高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
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2019最新人教A版高中数学必修五课件2.1.2优质课件
an=
.
答案:2n(n∈N*)
解析:由 a1=2,an=2an-1(n≥2),得数列的前 5 项依次为 2,4,8,16,32. 所以数列的通项公式 an=2n.
第2课时 数列的通项公式与递推公式
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探究
KETANGHEZUOTANJIU
解析:∵an+1-an-3=0,∴an+1-an=3>0.
∴an+1>an(n=1,2,3,…),即数列的各项依次逐渐增大.∴数列为递增数列, 故选 A.
第2课时 数列的通项公式与递推公式
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探究
KETANGHEZUOTANJIU
2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)·2n,求数列{an}中的最大项. 解:(方法一)∵an=(10-n)·2n,
即
(10-������)·2������ ≥ (11-n)·2������-1, (10-������)·2������ ≥ (9-n)·2������+1,
得 8≤n≤9.
故所求数列{an}中的最大项为 a8=a9=512.
第2课时 数列的通项公式与递推公式
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
∴an+1-an=(10-n-1)·2n+1-(10-n)·2n=(9-n)·2n+1-(10-n)·2n
=2n(18-2n-10+n)=2n(8-n). ∴当 n<8,且 n∈N*时,an+1>an,则数列{an}递增.
高中数学必修5教材简介 PPT课件 图文
（8）理解并掌握解一元二次不等式的过程； （9）会求一元二次不等式解集； （10）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想， 会设计求解的过程；
（11）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的 过程； （12）理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的 解集的概念； （13）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的 概念及实线、虚线边界的含义； （14）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定 的不等式（组）表示的平面区域； （15）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规 划、可行解、可行域、最优解的概念； （16）掌握简单的二元线性规划问题的解法； （17）了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过 程； （18）理解算术平均数，几何平均数的概念； （19）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题； （20）通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值。
正弦定理的证明体现从特殊到一般的归纳过程
正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他 两边和另一角。 （2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计 算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
正弦定理略去等于2R，目的是控制难度
余弦定理的证明体现了定性到定量分析的理性 思维
2.2 发展要求
（1）了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的关系。
（2）利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系。
（3）条件允许的情况下，可多做几个实习作业，以 培养学生应用知识解决实际问题的能力。
2.3 说明
(1)可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复 杂繁琐的运算。 (2)不必增加在立几情况下求解三角形的问题,可 在立体几何学习时适当拓展。 (3)应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用 上。 (4)实习作业不要求太复杂的问题。
（11）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的 过程； （12）理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的 解集的概念； （13）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的 概念及实线、虚线边界的含义； （14）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定 的不等式（组）表示的平面区域； （15）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规 划、可行解、可行域、最优解的概念； （16）掌握简单的二元线性规划问题的解法； （17）了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过 程； （18）理解算术平均数，几何平均数的概念； （19）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题； （20）通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值。
正弦定理的证明体现从特殊到一般的归纳过程
正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他 两边和另一角。 （2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计 算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
正弦定理略去等于2R，目的是控制难度
余弦定理的证明体现了定性到定量分析的理性 思维
2.2 发展要求
（1）了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的关系。
（2）利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系。
（3）条件允许的情况下，可多做几个实习作业，以 培养学生应用知识解决实际问题的能力。
2.3 说明
(1)可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复 杂繁琐的运算。 (2)不必增加在立几情况下求解三角形的问题,可 在立体几何学习时适当拓展。 (3)应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用 上。 (4)实习作业不要求太复杂的问题。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
【人教B版】数学必修五(全书)课件(含本书所有课时)精美立体PPT
等差数列
1、①、数列是怎样定义的? 如何从函数观点认识数列? 给出数列有哪两种主要方法 ?
3 你 的 恒 心 ，与 你的心 态有关 坚持不下去的另一个原因，恐怕是因为 我们想 太多。 健身两周，就希望身材赛过谁；看了两 本书， 就期待 生活有 什么不 同；勤 奋两个 月，就 算计着 什么时 候能够 功成名 就…… 人心都是肉长的，若是在它上面加了太 多的砝 码，它 就会不 堪重负 。 欲望太多，就不容易看到希望。 村上春树的第一部作品《且听风吟》和 第二部 作品《1 973年 的弹子 球》问 世后， 虽然让 他有了 一定的 知名度 ，但都 没有获 得日本 文学大 奖。 对此他十分淡然，觉得能写出让自己满 意的作 品才更 加重要 。 他后来在回忆这段经历时说，那时他还 在经营 餐厅， 甚至觉 得没得 奖也挺 好，至 少不会 没完没 了的接 待采访 和约稿 ，影响 了生意 。 听起来像玩笑，但实际上，无论写书， 还是跑 步，他 只是为 了迎合 自己， 达到为 自己设 定的目 标就好 。
解：在OAC中，
∵
sinb60°＝
a
B1
sin∠OCA B2
C1 C2
60°
∴ sin∠OCA＝ 8 s7in60°≈0.9897, O a
A
过∴O作∠OOBC∥AA＝C°，或∠°AO,B＝°或°, ∴ ∠OAC＝°或°,
∴ a·b＝ a b cos∠AOB＝－44.0或－52.
例 3：已知向量a与a＋b夹角为60°， 且 a ＝8，b ＝7，求a与b的夹角及a·b.
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb
c
bc
b
B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学人教版必修5课件
=
c sin C
△ABC
AB+BC=AC
设e与AB，BC，AC的夹角分别为α，β，γ,
e·(AB+BC)= e ·AC
c cos a cos bcos
分析 差异
Ａ
函余
数
名 称
正
式三 子 结 构二
j
Ｂ
Ｃ
ab sin A sin B
bc =
sin B sin C
A
B
j
90 C
C
90 C
A C 90
留两个有效数字 )
练习：根据下列条件解三角形 (1) a = 45, B= 60°, A = 45°
小结与思考
问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了 那些知识和方法？你对此有何体会？
1. 用向量证明了正弦定理,体现了数形结合的 数学思想
2. 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系. 3. 定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运
c sin C
S ABC
1 2
= a b
c
sin A sin B sin C
= a b c
sin A sin B sin C
b sin B
=
c sin C
y
M(bcos( -C),bsin(-C))
A(ccosB,csinB)
B
C（a,0）
x
因为bsin( -C)= csinB，所以
b sin B
思考：假如在没有工具过河的情况下，有没有办法 利用自己所学的知识，求出A，B两点的距离？
关键：将A，B放到一个三角形中去，求边长。
B
基线
河流
A 51
55米
2024人教版高三数学必修5全册教学课件
教学手段
运用多媒体技术、网络技术等现代教育技术手段 ，创设生动形象的数学教学情境，提高教学效果 和学生的学习效率。
02
基础知识回顾与拓展
数列概念及性质
01 数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
02 数列的通项公式
表示数列第n项与n之间关系的公式。
03 数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列及其求和公式
任意角的表示方法
终边相同的角的集合，象 限角的表示方法。
任意角的三角函数
1 2
任意角的三角函数定义
正弦、余弦、正切的定义及性质，各象限三角函 数的符号。
同角三角函数的基本关系
平方关系、商数关系、诱导公式及其应用。
3
三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的图象与性质，周期函数的 概念。
三角函数的图象与性质
等差数列定义
相邻两项之差为常数的数 列。
等差数列的求和公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]， 其中Sn为前n项和。
等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1 为首项，d为公差。
等比数列及其求和公式
等比数列定义
相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
对于离散型随机变量，期望表示其取值的平均水平，方差表示其取值 的波动程度。通过具体例子说明期望和方差的计算方法和意义。
07
总结回顾与备考建议
本册知识点总结回顾
集合与函数概念
包括集合的运算、函数的概念、 函数的性质等。
基本初等函数
包括指数函数、对数函数、幂函数 等的基本性质和图像。
运用多媒体技术、网络技术等现代教育技术手段 ，创设生动形象的数学教学情境，提高教学效果 和学生的学习效率。
02
基础知识回顾与拓展
数列概念及性质
01 数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
02 数列的通项公式
表示数列第n项与n之间关系的公式。
03 数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列及其求和公式
任意角的表示方法
终边相同的角的集合，象 限角的表示方法。
任意角的三角函数
1 2
任意角的三角函数定义
正弦、余弦、正切的定义及性质，各象限三角函 数的符号。
同角三角函数的基本关系
平方关系、商数关系、诱导公式及其应用。
3
三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的图象与性质，周期函数的 概念。
三角函数的图象与性质
等差数列定义
相邻两项之差为常数的数 列。
等差数列的求和公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]， 其中Sn为前n项和。
等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1 为首项，d为公差。
等比数列及其求和公式
等比数列定义
相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
对于离散型随机变量，期望表示其取值的平均水平，方差表示其取值 的波动程度。通过具体例子说明期望和方差的计算方法和意义。
07
总结回顾与备考建议
本册知识点总结回顾
集合与函数概念
包括集合的运算、函数的概念、 函数的性质等。
基本初等函数
包括指数函数、对数函数、幂函数 等的基本性质和图像。
人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
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b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
为边做一个三角形的木架，形状如下图所示，则另外还要 找两根多长的木棒？(精确到0.1cm)
C
40cm
30o
A
45o
D
B
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 uuur uuur uuur uuur
为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； uuur uuur
（2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
转化：在 △ABC中，Байду номын сангаас
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1.1.1 正弦定理
回顾
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
二、可以用正弦定理解决的三角问题： ①知两角及一边，求其它的边和角
②知三角形任意两边及其中一边的对角，求 其它的边和角
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B
（1） b＝20，A＝60°，a＝ 20 3 ; 30o
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
∴ sin A sin B sin C
故由正弦定理可得a≥b≥c
（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角
∴-∠A<
2
，且-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C
∴ sin( A) sin B sin C
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
即 sin A sin B sin C
∴由正弦定理可得a>b≥c
三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示）
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
B
a=bsinA 一解
思考：小强有一根长为40cm的木棒，若他打算以该木棒
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
向量法：
rC b
A
r c
B
r a
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
（角换边）
例3、在ABC中，若
a2 b2
tan A , 试判断ABC的形状 tan B
解：由正弦定理，得
sin2 sin2
A B
tan tan
A B
sin2 sin2
A B
sin cos
A A
cos sin
B B
Q sin A 0，sin B 0,
sin Acos A sin Bcos B，即sin2A sin2B
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
（2） b＝20，A＝60°，a＝ 10 3 ; 90o
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解 思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值 角B有1解、2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角，
也可取锐角； （4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角.
C a
b a
A B B B′
B
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 2.若A是钝角或直角 （1）若a > b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解.
C
a b
C a
b
A
B
A
B
讨论已知两边和一边对角的三角形的解：
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
Q 0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
等腰直角三角形
2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c=
其中，R是△ABC的外接圆的半径
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，