高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

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第一章解三角形

1、正弦定理：

在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD

当无交点则B 无解、

当有一个交点则B 有一解、

当有两个交点则B 有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况：当a

当bsinAb 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：

111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．

4、余弦定理：

在C ∆AB 中，有2

2cos a b c bc =+-A ， 2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222

a b c +=，则90C =； ②若222

a b c +>，则90C <； ③若222

a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,

∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（ B ）

2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为

3、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）

4 、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°

C ．a = 7，b = 5，A = 80°

D ．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3

B ．2∶3∶1

C ． 1：3：2

D ．3：1：2

6、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7

D ．8

二、填空题（每题5分,共25分）

7、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________

8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b c

A B C ++++=

9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2

AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72

c =，且60C ︒

=，又ABC △的

，则a b +=________________ 三．解答题（2小题，共40分）

13、在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=

.（I ）求sinA 的值； (II)设∆ABC 的面积.

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1．在△ABC 中，若0

30,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-

2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．

tan 1

3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0

60，

则底边长为（）A ．2 B ．

C ．3

D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）

15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

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