1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111
又n q q q ,,,21 是任意n 个整数
m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴
即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数
2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n
1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n
从而可知
12)(1(/6++n n n
3 证： b a , 不全为0
∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而
有形如by ax +的最小整数00by ax +
Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+
则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r
ax by ax +
+∴/00 下证8P 第二题
by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+
4 证：作序列 ,2
3,
,2
,
0,2
,,2
3,b b b b b b -
--
则a 必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q ，使
b q a b q 212
+<
≤成立
(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2
,2
-
=-==
，则有
2
22
2
0b t b q b q a b q a t bs a <
∴<
-=-==-≤
若0
,2
+=-=-
=，则同样有2
b t <
)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2
1,2
1+-
=-=+=
，则有
2
02
12
12
b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-
=+-=-=≤-
若 0
1,2
1++=-=+-
=
则同样有 2
b t ≤
综上 存在性得证 下证唯一性
当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11
而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤
1112
,2
矛盾 故11,t t s s ==
当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时
2b 为整数 2
,2),2(22
12311b t b t b b b b b ≤=-
+⋅=+
⋅=⋅
2
,2
,222211b t b t t bs t bs a ≤
-=+=+=
5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数
（1） 令S=n
14131211+
++++
，取M=p k 7532
1
⋅⋅⋅-这里k 是使n k
≤2最
大整数，p 是不大于n 的最大奇数。则在1，2，3，┄，n 中必存在一个k
n 20=，
所以 MS=n
M n M M M M +
++
+++
032
由M=p k 7532
1
⋅⋅⋅-知2
M ，
n
M M ,
,3
必为整数，
2
7530
p
n M ⋅⋅=
显
然不是整数，
∴MS 不是整数，从而S 不是整数
（2） 令M=)12(7531-⋅⋅-n k 则 SM=
1
21
25
3
++-+++n M n M M M ，
由M=)12(7531-⋅⋅-n k 知1
2,
,5
,
3
-n M
M M ，而
1
2)12(753
1
21
+-⋅⋅=
+-n n n M k 不为整数
∴SM 不为整数，从而1
215
13
1++++=
n S 也不是整数
1． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b
由带余
除
法
b
r r r r q r r r q r r r q r b r bq a n n n n n n n n n n <<<<≤==+=+=+=-++---1111112221110,,,,,
∴n r b a =),(。
∴d '|1bq a -1r =， d '|221r q r b =-，┄, d '|),(12b a r q r r n n n n =+=--,
即d '是),(b a 的因数。
反过来),(b a |a 且),(b a |b ，若),,(|b a d ''则b d a d |,|''''，所以),(b a 的因数都是b a ,的公因数，从而b a ,的公因数与),(b a 的因数相同。
2． 见本书P2，P3第3题证明。
3． 有§1习题4知：,,0,,Z t s b Z b a ∈∃≠∈∀使2
||,b t t bs a ≤
+=。，
1,t s ∃∴，使,,2
2
||||,2
111 b t t t t s b ≤≤
+=如此类推知：
;
,,12n n n n n n t s t t t s +=∃--
;
,,11111++-+++=∃n n n n n n t s t t t s 且
1
2
212
||2
||2
||2
||||+--≤
≤
≤≤
≤
n n
n n n b t t t t
而b 是一个有限数，,N n ∈∃∴使01=+n t
n n n n t t t t t t t t t b b a =======∴+)0,(),(),(),(),(),(1211 ，存在
其求法为 =---=-=))(,(),(),(1s bs a b bs a bs a b b a
