF 是平行四边形．【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2015•河南模拟）如图，△ABC 中AB=AC ，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已点知D 、E 移动的速度相同，DE 与直线BC 相交于点F ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，过点D 作AC 的平行线交BC 于点G ，连接CD 、GE ，判定四边形CDGE 的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．5、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD ，AB ∥CD ，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF ．再由SAS 可证△GBE ≌△HDF ，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE ，从而得GE ∥HF ，又GE=HF ，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ．又∵AG=CH ，∴BG=DH ．又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ，∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三 【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∴BO-BE=DO-DF ，即：EO=FO，同理：△ABG≌△CDH，∴AG=CH，∴AO-AG=CO-CH，即：GO=OH，∴四边形GEHF是平行四边形．。

平行四边形一、多边形1.定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．n 边形：边数为n 的多边形叫n 边形(n 为正整数，且n ≥3).顶点：多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角.外角：多边形的一边的邻边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形内角和定理（1）四边形内角和等于360°； （2）n 边形内角和为（n-2）×180°（n ≥3）；（3）任何多边形的外角和为360°.4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形，比如：等边三角形，正方形等.（1）正n边形的每个内角都相等，都等于； （2）正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于n360︒. 二、平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，平行四边形ABCD 记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”. (2)180n n-°知识梳理2.平行四边形的性质（1）边：平行四边形的对边平行且相等；（2）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（3）线：平行四边形的对角线互相平分.3.平行线性质定理及推论（1）定理：夹在两条平行线间的平行线段相等；（2）推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.（3）平行线之间的距离：指两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.4.中心对称（1）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．【注】对称中心平分连结两个对称点的线段.（2）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．5.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.三、中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.【注】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.四、反证法1.定义：在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.2.反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．1214。

浙教版八年级数学下册《第 5 章特别平行四边形》单元练习(B)及分析浙教新版八年级下第5 章特别的平行四边形练习 B 卷姓名： __________班级： __________考号： __________一、选择题（本大题共11 小题）1.如图，在菱形 ABCD中， AB=5，对角线 AC=6．若过点 A 作 AE⊥ BC，垂足为 E，则 AE的长为 ( )A．4B．C．D．52. 小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题，从以下四个条件：①AB＝ BC，②∠ ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为增补条件，使?ABCD为正方形 ( 如图 ) ．现有以下四种选法，你以为此中错误的选项是()A．①②B．②③C．①③D．②④3.以下说法：①三角形的三条高必定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形此中正确的个数有（）A．1 个B．2 个C．3个D．4 个4. 把边长为 3 的正方形ABCD绕点 A 顺时针旋转45°获得正方形AB′ C′ D′，边 BC与 D′ C′交于点 O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．5.如图，在正方形ABCD中，连结 BD，点 O是 BD的中点，若M、 N 是边 AD上的两点，连结MO、 NO，并分别延伸交边BC于两点 M′、 N′，则图中的全等三角形共有（）A．2 对B．3 对C．4对D．5 对6.如图，菱形纸片ABCD中，∠ A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点 C 落在 DP（ P 为 AB 中点）所在的直线上，获得经过点 D 的折痕 DE．则∠ DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°7. 把两块形状大小完整同样的含有45 角的三角板的一边拼在一同，则所获得的图形不行能有（）A．正方形B．等边三角形C．等腰直角三角形D、平行四边形（非矩形、菱形、正方形）8.如图，∠ ACB=90°， D 为 AB的中点，连结 DC并延伸到 E，使 CE= CD，过点 B 作 BF∥ DE，与 AE的延伸线交于点F．若 AB=6，则 BF 的长为（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 109.. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线 AC长和 BD长之比为（）A． 1:2B． 1:3C． 1:D． 1:10.如图，点 P是矩形 ABCD的边 AD上的一动点，矩形的两条边 AB、BC的长分别是 6和 8，则点 P到矩形的两条对角线 AC和 BD的距离之和是（）A．B． 5C． 6D．11.如图，将△ ABC沿着过 AB 中点 D的直线折叠，使点 A 落在 BC边上的 A1处，称为第1次操作，折痕 DE到 BC的距离记为 h 1；复原纸片后，再将△ADE沿着过 AD中点 D1的直线折叠，使点A落在 DE边上的 A 处，称为第 2 次操作，折痕DE到BC的距离记为h ；按上述方法不停操作下2 1 1 2去，经过第2015 次操作后获得的折痕D2014E2014到 BC的距离记为h2015.若 h l= 1，则 h2015的值为 ( )1 1C．1121A．22015 B．22014 22015 D．22014二、填空题（本大题共 6 小题）12.在菱形 ABCD中，对角线A C、 BD长分别为 8cm、6cm，则菱形的面积为．13.如图，菱形 ABCD的对角线 AC、 BD订交于点 O，且 AC=8， BD=6，过点 O作 OH丄 AB，垂足为 H，则点 0 到边 AB的距离 OH=．14. 如图，菱形ABCD1的边长为1，B1 60；作AD2BC D2 ，以AD2为一边，做第二1 1 1 1于点个菱形AB2 C2 D2，使B2 60 ；作 AD3 B2 C2 于点 D3，以 AD3 为一边做第三个菱形ABCD，使B3 60 ；依此类推，这样做的第n 个菱形ABCDn 的边ADn 的长是3 3 3 n n_____________.15.如图，点 E 在正方形 ABCD的边 CD上，若△ ABE的面积为18，CE=4，则线段 BE的长为．16.如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、 BD订交于点 O，点 E、 F 分别是 AO、 AD的中点，若 AB=6cm，BC=8cm，则△ AEF的周长 =cm．17.如图，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 BC上的一点， BE=1，F 为 AB上的一点， AF=2，P 为 AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．4三、解答题（本大题共7 小题）18.如图，在平行四边形 ABCD中，已知点 E 在 AB 上，点 F 在 CD上，且 AE=CF．求证： DE=BF．19.如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， D， E 分别为 AC， AB 的中点， BF∥ CE交 DE的延伸线于点 F．（1）求证：四边形 ECBF是平行四边形；（2）当∠ A=30°时，求证：四边形 ECBF是菱形．20.如图，已知 BD是矩形 ABCD的对角线．（ 1）用直尺和圆规作线段BD的垂直均分线，分别交AD、 BC于 E、 F（保存作图印迹，不写作法和证明）．（ 2）连结 BE， DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明原因．21.如图，将一张直角三角形 ABC纸片沿斜边 AB上的中线 CD剪开，获得△ ACD，再将△ ACD沿 DB方向平移到△ A′ C′D′的地点，若平移开始后点D′未抵达点 B 时， A′C′交 CD于 E，D′ C′交CB于点 F，连结 EF，当四边形EDD′ F 为菱形时，尝试究△A′ DE的形状，并判断△A′ DE与△EFC′能否全等？请说明原因．22.如图，已知△ ABC，按以下步骤作图：①分别以A， C 为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P， Q两点；②作直线PQ，分别交 AB，AC于点 E，D，连结 CE；③过 C 作 CF∥ AB交 PQ于点 F，连结 AF．（1）求证：△ AED≌△ CFD；（2）求证：四边形 AECF是菱形．23.如图， P 是矩形 ABCD下方一点，将△ PCD绕 P 点顺时针旋转 60°后恰巧 D 点与 A 点重合，获得△PEA，连结 EB．（1）判断△ ABE形状？并说明原因；（2）若 AB=2， AD=3 ，求 PE的长．24.如图 1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）观点理解：如图 2，在四边形 ABCD中， AB=AD， CB=CD，问四边形 ABCD是垂美四边形吗？请说明原因．（2）性质研究：尝试究垂美四边形 ABCD两组对边 AB， CD与 BC， AD之间的数目关系．猜想结论：（要求用文字语言表达）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图 3，分别以 Rt△ ACB的直角边 AC和斜边 AB为边向外作正方形 ACFG和正方形ABDE，连结 CE， BG，GE，已知 AC=4， AB=5，求 GE长．浙教新版八年级下第 6 章特别的平行四边形练习 B 卷答案分析一、选择题25.剖析：连结 BD，依据菱形的性质可得AC⊥ BD，AO= AC，而后依据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，而后再依据面积公式BC?AE= AC?BD可得答案．解：连结BD，交 AC于 O点，∵四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD=5，∴ AC⊥ BD， AO= AC， BD=2BO，∴∠ AOB=90°，∵ AC=6，∴ AO=3，∴ B0==4，∴ DB=8，∴菱形 ABCD的面积是×AC?DB=×6×8=24，∴B C?AE=24，AE=，应选： C．26.剖析：利用正方形的判断进行判断解： A．∵四边形ABCD是平行四边形，当① AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项不切合题意；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当 AC＝ BD时，这是矩形的性质，没法得出四边形ABCD是正方形，故此选项切合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，当① AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③ AC＝BD时，菱形 ABCD是正方形，故此选项不切合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④ AC⊥BD时，矩形 ABCD是正方形，故此选项不切合题意．答案 B27.解：①错误，原因：钝角三角形有两条高在三角形外．②错误，原因：有一个角是直角的四边形是矩形不必定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．④错误，原因两边及一角对应相等的两个三角形不必定全等．⑤错误，原因：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不必定是平行四边形有可能是等腰梯形．正确的只有③，应选 A．28. 剖析：由边长为 3 的正方形 ABCD绕点 A 顺时针旋转45°获得正方形AB′ C′ D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再依据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形 ABOD′的周长．解：连结BC′，∵旋转角∠ BAB′=45°，∠ BAD′ =45°，∴ B 在对角线 AC′上，∵ B′ C′=AB′ =3，在 Rt △ AB′ C′中， AC′ = =3 ，∴ B′ C=3 ﹣3，在等腰 Rt△ OBC′中， OB=BC′ =3 ﹣ 3，在直角三角形 OBC′中， OC= （3 ﹣ 3） =6﹣3 ，∴ OD′ =3﹣ OC′ =3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是： 2AD′ +OB+OD′ =6+3﹣3+3﹣3=6．应选： A．29.剖析：能够判断△ ABD≌△ BCD，△ MDO≌△ M′BO，△ NOD≌△ N′ OB，△ MON≌△ M′ ON′由此即可对称结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠ A=∠ C=∠ ABC=∠ ADC=90°， AD∥ BC，在△ ABD和△ BCD中，，∴△ ABD≌△ BCD，∵AD∥ BC，∴∠ MDO=∠ M′ BO，在△ MOD和△ M′ OB中，，∴△ MDO≌△ M′ BO，同理可证△NOD≌△ N′ OB，∴△ MON≌△ M′ ON′，∴全等三角形一共有 4 对．应选 C．30.剖析：连结BD，由菱形的性质及∠A=60°，获得三角形ABD为等边三角形，P 为 AB 的中点，利用三线合一获得 DP为角均分线，获得∠ ADP=30°，∠ ADC=120°，∠ C=60°，从而求出∠PDC=90°，由折叠的性质获得∠ CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．解：连结BD，∵四边形ABCD为菱形，∠ A=60°，∴△ ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠ C=60°，∵ P 为 AB的中点，∴DP为∠ ADB的均分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠ PDC=90°，∴由折叠的性质获得∠ CDE=∠PDE=45°，在△ DEC中，∠ DEC=180°﹣（∠ CDE+∠ C）=75°．应选： B．31.剖析：依据知识可知，含有45°角的三角板为等腰直角三角形，故可知，当斜边拼在一同可得正方形，将一条直角边拼在一同可得等腰直角三角形和平行四边形，即只有 B 选项不符题意．解：将两块三角板的斜边拼在一同可得正方形，将一条直角边拼在一同可得等腰直角三角形和平行四边形．应选 B．32. 剖析：依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半获得CD= AB=3，则联合已知条件CE= CD能够求得ED=4．而后由三角形中位线定理能够求得BF=2ED=8．解：如图，∵∠ACB=90°， D 为 AB的中点， AB=6，∴CD= AB=3．又 CE= CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵ BF∥DE，点 D是 AB 的中点，∴ED是△ AFB的中位线，∴BF=2ED=8．应选： C．33. 剖析：设AC与 BD的交点为O，依据周长可得AB=BC=2，依据 AE=可得BE=1，则△ ABC为等边三角形，则AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.解：如图，设AC， BD相较于点O，∵菱形 ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高 AE长为cm，∴ BE==1（ cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm， AC⊥ BD，∴ OB==（cm），∴BD=2OB=2 cm，∴AC： BD=1：．应选 D．34.剖析：第一连结 OP，由矩形的两条边 AB、BC的长分别为 3 和 4，可求得 OA=OD=5，△AOD的面积，而后由 S =S△ AOP +S△ DOP= OA?PE+OD?PF 求得答案．△ AOD解：连结 OP，∵矩形的两条边 AB、BC的长分别为 6 和 8，∴S 矩形AB CD=AB?BC=48， OA=OC， OB=OD， AC=BD=10 ，∴OA=OD=5，∴S△ACD= S 矩形ABCD=24 ，∴S△ A OD= S△ACD=12 ，∵ S△ A OD=S△AOP+S△ D OP= OA?PE+ OD?PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：．应选：A．35.剖析：依据题意和折叠对称的性质， DE是△ ABC的中位线， D1E1是△ A D1E1的中位线， D2E2是△ A2D2E1的中位线，二、填空题36.剖析：依据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．解：∵菱形的对角线长AC、 BD的长度分别为8cm、 6cm∴菱形 ABCD的面积 S= BD?AC= ×6× 8=24cm2．故答案为： 24cm2．37. 剖析：由于菱形的对角线相互垂直均分，菱形的四边相等，依据面积相等，可求出OH的长．解：∵ AC=8， BD=6，∴BO=3，AO=4，∴AB=5．AO?BO= AB?OH，OH=．故答案为：．38. 剖析：要找出规律方能解答．第一个菱形边长为1，∠ B 1 =60 °，可求出AD 2 ，即第二个菱形的边长 依据此规律解答即可．解：第 1 个菱形的边长是 1，易得第 2 个菱形的边长是；第 3 个菱形的边长是（ 2； ）每作一次，其边长为前一次边长的 ；故第 n 个菱形的边长是故答案为39.剖析：依据正方形面积是△ABE 面积的 2 倍，求出边长，再在 RT △ BCE 中利用勾股定理即可．解：设正方形边长为 a ， ∵ S △ ABE =18，∴ S 正方形 ABCD △ ABE=2S =36，∴ a 2=36，∵ a ＞ 0， ∴ a=6，在 RT △ BCE 中，∵ BC=6， CE=4，∠ C=90°，∴BE== =2 ．故答案为 2．40. 剖析： 先求出矩形的对角线AC ，依据中位线定理可得出EF ，既而可得出△ AEF 的周长．解：在 Rt △ABC 中， AC==10cm ，∵点 E 、F 分别是 AO 、 AD 的中点，∴ EF 是△ AOD 的中位线， EF= OD= BD= AC= cm ， AF= AD= BC=4cm ， AE= AO= AC= cm ，∴△ AEF 的周长 =AE+AF+EF=9cm ．故答案为： 9．41. 剖析：正方形 ABCD 是轴对称图形， AC 是一条对称轴，利用轴对称找最短线段的方法找到 P 点。

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线分别交轴于两点．矩形的顶点上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1 A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABC O例题2：如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题3：如图，△ABC中，AD是边BC 上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题4：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．例题5：如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2-） B、（2,2-） C、（3,3-） D、（2,2--）知识点3：正方形考点1: 直角平行四边相等45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理综合应用例题1：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG 于F．求证：．DE AG⊥BF DE∥AF BF EF=+ DCBAEFG例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mx BO MAP N y l mxBE PF 图。

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABCOA DB EOCF x yy（G ）例题2：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题3：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题4：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ．例题5：如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）A 、（2,2-）B 、（2,2-）C 、（3,3-）D 、（2,2--） 知识点3：正方形考点1: 直角 平行 四边相等 45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理 综合应用例题1：如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，于E ，，交AG 于F ．求证：． DE AG ⊥BF DE ∥AF BF EF =+ DC BA EF G例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mxBOMAP N y l mxB E P F 图22。

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章平行四边形（解析版）4.2平行四边形及其性质（2）【知识重点】1、夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等.2、两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离.【经典例题】【例1】如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．无法确定【答案】C【解析】∵直线AB∥CD，P是AB上的动点，∴当点P的位置变化时，点P到CD的距离不变即△PCD的边CD上的高不变.∴△PCD的面积不变.故答案为：C.【分析】根据平行线间的距离相等，可知当点P的位置变化时，CD不变且CD边上的高也不变，根据三角形的面积公式即可判断.【例2】如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（）A．CE∥FGB．CE=FGC．A，B两点之间的距离就是线段AB的长D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，正确，不符合题意；B、∵AB∥CD，CE∥FG，∴四边形FGEC为平行四边形，∴CE=FG，正确，不符合题意；C、A，B两点之间的距离就是线段AB的长，正确，不符合题意；D、∵CD不是a与b之间的垂线段，∴直线a，b之间的距离不是是线段CD的长，错误，符合题意；故答案为：D.【分析】同垂直于一条直线的两直线平行，依此判断A；先证明四边形FGEC为平行四边形，则可得出CE=FG，从而判断B；连接两点之间的距离为线段的长，依此判断C；两平行线间的垂线段的长度为两平行线之间的距离，依此判断D..【例3】已知三条相互平行的直线l1，l2，l3，其中l1，l2之间的距离为2cm，l2，l3之间的距离为3cm，则l1与l3之间的距离为。

【答案】1cm或5cm【解析】当直线l2直线在l1与l3之间时，l1与l3之间的距离为：2+3=5（cm），当直线l1直线在l2与l3之间时，l1与l3之间的距离为：3-1=1（cm），综上，l1与l3之间的距离为1cm或5cm.故答案为：1cm 或5cm .【分析】分两种情况讨论，即当直线l 2直线在l 1与l 3之间时和当直线l 1直线在l 2与l 3之间时，根据平行线的距离分别求解即可.【例4】如图，四边形ABCD 是一个平行四边形，BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AD 于点F.（1）平行线AD 与BC 之间的距离是线段 的长度。

特殊平行四边形教学目标1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3.了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系.知识梳理一、矩形1.概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴且都是过对边中点的直线；（5）矩形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心.3.判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形.【注】①若易证一个四边形为平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得该四边形是矩形；①对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），只有对角线相等且互相平分的四边形是矩形.二、菱形1.概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对角线所在的直线；（5）菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.3.判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.菱形的面积菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.三、正方形1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它们的一切性质.（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；（3）正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是两条对角线所在的直线以及过对边中点的直线；（4）正方形是中心对称图形，两条对角线的交点为对称中心.3.判定（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）有一组邻边相等的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直的矩形是正方形.【注】①以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等.解题时可根据实际情况灵活选择；①矩形判定条件＋菱形判定条件=正方形判定条件；①证明正方形的一般步骤是：先证明四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形.四、四边形与特殊平行四边形的关系1.从属关系2.从概念分析联系与区别五、中点四边形：顺次连接各边中点所得的四边形（拓展）【注】（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.。

浙教版八下期未总复习练习--一平行四边形1.□ABCD 的对角线交于O ,AC =12cm,BD =5cm,△OAB 的周长为15.5cm,则CD 的长度等于( ).A.7cm B.8cm C.9cm D.9.5cm2.一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形 3．下列说法中,错误的是( )A 、平行四边形的对角线互相平分B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形C 、 平行四边形的对角相等D 、对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．如图,在ABC 中,AB=AC=5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于E,DF ∥AC 交AB 于点F,那么四边形AFDE 的周长是( )A 、5B 、10C 、15D 、20 5．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若ABCD 是平行四边形，则还应满足（ ）． A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°6．如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结各边中点E 、 F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ） A.20cm B.202cm C. 203cm D.25cm 7.下列图形中，面积最大的是（ ）A ．边长为3cm 的正方形B ．一组邻边的长分别是1cm 、3cm 的平行四边形C ．对角线长分别为4cm 和1cm 的菱形D ．中位线长为2cm ，高为2cm 的梯形 8.如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE=CA ，连结AE 交CD•于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．A.150°B.125°C.135°D.112．5°9、如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1， AB=AC=AD=2.则BD 的长为 （ ） A. 14 B. 15 C. 23 D. 3210．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC 。

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.∴∠AEP＝∠PF C．∴AD∥B C．可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．∴四边形ABCD为平行四边形．例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，过点F作FG⊥EC于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝A C．∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FA C．∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.∵BH＝CH＝2，AH＝23，∴EH＝AH＝2 3.∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.∵∠FCG＝∠ABC＝60°，∴FG＝32(23－2)＝3－ 3.【思路点拨】对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．答图解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)如图，延长DQ交BE于点F.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧∠CEF ＝∠AED ，EC ＝AE ，∠ECF ＝∠EAD ，∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝12A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．(3)垂直．理由如下：过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨⎧∠M ＝∠CNE ＝90°，∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFE ，∠DAE ＝∠FCE ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.∵AG＝GH，∴G是AH的中点．∵在△ABH中，E是AB的中点，∴EG∥BH.∴GD∥BH.∵GH＝HC，∴H是CG的中点．∵在△CBG中，F是BC的中点，∴FH∥BG.∴DH∥BG.∴四边形BHDG是平行四边形．∴OG＝OH，OB＝O D．又∵AG＝HC，∴OA＝O C．∴四边形ABCD是平行四边形．命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．证明：如图，连结BE，取BE中点F，连结FN，FM. ∵FN为△EAB的中位线，∴FN＝12AB，FN∥A B．∵FM为△BCE的中位线，∴FM＝12CE，FM∥CE.∵CE＝AB，∴FN＝FM.∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠1＝∠2，∴∠2＝∠5.∴NM∥A D．例7如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．(1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．(2)如图③，在△ABC中，AC >AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．解：(1)△OMN为等腰三角形．(2)△AGD为直角三角形，证明如下：如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB 2.同理，HE∥CD，HE＝CD 2.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°. ∴∠HEF＝∠HFE＝60°.∴△EHF是等边三角形．∴∠3＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝F D．∴∠FGD＝∠FDG＝30°.∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．例8如图，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，求证：EF<12(AB＋CD)．证明：如图，取BC的中点为G，连结EG，FG.∵点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴FG＝12DC，EG＝12A B．答图∵在△EFG中，EF<EG＋FG，∴EF<12(AB＋CD)．课后练习1．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若A，B，C，D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8, 点D在BC上，在以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE能取的最小值是( B )A．4 B．6 C．8 D．103．如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的新三角形的周长可能是( A )A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN ＝3，则△ABC的周长是( D )A．38 B．39 C．40 D．415．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则涂色部分的面积为( B )A．4 B．3 C．5 D．66．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，E，F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是 140°.7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.若CF＝2，AE＝3，则BE的长是7 .8．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBA＝∠EBC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．若AD＝3，BC＝4，则AB＝ 7 .9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点．若MN＝2，则AE＝2 2 .10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且满足∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC为 10 .11．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，求证：CH⊥DF.证明：如图，分别延长AE和DC，交于点P.∵AB∥CP，∴∠ABE＝∠PCE.又∵CE＝BE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE.∴PC＝A B．又∵AB＝CD，∴PC＝CD，即C为PD的中点．∵H为DF的中点，∴CH为△DFP的中位线．又∵DF⊥AE，∴CH⊥DF.12．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME.(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长．(3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.解：(1)延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝B D．∴B为线段AD的中点．又∵M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线．∴BM∥CF.(2)由题(1)知AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，BM＝12 DF.分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形．∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22A．∴E为FG中点．又∵M为AF中点，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2A．∴BM＝ME＝12×2a＝22A．(3)延长AB交CE于点D，连结DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形．∴AB＝BC＝BD，AC＝C D．∴B为AD的中点．又∵M 为AF 中点，∴BM ＝12DF .延长FE 与CB 交于点G ，连结AG ，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形． ∴CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG .∴E 为FG 中点． 又∵M 为AF 的中点，∴ME ＝12AG .在△ACG 与△DCF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝CD ，∠ACG ＝∠DCF ，CG ＝CF ，∴△ACG ≌△DCF (SAS )． ∴DF ＝AG .∴BM ＝ME .13．(2018·武汉市自主招生模拟题)如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C ，D 两点作边BC ，AD 的垂线，设两条垂线的交点为P ，若∠PAD ＝35°，则∠PBC 的度数的是( B )A ．45°B ．35°C ．55°D ．65°14．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF .设正方形的中心为O ，连结AO ，若AB ＝4，AO ＝62，则AC 的长为 16 .15．已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使得DE ＝DF ，过点E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P .求证：∠PAE ＝∠PBF .证明：如图，分别取AP ，BP 的中点M ，N ，并连结EM ，DM ，FN ，DN .根据三角形中位线定理，可得DM∥BP，DM＝12BP＝BN，DN∥AP，DN＝12AP＝AM.∴∠AMD＝∠APB＝∠BN D．∵M，N分别为Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.∵DE＝DF，∴△DEM≌△DFN(SSS)．∴∠EMD＝∠FN D．∴∠EMD－∠AMD＝∠FND－∠BN D．∴∠AME＝∠BNF.∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形．∴∠PAE＝∠PBF.。

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD 2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长． 解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明． 证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ． 在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1.又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。