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第五章 留 数一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) （A ）32-（B ）32 （C ）i 32（D ）i 32-11．=-],[Re 12i e z s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）61- （C ）3i π- （D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22z z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(z zz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9．积分=⎰=1sin 1z dz z ． 10．积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz ．四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分： １．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=． 九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ）６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．16．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π。
第五章 留数定理留数定理是柯西积分理论的继续，可以说，它进一步展现了复变函数积分的细节内情，使我们对复积分有了更深刻的认识。
§5.1 孤立奇点若)(z f 在点0z 的某一去心邻域R z z <-<00内解析，但在点0z 不解析，则称0z 为)(z f 的孤立奇点。
若0z 是)(z f 的一个奇点，且在点0z 的无论多么小的邻域内)(z f 总还有除点0z 外的其它奇点，则称点0z 为)(z f 的非孤立奇点。
例如，0=z 为z z f 1)(=的孤立奇点，为1)1(sin )(-=zz g 的非孤立奇点。
去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。
若0z 为)(z f 的一个孤立奇点，则总存在着正数R ，使得)(z f 在点0z 的去心邻域R z z <-<00内可展成洛朗级数。
这里的正数R ，显然最大可取为0z 与)(z f 的离0z 最近的一个奇点间的距离。
在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤立奇点的洛朗展开。
1.孤立奇点的分类设0z 为函数)(z f 的有限孤立奇点，)(z f 在去心邻域R z z <-<00内的洛朗展式为∑∞-∞=-=n nnz z a z f )()(0∑+∞=---=10)(n nn z z a ∑∞=-+00)(n n n z z z 。
前面已知，右边第二个级数称为)(z f 在点0z 的解析部分，其和函数)(z ϕ在包括0z 点的邻域K 内是解析的，故)(z f 在点0z 的奇异性质完全体现在)(z f 的洛朗展式的负幂项部分∑+∞=---10)(n nnz z a，所以从出现奇异性来说，我们称∑+∞=---10)(n n n z z a 为)(z f 在点0z 的主要部分。
根据主要部分仅可能出现三种情况，将)(z f 的有限孤立奇点作如下分类：定义5.1.1：设0z 为)(z f 的有限孤立奇点。
（1）若)(z f 在点0z 的主要部分为零，则称0z 为)(z f 的可去奇点。
复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§1 孤立奇点孤立奇点类型得判别法 1、洛朗展开法f(z)在点a 处得洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;若负幂项最高次数为m,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。
2、极限法存在且有限,则点a 为可去奇点;等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。
3、判断极点得方法3、1,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零; 3、21()()lim ()lim()()()m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→==--，存在且有限; 3、3 h(z)在点a 解析且h(a)不等于零一、选择题1.函数在内奇点得个数为 [ D ] (A) (B) (C) (D)cot cos 3(23)sin 0,()23(23)sin 2z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ，2.设与分别以为可去奇点与级极点,则为得 [ C ](A)可去奇点 (B)本性奇点 (C)级极点 (D)小于级得极点 (对f(z)与g(z)分别进行洛朗展开并求与)3.为函数得级极点,那么 [ C ] (A) (B) (C) (D)224224553201112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪⎪ ⎪++= ⎪⎝⎭L L L 利用方法， 4.就是函数得 [ B ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)本性奇点322232321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭以为一阶极点5.就是函数得 [ D ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)一级零点 (D)本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题1.设为函数得级零点,那么 9 。
()()35339156333391sin ()()3!5!3!5!3!5!z z z z z z z z zz -=--++=-+=-+L L L2.设为函数得级极点,那么 2 。
三、解答题1.下列函数在有限点处有些什么奇点？如果就是极点,指出它得级: (1)32211=1, 1.1(1)(1)11.z z z z z z z z z ==---+-+==-解：显然，的奇点有其中是其二阶极点；是其一阶极点 (2)(3)33523332sin 10.1sin 11113!5!3!5!0.sin 1010.z z zz z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=LL 解法一：可能的奇点为故有为其三阶极点解法二：由在点解析且等于，从而为原函数的三阶极点(4)(为正整数)2.判断点就是下列函数得什么奇点？ (1)(2)00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪⎪= ⎪⎝⎭注在本题中，由于级数的收敛域是，从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中，必须先做变量替换，才可进行展开3.就是函数得几级极点？()3579357959()sin sh 2=sin 2223!5!7!9!3!5!7!9!225!9!z ze ef z z z z z zz z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++L LL 解法一：(4)(4)(5)()sin sh 2=sin 22(0)0;'()cos 2'(0)1120;2''()sin ''(0)0;2'''()cos ,'''(0)110;2()sin (0)0;2()cos 2z zz zz zz zz z z z e e f z z z z z zf e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z -------=+-+-=+=+-=+-=-=-+=+=-+=-+=-=+=+=+解法二：考虑函数，，，()(5)2(0) 2.0sin sh 2sin sh 2f z z z z z z z ==+-+-，从而为的五阶零点，为的十阶零点，因为是原函数的十阶极点.复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§2 留数一、选择题:1.设在内解析,为正整数,那么 [ ] (A) (B) (C ) (D)2.在下列函数中,得就是 [ ] (A) (B) (C) (D )()000111'11.lim 1lim 1lim 101111'z z z z z z z z z z z e z z e e e e →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. [ ](A) (B ) (C) (D)12223223111()(1)2!()3!()111[12()()](1)2()6()11566z i z e z i i z i z i z i i z i z i z i z i z i i z i-⎛⎫=-+++++ ⎪---⎪ ⎪=-+-+-++++ ⎪---⎪ ⎪=-+⎪-⎝⎭L L 项系数为：-1+i+ 二、填空题:1.设,则 0 。
2.设为得级零点,那么 m 。
3.设,则 -1/24 。
三、解答题:1.求下列各函数在各个有限奇点处得留数: (1)423342326343423323443682334()().14()3(1)()()()43(1)()()12()12()12()12(1)()()()1224()()f z z i f z z dd z z i z z i z i dz dz z i d z z dz z i z i z z i z z i z z i z z i z i z i z z z i z i =±+⎡⎤+-+++=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦+-++-++=-++=-+++具有两个奇点，它们分别是的三阶极点45''4234334512(1)()111122412(1)3lim 2()28163283Res[(),]8z i z z i z i i i i z i ii i if z i →++⎛⎫⎡⎤++=⋅-+=- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=-！ (2)2.求得值,如果(1) (2)4224421111()111(1)(14)(1)(4)110Res [(),]Res [(),0]0z f z z z z z z z zz f z f z z⋅=⋅=+-+-=∞=-⋅=在点处解析，故 (3) (4) 法一:法二:2332()332Res [(),3]lim 1;32Res [(),3]lim 1,3Res [(),]Res [(),3]Res [(),3] 2.z i z i zf z z z i z zf z i z i zf z i z if z f z i f z i →→==±+==+-==-∞=---=-在平面上只有两个奇点，它们是一阶极点，从而法三:22222202121112()01(31)3112Res [(),0]=lim 23111Res [(),]Res [(),0] 2.z z f z z z z z z zf z zz f z f z z→⋅⋅=⋅==++⋅=+∞=-⋅=-以为一节极点，从而由3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向) (1) (2)3133||21cos 1cos 12Res[,0]22.2z z z dz i ic i i z z ππππ-=--===⋅=⎰Ñ 复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§3 留数在定积分计算上得应用一、选择题1.设为正整数,则 [ ] (A )0 (B) (C) (D)||21(1)0011112Res[(),]1111111111=0111n n z n n n n nk n k k k n z dz i f z z z z c z z z z z z π=∞∞-+==⎛⎫ ⎪=<=-∞ ⎪-- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⋅=== ⎪-- ⎪⎝⎭⎰∑∑Ñ的所有奇点满足，从而在无穷远点可展成： 对应的2.积分 [ ] (A)0 (B ) (C) (D)二、填空题1.积分 -2i 。
3||200111()01sin 12(Res[(),0]Res[(),1]Res[(),1])sin 11Res[(),0]lim lim sin sin 111Res[(),1]lim lim sin sin (1)Res[(z z z z z z k k z z dz i f z f z f z z z z f z z z z z f z z z f z πππππππππππ=→→→→=∈=±=++-==⋅=--===---⎰ÑZ 的所有奇点有：，落在积分曲线内的点有：，从而111),1]lim sin (1)z z z ππ→-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ ⎪-==- ⎪-+⎝⎭2.设,则在复平面上所有有限奇点处留数之与为 0 。
1324816222828121111111()(1)(1)11(1)(1)(1)(1)11Res[(),]Res[(),0]0z f z z z z z z zz z z z z z f z f c z z-⎛⎫ ⎪⋅=⋅=⋅=+++-+- ⎪-+ ⎪-+⎪ ⎪=-∞=-⋅=-= ⎪⎝⎭∑L L三、解答题1.求函数在得留数。
21111()11Res[(),1]lim 12Res[(),1]lim 12Res[(),]{Res[(),1]Res[(),1]}2zz z z z e f z z z z e ef z z e ef z z e e f z f z f z →-→--==±-==+-==---∞=-+-=-在平面上具有两个奇点，它们都是一阶极点.；；从而， 2.计算积分(为一正整数),2222221121.12Res[(),].11111(1)1111110.21011nn nn n C nn n n nn n n nnnnC z z z C zz dz i f z z z z z z z z z z z z z n c n c i n z dz n z ππ--=+=-∞+=∞+=⋅=+++++==≠==⎧=⎨≠+⎩⎰⎰L ÑÑ在平面上的奇点为方程的根，则全落于积分曲线内部从而在处可展为：当时，；当时，，从而， 3.计算下列积分:(1)2101111253sin 3()(3)5332z z dz dzd i z z iz z z i iπθθ-===⋅=-++++⋅⎰⎰⎰ 被积函数在|z|=1内只有一个奇点,且为一阶极点、 从而(2)222222222221100114212cos 22211sin 1cos 22254cos 2(54cos )2(54)2(54)222118()(2)2i i z z z e e z z z z z z dz dz d d z z z z iz iz z z dziz z z θθππθθθθθθθ------===++==++---==⋅=⋅+++++⋅+⋅-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰被积函数在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2,它们分别就是二阶极点与一阶极点。
