定积分习题及答案
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~
第五章 定积分
(A 层次)
1．⎰20
3
cos sin π
xdx x ； 2．⎰-a
dx x a x
2
2
2
； 3．⎰+3
1
2
2
1x
x
dx ；
4．⎰--11
45x xdx ； 5．⎰
+4
1
1
x dx ； 6．⎰--1
4
3
1
1x dx ；
7．⎰
+2
1
ln 1e x
x dx
； 8．⎰-++0
2222x x dx
； 9．dx x ⎰+π02cos 1；
10．dx x x ⎰-π
πsin 4； 11．dx x ⎰-
22
4
cos 4π
π； 12．⎰-++5
5242
312sin dx x x x
x ；
13．⎰3
4
2sin π
πdx x x
； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰20
2cos π
xdx e x ； 17．()dx x x ⎰
π02
sin ； 18．()dx x e
⎰1
ln sin ； ]
19．⎰-
-24
3
cos cos π
π
dx x x ； 20．⎰
+4
sin 1sin π
dx x
x ； 21．dx x x
x ⎰+π02cos 1sin ；
22．⎰-+21
11ln dx x x
x ； 23．⎰∞+∞-++dx x
x 42
11； 24．⎰20sin ln π
xdx ； 25．(
)()
⎰∞+++0
211dx x
x dx
α
()0≥α。 (B 层次)
1．求由0cos 0
=+⎰⎰x
y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。 2．当x 为何值时，函数()⎰-=x
t dt te x I 0
2
有极值
3．()
⎰x
x
dt t dx d cos sin 2cos π。
&
4．设()⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
11,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1
lim
2
2
+⎰+∞
→x dt arctgt x
x 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21
π
x x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0
ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<+≥+=时当时当0,110,11
x e x x
x f x
，求()⎰-2
1dx x f 。
8．()
22
21
lim
n n n n n +++
∞→ 。
9．求∑
=∞
→+n
k n
k n k n ne
n e
1
2lim 。
10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=1
2dt t f x x f ，求()x f 。
11．若⎰
=
-2ln 26
1
x
t
e dt π
，求x 。
`
12．证明：⎰
-
--<<21
2
12
1222
dx e e
x 。
13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a x
x
x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0
,
0,
12
x e x x x f x
，求()⎰-3
1
2dx x f 。
15．设()x f 有一个原函数为x 2sin 1+，求()⎰'20
2π
dx x f x 。
16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰3
1
dx x f 最
小。
17．已知()2
x e x f -=，求()()⎰'''1
dx x f x f 。
18．设()()()⎰⎰+-=1
20
22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。
19．()()[]⎰
'-π
2
sin cos cos cos dx x x f x x f 。
.
20．设0→x 时，()()
()dt t f t x x F x
''-=⎰0
22的导数与2x 是等价无穷小，试求
()0f ''。
(C 层次)
1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛+=
⎰
12140611
f f f dx x f ，求()dx x
g b a ⎰。 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，
使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a
''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰3
24
12。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证
()()()()()()2
a f
b f a b dx x f a f a b b
a +-<<-⎰。
4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b
a ⎰'≤
2
1(b x a <<)。 5．设()x f 在[]1,0上连续，()01
=⎰dx x f ，()11
=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，
10≤≤x ，使()4>x f 。
<
6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()
d t t x tf x F x ⎰-=0
22，求()40
lim
x
x F x →。
7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则
()
()()x f dx x f a b b
x a b
a
'≤-≤≤⎰max 4
2
。