一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10
cos B =
. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB
；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.
【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；
（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13
，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，
∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=
12
BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10
BF B == （2）连接DG ，
∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ，
∴AD•AE=AF•AG ，
连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，
∵22AB BF -=3， ∴FG=13
，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103
=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN ，
∵AD=AD ，CD=ND ，
∴△ADC ≌△ADN ，
∴AC=AN ，
∵AB=AC ，∴AB=AN ， ∵AH ⊥BN ，
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交
E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交
E 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t AC
F ∠=
时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF
的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】
【分析】
（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得
12
BG CF ≤，从而得解. 【详解】
（1）证明：连接DE ，则：
∵BC 为直径
∴90BDC ∠=︒
∴90BDA ∠=︒
∵OA OB =
∴OD OB OA ==
∴OBD ODB ∠=∠
∵EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠
即：EBO EDO ∠=∠
∵CB x ⊥轴
∴90EBO ∠=︒
∴90EDO ∠=︒
∴直线OD 为E 的切线.
（2）①如图1，当F 位于AB 上时：
∵1~ANF ABC ∆∆ ∴
11NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠=
==-，解得：1031x = ∴150531
AF x == 1504333131
OF =-= 即143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
如图2，当F 位于BA 的延长线上时：
∵2~AMF ABC ∆∆
∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==
∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠=
==+ 解得：25
x = ∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图，作GM BC ⊥于点M ，
∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=︒
∴~CBF CGB ∆∆
∴8
BG MG MG CF BC ==
∵MG≤半径4=
∴
41
882 BG MG
CF
=≤=
∴BG
CF
的最大值为
1
2
.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
3．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出
