广西柳州市18届高三数学毕业班上学期摸底联考试题理
- 格式:doc
- 大小:1.26 MB
- 文档页数:12
2018届南宁二中、柳州高中两校联考第一次考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320}A x x x =-+≤,{|124}xB x =<<,则A B ⋂=( ) A .{|12}x x ≤≤ B .{|12}x x <≤C .{|12}x x ≤<D .{|02}x x ≤< 2.复数21iz i-=+对应的点在复平面内位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.“真人秀”热潮在我国愈演愈烈,为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目,某中学随机调查了110名学生,得到如下列联表:由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.附表:参照附表,得到的正确结论是( )A .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别有关”B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别无关”C .有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”D .有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12345a a a a a ++=+,560S =,则10a =( )A .16B .20C .24D .265.已知点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上,记抛物线C 的焦点为F ,则直线AF的斜率为( ) A .43-B .-1C . 34-D .12- 6.()()5212x x +-展开式中,2x 项的系数为( ) A .30 B .70 C .90 D .-150 7.已知函数()2sin(2)6f x x π=+,若将它的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 图象的一条对称轴方程为( ) A .12x π=B .4x π=C . 3x π=D .23x π=8.在ABC 中,点,M N 满足2AM MC =,BN NC =,若MN x AB y AC =+,则x y +的值为( ) A .13 B .12 C . 23 D .349.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为()mod N n m =,例如()112mod 3=,现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n 等于( )A .21B .22C .23D .2410.某几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是边长为体的外接球的表面积为( )A .9πB .16πC . 24πD .36π11.已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左,右焦点,点P 为双曲线C 右支上一点,直线1PF 与圆222x y a +=相切,且212||||PF F F =,则双曲线C 的离心率为( )AB .43C .53D .2 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()()1xf x x e =+,则对任意的m R ∈,函数()(()F x f f x m =-的零点个数至多有( )A .3个B .4个C . 6个D .9个第Ⅱ卷二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则2z x y =-的最小值等于 .14.如图所示,在直角梯形ABCD 中,,,,BC DC AE DC M N ⊥⊥分别是,AD BE 的中点,将三角形ADE 沿AE 折起,下列说法正确的是 (填上所有正确的序号).①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ; ②不论D 折至何位置都有MN AE ⊥;③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN AB ∥.15.已知函数()()()()240ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,若关于x 的不等式()||f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围是 .16.已知数列{}n a 中,11a =,{}n a 的前n 项和为n S ,当2n ≥时,有221nn n na a S S =-成立,则2017S = .三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c2sin c A =且c b <. (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若4b =,延长AB 至D ,使BC BD =,且5AD =,求ACD 的面积. 18.某商场计划销售某种产品,现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天,两个厂家提供的返利方案如下:甲厂家每天固定返利70元,且每卖出一件产品厂家再返利2元;乙厂家无固定返利,卖出40件以内(含40件)的产品,每件产品厂家返利4元,超出40件的部分每件返利6元.经统计,两个厂家10天的试销情况茎叶图如下:(Ⅰ)现从厂家试销的10天中抽取两天,求这两天的销售量都大于40的概率; (Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题:(ⅰ)记乙厂家的日返利额为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望;(ⅱ)商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场做出选择,并说明理由.19.已知三棱柱111ABC A B C -中,12AB AC AA ===,侧面11ABB A ⊥底面ABC ,D 是BC 的中点,1160,B BA B D AB ∠=⊥.(Ⅰ)求证:AC ⊥平面11ABB A ; (Ⅱ)求二面角1C AD C --的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点()1,0F ,过点F 且坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点,当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设O 为坐标原点,线段OF 上是否存在点(),0T t ,使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅?若存在,求出实数t 的取值范围;若不存在,说明理由. 21.已知()2xf x e ax =-,()g x 是()f x 的导函数.(Ⅰ)求()g x 的极值;(Ⅱ)若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)已知曲线3C 的极坐标方程为()0,R θααπρ=<<∈,点A 是曲线3C 与1C 的交点,点B 是曲线3C 与2C 的交点,且,A B 均异于原点O ,且||AB =α的值. 23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|23||21|f x x x =++-. (Ⅰ)求不等式()5f x ≤的解集;(Ⅱ)若关于x 的不等式()|1|f x m <-的解集非空,求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDCDC 6-10: BCACB 11、12:CA二、填空题13.52-14.①② 15.40a -≤≤ 16.11009三、解答题17.(Ⅰ)由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,2sin sin A C A =,∵sin 0A ≠,∴sin C =, 又c b <,∴3C π=.(Ⅱ)设BC x =,则5AB x =-,在ABC 中,由余弦定理得()2225424cos3x x x π-=+-⋅⋅,求得32x =,即37,22BC AB ==,在ABC 中,由正弦定理得sin sin BC ABA C=,∴sin sin 14BC C A AB ==, ∴ACD 的面积1sin 2S AC AD A =⋅⋅=1452⨯⨯=. 18.(Ⅰ)记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A ,则()22210145C P A C ==.(Ⅱ)(ⅰ)设乙产品的日销售量为a ,则当38a =时,384152X =⨯=; 当39a =时,394156X =⨯=;当40a =时,404160X =⨯=;当41a =时,40416166X =⨯+⨯=;当42a =时,40426172X =⨯+⨯=; ∴X 的所有可能取值为:152,156,160,166,172,∴X 的分布列为∴1521561601055EX =⨯+⨯+⨯166172162510+⨯+⨯=.(ⅱ)依题意,甲厂家的日平均销售量为:380.2390.4400.2⨯+⨯+⨯410.1420.139.5+⨯+⨯=,∴甲厂家的日平均返利额为:7039.52149+⨯=元, 由(ⅰ)得乙厂家的日平均返利额为162元(149>元), ∴推荐该商场选择乙厂家长期销售. 19.(Ⅰ)取AB 中点O ,连接1,OD B O ,1B BA 中,112,2,60AB B B B BA ==∠=,故1AB B 是等边三角形,∴1B O AB ⊥,又1B D AB ⊥,而1B O 与1B D 相交于1B ,∴AB ⊥平面1B OD , 故AB OD ⊥,又OD AC ∥,所以AC AB ⊥,又∵侧面11ABB A ⊥底面ABC 于AB ,AC 在底面ABC 内,∴AC ⊥平面11ABB A . (Ⅱ)以O 为坐标原点,分别以1OB OD OB 、、方向为x y z 、、轴建立空间直角坐标系,如图所示.()()()()(11,2,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,C A D B B --,∴()()11,0,3,0,2,0BB AC =-=,111AC AC CC AC BB =+=+(=-,()1,1,0AD =,设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z =,依题意有:1020m AD x y m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩,令1x =,则1,y z =-=,∴(1,m =-, 又平面ADC 的法向量为()0,0,1n =,∴cos ,m n ==,∴二面角1C AD C --的余弦值为5. 20.(Ⅰ)由题意知1c =, 又tan 603bc==23b =,2224a b c =+=, 所以椭圆C 的方程为:22143x y +=. (Ⅱ)设直线PQ 的方程为:()()1,0y k x k =-≠,代入22143x y +=,得:()22223484120k x k x k +-+-=, 设()()1122,,,P x y Q x y ,线段PQ 的中点为()00,R x y ,则2122834k x x k+=+, 212024234x x k x k +==+,()0023134k y k x k=-=-+, 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得:()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=, 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线,直线TR 的方程为:222314()3434k k y x k k k +=--++. 令0y =得:T 点的横坐标22213344k t k k==++, ()20,k ∈+∞,所以()2344,k +∈+∞,所以1(0,)4t ∈. 所以线段OF 上存在点(),0T t ,使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅,其中1(0,)4t ∈.21.(Ⅰ)()2x f x e ax =-,()()2x g x f x e ax '==-,()2x g x e a '=-, 当0a ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 无极值; 当0a >时,()0g x '=,解得()ln 2x a =,由()0g x '>,得()ln 2x a >;由()0g x '<,得()ln 2x a <, 所以当()ln 2x a =时,有极小值()22ln 2a a a -.(Ⅱ)令()()210x h x e ax x x =---≥,则()()120x h x e ax x '=--≥,注意到()()000h h '==,解法一:()()20xh x e a x ''=-≥,①当12a ≤时,由0x ≥,得()20x h x e a ''=-≥,即()h x '在[0,)+∞上单调递增, 所以0x ≥时,()()00h x h ''≥=,从而()h x 在[0,)+∞上单调递增, 所以0x ≥时,()()00h x h ≥=,即()1f x x ≥+恒成立. ②当12a >时,由()20x h x e a ''=-<解得()0ln 2x a ≤<,即()h x '在[0,ln(2a))上单调递减,所以()0ln 2x a ≤<时,()()00h x h ''≤=,从而()h x 在[0,ln(2a))上单调递减, 所以()0ln 2x a <<时,()()00h x h <=,即()1f x x ≥+不成立. 综上,a 的取值范围为1(,]2-∞.解法二:令()1xk x e x =--,则()1xk x e '=-,由()0k x '>,得0x >;()0k x '<,得0x <,∴()()00k x k ≥=,即1xe x ≥+恒成立,故()2(12)h x x ax a x '≥-=-, 当12a ≤时,120a -≥,于是0x ≥时,()0h x '≥,()h x 在[0,)+∞上单调递增, 所以()()00h x h ≥=,即()1f x x ≥+成立.当12a >时,由()10x e x x >+≠可得()10x e x x ->-≠. ()12(1)x x h x e a e -'<-+-(1)(2)x x x e e e a --=--,故当(0,ln(2))x a ∈时,()0h x '<,于是当(0,ln(2))x a ∈时,()h x 单调递减,()()00h x h <=, ()1f x x ≥+不成立. 综上,a 的取值范围为1(,]2-∞.22.(Ⅰ)由22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为()2224x y -+=,∵4sin ρθ=,∴24sin ρρθ=,由222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩,得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=;(Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线221:(2)4C x y -+=,其极坐标方程为4cos ρθ=,由题意设12(,),(,)A B ραρα,则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()4πα=-=∴sin()14πα-=±,∴()42k k Z ππαπ-=+∈,∵0απ<<,∴34πα=. 23.(Ⅰ)原不等式为:|23||21|5x x ++-≤, 能正确分成以下三类:当32x ≤-时,原不等式可转化为425x --≤,即7342x -≤≤-; 当3122x -<<时,原不等式可转化为45≤恒成立,所以3122x -<<;当12x ≥时,原不等式可转化为425x +≤,即1324x ≤≤.所以原不等式的解集为73{|}44x x -≤≤.11 (Ⅱ)由已知函数342,231()4,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩,可得函数()y f x =的最小值为4, 由()|1|f x m <-的解集非空得:|1|4m ->. 解得5m >或3m <-.。
2018年广西柳州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(★)设集合,集合B={y|y=2 x,x<0},则A∪B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)2.(★)已知复数Z= (i是虚数单位),则复数Z的共轭复数是()A.1+i B.1-i C.D.3.(★)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2021年是“干支纪年法”中的()A.壬子年B.辛子年C.辛丑年D.庚丑年4.(★)设f(x)= costdt,则f(f())=()A.1B.sin C.sin 2D.2sin5.(★★★)抛物线y 2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A.B.C.1D.6.(★)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是()A.B.C.D .7.(★)如图是把二进制数11111 (2)化为十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是()A.i>4B.i≤4C.i>5D.i≤58.(★★)如图所示的由8根长均为10cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,把一个皮球放入其中,使皮球的表面与8根铁丝都相切,则皮球的半径()A.B.10C.D.59.(★★★)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮98石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知乙分得28石,则“衰分比”为()A.B.2C.或2D.或10.(★★)设a∈R,若函数y=x+alnx在区间(,e)有极值点,则a取值范围为()A.(,e)B.(-e,-)C.(-∞,)∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪(-,+∞)11.(★★)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A.22种B.24种C.25种D.36种12.(★★)设P为椭圆C:(a>b>0)上的动点,F 1、F 2为椭圆C的焦点,I为△PF 1F 2的内心,则直线IF 1和直线IF 2的斜率之积()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(★★)设A(1,1)、,点C满足=2 ,则点C到原点O的距离为.14.(★★★)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是.15.(★★)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中,x 5与x 6的系数相等,则n= .16.(★★★)设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E,F在棱A 1B 2上,动点P、Q分别在棱AD、CD上,若EF=1,A 1E=x,DQ=y,DP=Z,(x,y,z>0),则下列结论中正确的是.①EF∥平面DPQ;②三菱锥P---EFQ的体积与Y的变化有关,与x、z的变化无关;③异面直线EQ和AD 1所成角的大小与x、y、z的变化无关.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(★★★)如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若∠ABC= ,AC边上的中线BD的长为,求△ABC的面积.18.(★★★)未来制造业对零件的精度要求越来越高,3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模具,后逐渐用于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛,可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取10个零件,测量其内径为99.7,99.7,99.8,100.2,100.5,100.7,100.8,100.9,101.3,101.4;(单位:um).(1)计算平均值μ与标准差σ;假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N (μ,σ2),该团队到工厂安装调试后,试打了5个零件,测量其内径分别为(单位:um):99.1,99.5,101.5,102.1,102.2,试问此打印设备是否需要进一步调试,请说明理由.(2)为判断一个零件的优劣,从加工中的零件重任意抽取一件,记其内径为x,并根据下表规则进行划定等级:从抽取的10个零件重,抽取3个,设抽出的3个零件中是优秀零件的个数为X,并求X的分布列及数学期望.参考数据:P(u-2σ<Z<u+2σ)=0.9544,P(u-3σ<Z<u+3σ)=0.9974.19.(★★★★)如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.20.(★★★)如图,抛物线顶点在原点,圆(x-1)2+y 2=1的圆心恰是抛物线C的焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)设抛物线的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1与抛物线C交于A、B两点,l 2与抛物线C交于D、E两点,求的最小值.21.(★★★★★)已知函数f(x)=xlnx.(1)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程;(2)若函数g(x)=x 2存在两个极值点x 1,x 2,其中x 1<x 2,证明不等式:.(二)选考题:共10分,请考生在第22-23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(★★★★)在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为(β为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ(1)将C 1的方程化为普通方程,将C 2的方程化为直角坐标方程;(2)已知直线l的参数方程为(<α<π,t为参数,且t≠0),l与C 1交于点A,l与C 2交于点B,且|AB|= ,求α的值.23.(★★★)已知函数,且f(x)≥t恒成立.(1)求实数t的最大值;(2)当t取最大时,求不等式的解集.。
柳州市、北海市、钦州市2017-2018届高中毕业班1月份模拟考试 理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,时间120分钟.第I 卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、若集合{}20x x x M =-≤,函数()()22log 1f x x =-的定义域为N ,则M N = ( )A .[)0,1B .()0,1C .[]0,1D .(]1,0-2、若复数31a i z i+=-(R a ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A .3-B .3C .6-D .63、某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点.为了调查产品的质量,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙城市有20个特大型销售点,要从中抽取8个调查,记这项调查为②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为( ) A .分层抽样法、系统抽样法 B .分层抽样法、简单随机抽样法C .系统抽样法、分层抽样法D .简单随机抽样法、分层抽样法4、已知向量a 与b 的夹角为30,且1a = ,21a b -= ,则b = ( )A. B. C.D.5、由曲线y 与3y x =所围成的封闭图形的面积是( )A .1112B .512C .23D .146、若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( )A .12- B .12C .34D .34-7、设变量x 、y 满足约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则124yx z ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最小值为( )A .12B .14C .16D .188、在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱1111CD C D AB -A B 中,C 3π∠AB =,侧棱1AA 与对角线1D B 所成的角为θ,则θ为( )A .6π B .4π C .3πD .2π9、一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球,现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数球的概率为( )A .35B .45C .320D .31010、阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,那么输入实数x 的取值范围是( )A .[]2,1--B .(],1-∞-C .[]1,2-D .[)2,+∞11、已知P 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)上的点,1F 、2F 是其焦点,双曲线的离心率是54,且12F F 0P ⋅P =,若12FF ∆P 的面积为9,则a b +的值为( )A .5B .6C .7D .8 12、若()()111f x f x +=+,当[]0,1x ∈时,()f x x =,若在区间(]1,1-内()()g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围为( )A .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题,学生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13、已知73ax⎛ ⎝的展开式中,常数项为14,则a = (用数字填写答案).14、在C ∆AB 中,角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ,若C 0AB⋅A =,a =6bc +=,则cos A = .15、设经过点()4,0-的直线l 与抛物线212y x =的两个交点为A 、B ,经过A 、B 两点分别作抛物线的切线,若两切线互相垂直,则直线l 的斜率等于 .16、已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形,则该三棱锥的外接球体积为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分12分)已知递增的等比数列{}n a 前三项之积为8,且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列. ()1求等比数列{}n a 的通项公式;()2若不等式220n n n a a k +-≥对一切n *∈N 恒成立,求实数k 的取值范围. 18、(本小题满分12分)9台发动机分别安装在甲、乙、丙3个车间内,每个车间3台,每台发动机正常工作的概率为12.若一个车间内至少有一台发动机正常工作,则这个车间不需要停产维修,否则需要停产维修.()1求甲车间不需要停产维修的概率;()2若每个车间维修一次需1万元(每月至多维修一次),用ξ表示每月维修的费用,求ξ的分布列及数学期望.19、(本小题满分12分)如图,三棱柱111C C AB -A B 中,侧面11C C AA ⊥底面C AB ,11C C 2AA =A =A =,C AB =B 且C AB ⊥B ,O 为C A 中点.()1设E 为1C B 中点,连接OE ,证明://OE 平面1A AB ;()2求二面角11C A-A B-的余弦值.20、(本小题满分12分)已知椭圆C:22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为,过椭圆顶点(),0a ,()0,b 的直线与圆2223x y +=相切.()1求椭圆C 的方程;()2若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点A ,B ,设P 为椭圆上一点,且满足t OA +OB =OP (O 为坐标原点),当3PA -PB < 时,求实数t 的取值范围.21、(本小题满分12分)已知函数()1ax x ϕ=+,a 为正常数. ()1若()()ln f x x x ϕ=+,且92a =,求函数()f x 的单调增区间;()2若()()ln g x x x ϕ=+,且对任意1x ,(]20,2x ∈,12x x ≠,都有()()21211g x g x x x -<--,求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示,AB 是O 的直径,G 为AB 延长线上的一点,GCD 是O 的割线,过点G 作AB 的垂线,交C A 的延长线于点E ,交D A 的延长线于点F ,过G 作O 的切线,切点为H .求证:()1C ,D ,F ,E 四点共圆; ()22G G GF H =E⋅.23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,与y 轴交于点P .()1求曲线C 的直角坐标方程;()2求11+PA PB的值.24、(本大题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-.()1当1a =-时,解不等式()3f x ≥;()2如果R x ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围.柳州市、北海市、钦州市2017-2018届高中毕业班1月份模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分. 题号 123456789 10 11 12答案A B B C B A B C D A C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.2 14.53 15.81 16.π3520三、解答题:本大题共6小题,共70分。
2018年广西高三上学期期末联考数学(理)试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,集合,则( )A .B .C .D .2.已知复数(为虚数单位),那么的共轭复数为( ) A .B .C .D . 3.某单位为了了解用电量度与气温之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程,预测当气温为时,用电量度数为( ) A .68 B .67 C .65 D .64 4.的展开式中的系数为( )A .208B .216C .217D .218 5.执行如图的程序框图,那么输出的值是( )A .101B .120C .121D .1036.设的三个内角所对的边分别为,如果,且{}2log 1M x x =<{}210N x x =-≤M N =I {}12x x ≤<{}12x x -≤<{}11x x -<≤{}01x x <≤21iz i+=-i z 3322i +1322i -1322i +3322i -y x℃ˆ2yx a =-+4-℃()423a b c +-2abc ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()3a b c b c a bc +++-=,那么的外接圆面积与内切圆面积的比值为()A.4 B.2 C.17.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.B. C. D.8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.36 C..9.已知各项都为正数的等比数列,满足,若存在两项,则的最小值为()A.2 B. C. D.110.已知圆,抛物线,与相交于两点,且,则抛物线的方程为()A. B. C. D.sin2sin cosA B C=ABC∆O3sin4y xπ=1361181121832+32+32+{}na3122a a a=+,m na a14a=14m n+3213()221:24C x y+-=()22:20C y px p=>1C2C,A BAB=2C285y x=2165y x=2325y x=2645y x=11.已知函数满足,当时,.若函数在区间上有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )A .B .C .D .12.已知点为的重心,设的内角的对边为且满足向量,若,则实数( )A .2B .3C .D . 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若满足约束条件,则的最小值为 .14.如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称,那么 .15.已知分别是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若为等边三角形,则的面积为 .16.把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角,下列正确的命题序号是 .①四面体外接球的体积随的改变而改变; ②的长度随的增大而增大; ③当时,长度最长;④当时,. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)()g x ()12g x g x ⎛⎫=⎪⎝⎭[]1,3x ∈()ln g x x =()()f x g x mx =-1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3ln 3,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,ln 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦10,e ⎛⎫⎪⎝⎭G ABC ∆ABC ∆,,A B C ,,a b c BG CG ⊥uu u r uu u rtan sin a A b C λ=⋅λ=2312,x y 1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩2z x y =+()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<12πϕ=12,F F 22143x y -=1F l B A 、2ABF ∆12BF F ∆AB AD ABCD AC B AC D --()0θθπ<<ABCD θBD θ2πθ=BD 23πθ=BD17.已知等比数列中,,成等差数列;数列中的前项和为,.(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 18.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2017年双11全天交易额达到1682亿元,为规范和评估该行业的情况,相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行评价,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)完成关于商品和服务评价的列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全为好评的次数为随机变量:①求对商品和服务全为好评的次数的分布列; ②求的数学期望和方差. 附:临界值表:的观测值:(其中)关于商品和服务评价的列联表:19.如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,平面交于点,且平面.(1)求证:;{}n a 22a =234,1,a a a +{}n b n n S 2n S n n =+{}{},n n a b 14n n n a b b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n 22⨯X XX 2K ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++22⨯111ABC A B C -ABC ∆1ACD AB D 1BC ∥1ACD CD AB ⊥(2)若四边形是正方形,且,求直线与平面所成角的正弦值.20.已知点在椭圆上,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆的右顶点,点是椭圆上不同的两点(均异于)且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由. 21.已知函数. (1)讨论的单调性;(2)若有两个极值,其中,求的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知曲线,以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.(1)将曲线倍、2倍后得到曲线.试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;(2)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值. 23.选修4-5:不等式选讲设函数;(1)若,且对任意恒成立,求实数的取值范围; (2)若,且关于的不等式有解,求实数的取值范围.11CBB C 1A D =1A D 11CBB C 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()2222:10x y C a b a b +=>>12C M C ,A B C M MA MB 14AB ()()12ln f x x a x a x=-+∈R ()f x ()f x 12,x x [)2,x e ∈+∞()()12f x f x -xoy 221:1C x y +=xoy O x ():2cos sin 6l ϑθθ-=1C 2C l 2C 2C P P l ()2,f x x x a x =++-∈R 0a <()2log 2f x >x ∈R a 0a >x ()32f x x <a理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBABC 6-10:ADCBC 11、12:AD二、填空题13.-4 14. 15. 16.②④三、解答题17.解:(1)设等比数列的公比为; 因为成等差数列,故,即,故; 因为,即. 因为,故当时,.当时,;综上所述. (2)知; 故数列的前项和为 . 18.解:(1)由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下:4π-2{}n a q 234,1,a a a +()24321a a a +=+432a a =2q =211a a q==12n n a -=2n S n n =+1n =112b S ==2n ≥()()221112n n n b S S n n n n n -=-=+----=2n b n =()1411111n n b b n n n n +==-++1141121n n n n a b b n n -++=+-+14n n n a b b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n ()11211111111212223311n nn n n ⨯-⎛⎫+-+-+++-=- ⎪-++⎝⎭L 22⨯,故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (2)①每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为,且的取值可以是0,1,2,3. 其中;;. 的分布列为:②,,19.解:(1)证:连结,设与相交于点,连接, 则为中点,∵平面,平面平面 ∴, ∴为的中点. 又∵为正三角形, ∴.(2)∵,∴. 又, ∴.()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯25X ()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 23,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()26355E X =⨯=()2218315525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭1AC 1AC 1ACE DE E 1AC 1BC ∥1ACD DE =1ACD I 1ABC 1DE BC ∥D AB ABC ∆CD AB ⊥222115AD A A A D +==1A A AD ⊥1B B BC ⊥11B B A A ∥1A A BC ⊥又,∴平面设的中点为,的中点为,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.则,, ∴. 平面的一个法向量,.所以直线与平面所成角的正弦值为. 20.解:(1)可知离心率,故有,又有点在椭圆上,代入得,解得,,故椭圆的方程为. (2)由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为,,,联立得.∴,.AD BC B =I 1A A ⊥ABC BC O 11B C 1O O OB x 1OO y OA z O xyz-(10,A 12D ⎛ ⎝⎭11,2,22A D ⎛=-- ⎝⎭uuu r 11CBB C ()0,0,1n =r111cos ,A D n A D n A D n⋅==⋅uuu r r uuu r r uuu r r 1A D 11CBBC 1012c e a ==2c a =222222344a ab ac a =-=-=31,2⎛⎫⎪⎝⎭2222:1x y C a b +=221914a b +=2a=b =C 22143x y +=AB AB ()0y kx m k =+≠()11,A x y ()22,B x y 22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=122834km x x k -+=+212241234m x x k -=+∵直线与斜率之积为. 而点,∴. ∴.化简得,∴, 化简得,解得或, 当时,直线的方程为,过定点.代入判别式大于零中,解得. 当时,直线的方程为,过定点,不符合题意. 故直线过定点.21.解:(1)由题意得,其中, 令,,①当时,令,得,,所以,在单调递增;②当时,,在单调递增;③当时,令,得,,且可知当时,,在单调递增;当时,,在单调递减;MA MB 14()2,0M 12121224y y x x ⋅=--()()()()1212422kx m kx m x x ++=--()()()2212124142440k x x km x x m -++++-=()()22222412841424403434m kmk km m k k---⋅++⋅+-=++22280m km k --=4m k =2m k =-4m k =AB ()4y k x =+()4,0-4m k =()11022k k -<<≠2m k =-AB ()2y k x =-()2,0AB ()4,0-()22212211a x ax f x x x x++'=++=0x >()221m x x ax =++()241a ∆=-1a >()0m x=10x a =-+<20x a =-()0f x '>()f x ()0,+∞11a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,+∞1a <-()0f x '=10x a =-+>20x a =-->12x x>(0,x a ∈-()0f x '>()fx (0,a -(x a a ∈--()0f x '<()fx (a a --当时,,在单调递增;综上所述,当时,在单调递增;当,在和单调递增, 在单调递减;(2)由(1)知,由题意知是的两根, ∴,, 可得, ∵,∴令, 则有 当时,,在上单调递减,的最小值为,即的最小值为.22.解:(1)由题意知,直线的直角坐标方程为:.曲线的直角坐标方程为:,()x a ∈-+∞()0f x '>()fx ()a -+∞1a ≥-()f x ()0,+∞1a <-()fx (0,a -()a -+∞(a a --()()22210x ax f x x x ++'=>12,x x 2210x ax ++=121x x ⋅=122x x a +=-211x x =1112a x x =--[)2,x e ∈+∞110,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()()12111f x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11111112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112ln F x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22211ln 121ln x x x F x x x x +-⎛⎫⎛⎫'=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0F x '<()F x 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦()F x 11142F e e e e e e⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12f x f x -4e l 260x y --=2C 22134x y +=第页 11 ∴曲线的参数方程为(为参数). (2)设点的坐标,则点到直线的距离为:, ∴当,时,点, 此时23.解:(1), ∵对任意恒成立,∴,解得或, ∵,∴实数的取值范围是.(2)当时,,若关于的不等式有解, 则函数的图象与直线有两个交点, ∴,解得. ∴实数的取值范围是.2C 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩θP ),2sin θθP l d ==sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭56πθ=3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭max d ==()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+()2log 2f x >x ∈R 24a +>6a <-2a >0a <a (),6-∞-0a >()2f x x x a =++-22,22,222,x a x a x a x a x a --+<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩x ()32f x x <()f x 32y x =322a a +<4a >a ()4,+∞。
广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟金卷(1)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则集合中元素的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】由题意可得,集合A表示除以3之后余数为2的数,结合题意可得:,即集合中元素的个数为2.本题选择D选项.2. 已知(为虚数单位),则复数()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:,故选B.考点:复数3. 某中学初中部共有120名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A. 128B. 144C. 174D. 167【答案】B【解析】女教师人数为:.4. 已知的展开式中第4项的二项式系数为20,则的展开式中的常数项为()A. 60B.C. 80D.【答案】A【解析】由题意可得=20,求得n=6,则=的展并式的通项公式为T r+1=••,令6﹣=0,求得r=4,可得展并式中的常数项为•4=60.点睛:利用二项式系数的性质求得n=6,在(x﹣)6的展并式的通项公式中,令x的幂指数等于零,求得r的值,可得展并式中的常数项.5. 已知点是以为焦点的椭圆上一点,若,则椭圆的离心率()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,t an∠PF2F1=2,∴=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,∴x=,∴|PF2|=,则|PF1|==,由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,∴解得c=a,∴e==.点睛:本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的灵活运用.6. 下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A. B. C. D.【答案】A【解析】对于选项A,因为,且图象关于原点对称,故选A.考点:三角函数的性质.7. 执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:模拟执行程序框图,的值依次为,因此(此时),因此可填,故选C.考点:程序框图及循环结构.8. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的直径为()A. B. C. 13 D.【答案】C【解析】因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,△ABC的外心是斜边的中点,上下底面的中心连线垂直底面ABC,其中点是球心,即侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长,因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=13,所以球的直径为:13.点睛:通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.9. 设等比数列中,公比,前项和为,则的值()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:由等比数列的前项和公式得,又,. 考点:等比数列的通项公式、前项和公式及运算.10. 设双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于(其中为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由条件,,又P为双曲线上一点,从而,∴,∴,又∵,∴.考点:双曲线的离心率.11. 已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】函数h(x)=f(x)﹣mx+2有三个不同的零点,即为f(x)﹣mx+2=0有三个不同的实根,可令y=f(x),y=g(x)=m x﹣2,分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,A(0,﹣2),B(3,1),C(4, 0),则g(x)的图象介于直线AB和AC之间,介于k AB<m<k AC,可得<m<1.故答案为:(,1).点睛:函数h(x)=f(x)﹣mx+2有三个不同的零点,即为f(x)﹣mx+2=0有三个不同的实根,可令y=f(x),y=g(x)=mx﹣2,分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,通过图象观察,结合斜率公式,即可得到m的范围.12. 已知圆和圆只有一条公切线,若且,则的最小值为()A. 2B. 4C. 8D. 9【答案】D【解析】由题意可得两圆相内切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y﹣b)2=1,圆心分别为(﹣2a,0),(0,b),半径分别为2和1,故有=1,∴4a2+b2=1,∴+=(+)(4a2+b2)=5++≥5+4=9,当且仅当=时,等号成立,∴+的最小值为9.点睛:由题意可得两圆相内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,可得4a2+b2=1,再利用“1”的代换,使用基本不等式求得+的最小值.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为__________.【答案】4【解析】试题分析:作出平面区域如图,易知目标函数在A处取得最大值,又由得,故A(2,2),目标函数的最大值为考点:线性规划14. 已知是等差数列,公差不为零,若成等比数列,且,则__________.【答案】【解析】试题分析:成等比数列,,即,化简得,由得,联立得,故.考点:(1)等差数列的定义;(2)等比中项.15. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为__________.【答案】【解析】∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,∴f(1)=﹣f(﹣1)=0,在(﹣∞,0)内也是增函数∴=<0,即或根据在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数,解得:x∈(﹣1,0)∪(0,1)点睛: 根据函数为奇函数求出f(1)=0,再将不等式x f(x)<0分成两类加以分析,再分别利用函数的单调性进行求解,可以得出相应的解集.16. 在正四棱柱中,为底面的中心,是的中点,若存在实数使得时,平面平面,则__________.【答案】【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:当Q为CC1的中点时,∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,∴平面D1BQ∥平面PAO.点睛: 当Q为CC1的中点时,QB∥PA,D1B∥PO,由此能求出平面D1BQ∥平面PAO.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 的内角所对的边分别为,.(1)求;(2)若,求的面积.【答案】(1) ,(2) .【解析】试题分析:(1)因为正弦定理,所以化为,因为三角形内角有,所以即,所以;(2)由余弦定理,得,而,,得,即,因为三角形的边,所以,则.试题解析:(1)因为由正弦定理,得,又,从而,由于所以(2)解法一:由余弦定理,得,而,,得,即因为,所以,故面积为.解法二:由正弦定理,得从而又由知,所以故,所以面积为.考点:1.正弦定理与余弦定理;2.三角形的面积公式.18. 某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如表:若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.(1)求6天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),求的分布列和数学期望.【答案】(1) ,(2) .【解析】试题分析:(1)销售量为吨的概率;(2)的可能取值为,,可列出分布列,并求出期望.试题解析:(1),依题意,随机选取一天,销售量为吨的概率,设天中该种商品有天的销售量为吨,则,(2)的可能取值为,则:,,所以的分布列为:的数学期望考点:1、频率与概率;2、分布列;3、数学期望.19. 如图,在三棱柱中,底面为等边三角形,过作平面平行于,交于点.(1)求证:;(2)若四边形是边长为2的正方形,且,求二面角的正弦值.【答案】(1),(2) .【解析】(1)证明:连接,设与相交于点,连接,则为中点,∵平面,平面平面,∴,∴为的中点,又∵是等边三角形,∴;(2)因为,所以,又,所以,又,所以平面,设的中点为,的中点为,以为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则,即,设平面的法向量为,由,得,令,得,设平面的法向量为,由,得,令,得,∴点睛:本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法.20. 已知椭圆的离心率为,为椭圆的左右焦点,为椭圆短轴的端点,的面积为2.(1)求椭圆的方程;(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.【答案】(1) ,(2) 此时直线与圆相切.【解析】试题分析:(1)椭圆的离心率为,;的面积为2,;(2)写出直线的方程为,圆心到直线的距离.解析:(1)由题意,,解得,所以椭圆的方程为.(2)直线与圆相切.证明如下:设点的坐标分别为,其中.因为,所以,即,解得.当时,,代入椭圆的方程,得,故直线的方程为.圆心到直线的距离.此时直线与圆相切.当时,直线的方程为.即.又,故.此时直线与圆相切.点睛:利用向量垂直关系得两点的坐标关系,再求圆心到直先得距离恰为半径.21. 已知为实数,函数.(1)若是函数的一个极值点,求实数的取值;(2)设,若,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) ,(2) 实数的取值范围为.【解析】试题分析:(1)求出函数f(x)定义域,函数的导函数f′(x),假设存在实数a,使f (x)在x=3处取极值,则f′(3)=0,求出a,验证推出结果.(2)由f (x0)≤g(x0)得:(x0﹣lnx0)a≥x02﹣2x0,记F(x)=x﹣lnx(x>0),求出F′(x),推出F(x)≥F(1)=1>0,转化a≥,记G(x)=,x∈[,e]求出导函数,求出最大值,列出不等式求解即可.解析:(1)函数定义域为,.∵是函数的一个极值点,∴,解得.经检验时,是函数的一个极小值点,符合题意,∴.(2)由,得,记,∴,∴当时,,单调递减;当时,,单调递増.∴,∴,记,∴.∵,∴,∴,∴时,,单调递减;时,,单调递增,∴,∴.故实数的取值范围为.点睛:本题考查函数的动手的综合应用,函数的最值的求法,极值的求法,用到了变量集中的方法. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为 (为参数).(1)若,是直线与轴的交点,是圆上一动点,求的最小值;(2)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,求的值.【答案】(1) 的最小值为,(2) 解得或.【解析】试题分析:(Ⅰ)首先,根据所给a的值,将圆的极坐标方程化为普通方程,将直线的参数方程化为直角坐标方程,然后,根据圆的性质,将所求的最值转化为到圆心的距离;(Ⅱ)首先,得到原点普通方程,然后,结合圆的弦长公式,建立关系式求解a的值即可.试题解析:(Ⅰ)当时,圆的极坐标方程为,可化为,化为直角坐标方程为,即.直线的普通方程为,与轴的交点的坐标为,∵圆心与点的距离为,∴的最大值为.(Ⅱ)由,可化为,∴圆的普通方程为.∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,∴由垂径定理及勾股定理得:圆心到直线的距离为圆半径的一半,∴,解得或.23. 选修4一5:不等式选讲已知,不等式的解集是.(1)求的值;(2)若存在实数解,求实数的取值范围.【答案】(1) ,(2) .【解析】试题分析:(1)通过讨论a的范围,求出不等式的解集,根据对应关系求出a的值即可;(2)根据不等式的性质求出最小值,得到关于k的不等式,解出即可.解析:(1)由,得,即,当时,,所以,解得;当时,,所以无解.所以.(2)因为,所以要使存在实数解,只需,所以实数的取值范围是.点睛:本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及转化思想,以及函数恒成立求参的方法.。
广西柳州高中南宁二中2018—2018学年度第一学期高三年级联考数学试题(理)第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.集合},14|{},,12|{},,2|{Z k k x x C Z k k x x B Z k k x x A ∈+=∈+=∈=,又B b A a ∈∈,,则有 ( )A .A b a ∈+B .B b a ∈+C .C b a ∈+D .b a +不属于A ,B ,C 中的任意一个 2.已知41)4cos(=-πα,则α2sin 的值为( )A .3231B .3231-C .87-D .873.奇函数)0()(≠=x x f y ,当),0(+∞∈x 时,1)(-=x x f ,则函数)1(-=x f y 的图象为( )4.已知-7,21,a a ,-1四个实数成等差数列,1,,,,4321--b b b 五个实数成等比数列,则 212b a a -=( )A .1B .-1C .2D .±1 5.已知函数xxx f +-=121)(2007,那么)1(1-f的值等于( )A .0B .-2C .2212007+D .2212007-6.若b a ==,,则∠AOB 平分线上和向量为( )A .||||b aa b +B .)||||||||(b a ba ab ++λC .)||(b a ba ++λD .)||||(b b a a +λ (以上OM R 由∈λ决定)7.已知,命题p :xx 1+的最小值是2,q :5)1(x -的展开式中第4项的系数最小,下列说法正确的是 ( ) ①命题“p 或q ”为假 ②命题“p 且q ”为真 ③命题“非p ”为真 ④命题q 为假 A .①③④ B .②④ C .② D .③8.生物学中指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率),在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中,若使H 6获得10kJ 的能量,则需要H 1最多提供的能量是 ( ) A .6000kJ B .6×118kJ C .118kJ D .118kJ9.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为54,乙及格的概率为53,丙及格的概率为107,三人各自检测一次,则三人中只有一人及格的概率为( )A .203 B .12542 C .25047D .以上都不对10.已知抛物线c bx x y ++-=22在点(2,-1)处与直线3-=x y 相切,则c b +的值为( )A .20B .-2C .9D .211.已知)(x f y =是偶函数,当x > 0时,xx x f 4)(+=,且当]1,3[--∈x 时,m x f n ≤≤)( 恒成立,则n m -的最小值是 ( )A .31B .32 C .34 D .112.数列{a n }中,n S a ,11=是其前n 项和.当2≥n 时,n n S a 3=,则31lim1-++∞→n n n S S 的值是( )A .31-B .-2C .1D .54-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校,每所小学至少得到2台,不同的送法共有 . 14.在10)1)(1(x x +-的展开式中,3x 的系数为 .(用数字作答)15.对于实数x 、y ,定义新运算1++=*by ax y x ,其中a 、b 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5=15,4*7=28,则1*1 = .16.定义在(-∞,+∞)上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且在[-1,0]上是增函数,下面是关于)(x f 的判断:①)(x f 是周期函数;②)(x f 是图象关于直线x = 1对称; ③)(x f 在[0,1]上是增函数;④)(x f 在[1,2]上是减函数;⑤).0()2(f f = 其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都.填上) 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)设P :关于x 的不等式:a x x <-+-|3||4|的解集是.φQ :函数 )lg(2a x ax y +-=的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,求a 的取值范围. 18.(本题满分12分)设向量、满足7|23|1||||=-==b a b a 及. (1)求、所成的角的大小. (2)求|3|+的值.19.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且,272cos 2sin 42=-+A C B(1)求∠A 的度数;(2)若,3,3=+=c b a 求b 和c 的值.20.(12分)设{a n }为公差大于0的等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项的和.已知S 4=24,a 2a 3=35. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)若,11+=n n n a a b 求}{n b 的前n 项和T n .21.(本小题满分12分)一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比,与它的厚度d 的平方成正比,与它的长度l 的平方成反比.(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度),枕木的安全负荷变大吗?为什么?(2)现在一根横断面为半圆(半圆的半径为R )的枕木,用它来截取成长方形的枕木,其长度为枕木规定的长度, 问如何截取,可使安全负荷最大?22.(本小题满分14分)已知)(x f 在(-1,1)上有定义,,1)21(=f 且满足)1,1(,-∈y x 有),1()()(xyy x f y f x f --=-对数列}{n x 有).(12,21*211N n x x x x n n n ∈+==+(1)证明:)(x f 在(-1,1)上为奇函数; (2)求)(n x f 的表达式;(3)是否存在自然数m ,使得对于任意*N n ∈且48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 成立?若存在,求出m 的最小值.参考答案二、填空题13.10 14.75 15.-11 16.①②⑤三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:使P 正确的a 的取值范围是:1≤a (4分)Q 正确02>--⇔a x ax 恒成立.当a =0时,x a x ax -=+-2不能对一切实数恒大于0.故Q 正确214102>⇔⎩⎨⎧<-=∆>⇔a a a (8分) 若P 正确而Q 不正确,则21≤a , 若Q 正确而P 不正确,则,1>a 故所求的a 的取值范围:.121>≤a a 或 (12分) 18.解(1)7)23(2=- 712||4||922=⋅-+ 而211||||=⋅∴== …………………………………………4分 21)c o s ||||=⋅⋅∴ a ∴、b 所成的角为3π ………………6分(2)13139||6||9)3(222=++=+⋅+=+b b a a b a13|3|=+∴ ………………………………………………………12分19.解:(1)由272cos 2sin42=-+A C B 及A+B+C=180°, 得271cos 2)]cos(1[22=+-+-A C B ,………………………………4分.5c o s 4)c o s 1(42=-+A A21c o s ,01c o s 4c o s 42=∴=+-∴A A A ∵0°< A < 180°, ∴A = 60° ……………………………………………6分(2)由余弦定理得:.2cos 222bc a c b A -+=,212,21c o s222=-+∴=bc a c b A ………………………………8分.3)(22bc a c b =-+∴ 将3,3=+=c b a 代入上式得bc = 2. 由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+.1,2.2,123c b c b bc c b 或得 20.解:(1)24)(22)(432414=+=+=a a a a S ………………………2分 由5,7,7,5351232323232====⎩⎨⎧==+a a a a a a a a 或解得………… 4分,7,5,032==∴>a a d 于是,3,2123==-=a a a d ……………6分 12)1(23+=-+=∴n n a n ………………………………………… 8分 (2))321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n ……………………10分96)]321121()7151()5131[(21+=+-+++-+-=∴n nn n T n …………12分21.解(1)安全负荷221l ad k y ⋅=(k 为正常数),翻转90°后,.222lda k y ⋅=,21ad y y =∴当0 <d < a 时,21y y <,安全负荷变大;当d a <<0时12y y <,安全负荷变小;当a = d ,y 1 = y 2, 安全负荷不变. …………………………………………5分(2)设截取的宽为a ,高为d ,则222)2(R d a =+,即.44222R d a =+∵枕木长度不变,∴u = ad 2最大时,安全负荷最大.2222244d R d a d u -== 令)(46242d R d u v -==则)32(8)64(4233523d R d d R d v -=-=' 令,0='v 则),0(36舍去负>=d R d 即取,36R d =取R d R a 332222=-=时 u 最大,即安全负荷最大. ………………………………………………12分22.解:(1)当0==y x 时,0)0(=f ;令x = 0,得)()()0(y f y f f -=-即0)()(=-+y f y f∴对任意的0)()(),1,1(=-+-∈x f x f x故)(x f 在(-1,1)上为奇函数.…………………………………………3分(2)}{n x 满足.10.12,21211<<∴+==+n nn n x x x x x )(),12(])(1)([)()(2x f x x f x x x x f x f x f nnn n n n n n +=----=-- 在(-1,1)上为奇函数. )(2)(1n n x f x f =∴+;由,1)(,21,1)21(11=∴==x f x f 从而12)(-=n n x f …………………………8分 (3)112212122112112121211)(1)(1)(1---=--=++++=+++n nn n x f x f x f 假设存在自然数m ,使得对于任意*N n ∈,有48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 成立.即482121-<--m n 恒成立. .16248≥≥-∴m m 解得 ∴存在自然数m ≥16,使得对于任意,*N n ∈有48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 成立.此时,m 的最小值为16. ……………………………………………………14分。
广西壮族自治区柳州市龙屯中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列叙述中,正确的个数是①命题p:“”的否定形式为:“”;②O是△ABC所在平面上一点,若,则O是△ABC的垂心;③“M>N”是“>”的充分不必要条件;④命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;⑤已知。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案:C2. 设,且为正实数,则A.2B.1C.0D.参考答案:D3. 若是方程的解,则属于区间为()A.(). B.(). C.() D.()参考答案:C4. 已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°参考答案:A5. 下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是( )A.B.C.D.参考答案:B6. 已知满足约束条件的最大值和最小值分别为,则A.7 B.6 C.5 D.4参考答案:A7. 已知则(A)(B)(C)(D)参考答案:D8. 若函数为奇函数,且g(x)= f(x)+2,已知 f(1) =1,则g (-1)的值为( )A.1B.-1C.2 D.-2参考答案:B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;【试题分析】因为,所以,又因为为奇函数,所以,所以,,故答案为B.9.A. B. C. D.参考答案:答案:B10.两个正数m,n的等差中项是5,等比中项是4。
若m>n,则椭圆的离心率e的大小为 .参考答案:答案:二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数满足,则当取最小值时,的值为________.参考答案:5【知识点】柯西不等式N4解析:由柯西不等式得此时又,【思路点拨】直接使用柯西不等式可求结果.12. 下列说法正确的是。
广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合()(){}2340A x Z x x =∈+-<,{}1ln B x y x ==-,则A B ⋂=( ) A .(]0,e B .{}0,e C .{}1,2 D .()1,22.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-( ) A .1i -- B .1i + C .312i - D .312i +3。
如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比,从图可以看出下列说法正确的( )①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为20% ③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为40% A .①②③ B .①③④ C .①②④ D .②③④ 4.()62x y -的展开式中,24x y 的系数为( )A .60B .60-C .240D .240-5.已知焦点在x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6,若该椭圆的离心率为13,则椭圆的方程是( )A .2214x y += B .22198x y += C .22143x y += D .22189x y +=6。
同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线3x π=对称;③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数;④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是( ) A .sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为( )A .37B .45 C. 35 D .348.过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比为( ) A .932 B .916 C 。
2018年广西柳州高级中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题,每题5分,共60分1.(★)已知全集U=R,集合A={x|x 2-x-6<0},B={1,2,3,4},则Venn图中阴影部分所表示的集合是()A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}2.(★)若复数z满足z(i-1)=4-2i(i为虚数单位),则下列说法正确的是()A.复数z的虚部为-iB.|z|=10C.=-3+iD.复平面内与复数z对应的点在第二象限3.(★)已知向量,则“λ=1”是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(★)根据图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况,以下结论正确的是()A.2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B.2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C.2008年我国实际利用外资同比增速最大D.2010年以来我国实际利用外资同比增速最大5.(★)若双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y 2=1相切,则C 的渐近线方程为()A.y=±B.y=C.y=D.y=±3x6.(★)从某企业生产的某种产品中抽取若干件,经测量得这些产品的一项质量指标值Z服从正态分布N(200,150),某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,则E(X)等于()附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.A.34.13B.31.74C.68.26D.95.447.(★)已知a= ,b=log 2017,c=log 2018,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a8.(★★)如图是一个旋转体被挖掉一个最大半球后得到的几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A .14πB .15πC .16πD .18π9.(★★)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF ,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB ,CD 间的距离为3尺,CD ,EF 间的距离为7尺,则异面直线DF 与AB 所成的角的正弦值为( )A .B .C .D .10.(★★)已知变量x ,y 满足约束条件 ,若z=2x-y ,则z 的取值范围是( )A .[-5,6)B .[-5,6]C .(2,9)D .[-5,9]11.(★★★)已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象过点B (0,-1),且在(,)上单调,同时f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合,当x 1,x 2∈(- ,- ),且x 1≠x 2时,f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=()A.-B.-1C.1D.12.(★★)已知定义在[- ,]的函数f(x)=sinx(cosx+1)-mx,则该函数的零点个数最多有()A.1个B.2个C.3个D.5个二、填空题,每小题5分,共20分13.(★★)在△ABC中,AB=2,BC= ,A=60°,则AB边上的高等于14.(★★)甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下:已知五张纸牌上分别写有1-()n(n∈N*,1≤n≤5)五个数字,现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手中的数,想了想说:我不知道谁手中的数更大;乙听了甲的判断后,思索了一下说:我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中的数是.15.(★★★)(x 2- )6的展开式中的剔除常数项后的各项系数和为16.(★★★)已知A、B、C为某信号(该信号的传播速度为1公里/秒)的三个接收站,其中A、B相距600公里,且B在A的正东方向;A、C相距公里,且C在A的东偏北30°方向.现欲选址兴建该信号的发射塔T,若在T站发射信号时,A站总比B站要迟200秒才能接收到信号,则C站比A站最多迟秒可接收到该信号.(A、B、C、T站均可视为同一平面上的点)三、解答题,共5小题,共70分17.(★★★)已知数列{a n}的前n项和为S n,a 1=1,a n>0,,其中λ为常数.(1)证明:S n+1=2S n+λ;(2)是否存在实数λ,使得数列{a n}为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18.(★★★★)已知在直角梯形ABC′D中,∠A=∠B=90°,AD=AB=1,BC′=2,将△C′BD沿BD折起至△CBD,使二面角C-BD-A为直角.(1)求证:平面ADC⊥平面ABC;(2)若点M满足=λ,λ∈[0,1],当二面角M-BD-C为45°时,求λ的值.19.(★★★★)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴,其补贴标准如下: 2017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:(1)求该市电动汽车2017年地方财政补贴的均值;(2)某企业统计2017年起充电站100天中各天充电车辆数,得下面的频数分布表:(同一组数据用该区间的中点值作代表)2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来,该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备,现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案:方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)20.(★★★★)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)经过点(2,),离心率为.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC与直线x=-4相交于点D,若△ADF为等腰直角三角形,求l的方程.21.(★★★★★)已知函数f(x)=e x-1+x 2+a,函数g(x)=x 2+ax+lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数y=g(x)的单调性;(Ⅱ)若函数f(x)与函数g(x)的图象有仅有一个公共点P(x 0,y 0),证明:x 0<2.四、解答题(共1小题,满分10分)22.(★★★★)在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中有射线l:θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sinθ+2cosθ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l与曲线C 2交于点A,B两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m的值.选修4-5:不等式选讲]23.(★★★)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)≤2的解集为M.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|+|a-b|≤1.。
广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}2340A x Z x x =∈+-<,{B x y ==,则A B ⋂=( ) A .(]0,e B .{}0,e C .{}1,2 D .()1,22.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-( ) A .1i -- B .1i + C .312i - D .312i +3.如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比,从图可以看出下列说法正确的( )①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为20% ③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为40% A .①②③ B .①③④ C .①②④ D .②③④ 4.()62x y -的展开式中,24x y 的系数为( )A .60B .60-C .240D .240-5.已知焦点在x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6,若该椭圆的离心率为13,则椭圆的方程是( ) A .2214x y += B .22198x y += C .22143x y += D .22189x y +=6.同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线3x π=对称;③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数;④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是( )A .sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为( )A .37 B .45 C. 35D .34 8.过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比为( ) A .932 B .916 C.38D .316 9.数列{}n a 的通项公式为*cos,2n n a n N π=∈,其前n 项和为n S ,则2017S =( ) A .1008 B .1008- C. 1- D .010.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率是( )A11.已知函数()21x f x e -=,直线l 过点()0,e -且与曲线()y f x =相切,则切点的横坐标为( )A . 1B .1- C. 2 D .1e -12.已知向量AB 与AC 的夹角为60︒,且2,4AB AC ==,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为( )A .45 B .45- C. 0 D .25- 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若变量,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为 .14. 设等比数列{}n a 的前n 项积为9Ⅱ,若167512=ⅡⅡ,则12a 的值是 . 15. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()623f x f x f ++=,()1y f x =-的图象关于点()1,0对称且()24f =,则()22f = .16. 如图所示,在四面体A BCD -中,若截面PQMN 是正方形,则下列命题中正确的是 .(将所有正确答案序号填写到横线上)①AC BD ⊥;②//AC 截面PQMN ;③AC BD =;④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知,A B 分别在射线,CM CN (不含端点C )上运动,23MCN π∠=,在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c.(1)若b 是a 和c 的等差中项,且4c a -=,求c 的值; (2)若2c =,求使ABC ∆面积最大时,a b 的值.18. 在一次诗词知识竞赛调査中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:2030;3040(单位:岁),其中答对诗词名句与否的人数如图所示.(1)完成下面的22⨯列联表;判断是否有90%的把握认为答对诗词名与年龄有关,请说明你的理由;(参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)(2)若计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手,求3名选手中在2030岁之间的人数的分布列和期望.19.如图 ,在四棱锥P ABCD -中,//,90AD BC ADC PAB ∠=∠=︒,12BC CD AD ==,E 为棱AD 的中点,PA CD ⊥.(1)证明:CD ⊥平面PAD ;(2)若二面角P CD A --的大小为45︒,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.20. 已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ()()()112212,,,A x y B x y x x <两点,且6AB =.(1)求该抛物线C 的方程;(2)已知抛物线上一点(),4M t ,过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ,且M D M E ⊥,判断直线DE 是否过定点?并说明理由.21. 已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值. (1)求实数a 的值;(2)设()()()22ln F x x x x f x =+--,其导函数为()F x ',若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <,设线段CD 的中点为(),0N s ,试问s 是否为()0F x '=的根?说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)把曲线1C 的方程化为普通方程,2C 的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线1C ,2C 相交于,A B 两点,AB 的中点为P ,过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点,求PE PF ⋅.23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数()12017f x x =-+.(1)解关于x 的不等式()2017f x x >+; (2)若()()()24341f a f a -+>-+,求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDCCB 6-10: CCADA 11、12:AC 二、填空题13. 3 14. 2 15. 4- 16.①②④ 三、解答题17. (1)因为,,a b c 成等差数列,故4,2a c b c =-=-, 在ABC ∆中,23MCN π∠=,所以 1cos 2C =-, 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-代入得29140c c -+=,解得2c =或7c =;因为4c >,故7c =.(2)∵2c =,1cos 2C =-,∴由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-, 即22423a b ab ab ab ab =++≥+=, ∴43ab ≤,(当且仅当a b =时成立),∵1sin 2S ab C ==≤,∴当a b =时,ABC ∆a b ==则当a b ==ABC ∆18.(1)由已知得22⨯列联表为:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()120701030103 2.706201004080⨯-⨯==>⨯⨯⨯,∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关. (2)设3名选手中在2030岁之间的人数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,2030岁之间的人数是2人,()3436105C P C ξ===,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ=== ∴ξ的分布列为:()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.(1)证明:由已知,PA CD ⊥, 又90ADC ∠=︒,即CD AD ⊥, 且 PA AD A ⋂=, ∴CD ⊥平面 PAD .(2)∵CD ⊥平面 PAD ,∴PDA ∠为二面角P CD A --的平面角,从而45PDA ∠=︒. 如图所示,在平面ABCD 内,作Ay AD ⊥, 以A 为原点,分别以,AD AP 所在直线为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,设1BC =,则()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0A P E C , ∴()()()1,0,2,1,1,0,0,0,2PE EC AP =-==. 设平面PCE 的法向量(),,n x y z =,则200n PE x z n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2x =,则()2,2,1n =-. 设直线PA 与平面PCE 所成角为α, 则1sin 322n AP n APα⋅===. ∴直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20. (1)拋物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,∴直线AB 的方程为:2p y x ⎫=-⎪⎭.联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫-⎪⎪⎭⎩,消元得:22204p x px -+=, ∴212122,4p x x p xx +==.∴6AB ==解得2p =.∴抛物线C 的方程为:24y x =.(2)由(1)可得点()4,4M ,可得直线DE 的斜率不为0, 设直线DE 的方程为:x my t =+,联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩,得2440y my t --=,则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ,则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅-- ()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++ ()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+,得:()()226421t m -=+, ∴()6221t m -=±+,即48t m =+或44t m =-+, 代人①式检验均满足0∆>,∴直线DE 的方程为:()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-(定点()4,4不满足题意,故舍去). 21.(1)因为()ln f x ax x x =+, 所以()ln 1f x a x '=++,因为函数()f x 在2x e -=处取得极小值, 所以()20f e -'=,即2ln 10a e -++=, 所以1a =,所以()ln 2f x x '=+,当()0f x '>时,2x e ->,当()0f x '< 时,20x e -<< 所以()f x 在()20,e -上单调递减,在()2,e -+∞上单调递增. 所以()f x 在2x e -=处取得极小值,符合题意.所以1a =.(2)由(1)知函数()22ln F x x x x =--.∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ,(12x x <), ∴21112ln 0x x x --=, 22222ln 0x x x --=.两式相减得 ()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x'=--. ()1212121212122ln ln 4421x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫'=+-=- ⎪+--+⎝⎭ . 下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+. 即()1212122ln0x x x x x x --=+. 令12x t x =,∵120x x <<,∴01t <<, 即()21ln 01t t t --=+.令()()21ln 1t u t t t -=-+,()()()()22211411t u t t t t t -'=-=++. 又01t <<,∴()0u t '>,∴()u t 在()0,1上是増函数,则()()10u t u <=,从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-, 故1202x x F +⎛⎫'< ⎪⎝⎭,即()0F s '=不成立. 故s 不是()0F x '=的根.22.(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =. 曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=10x y --=..(2)设()()1122,,,A x y B x y ,且中点为()00,P x y ,联立2410y x x y ⎧=⎨--=⎩,解得2610x x -+=,∴12126,1x x x x +==. ∴12003,22x x x y +===.线段AB 的中垂线的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),代入24y x =,可得2160t +-=,∴1216t t =-, ∴1216PE PF t t ⋅==.23. (1)()2017f x x >+可化为1x x ->,∴()221x x ->, ∴12x <. ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.(2)∵()12017f x x =-+在[)1,+∞上单调递増,又431a -+>,()2411a -+≥, ∴只需要()24341a a -+>-+, 化简为()()11420a a -+--<,∴42a-<,解得26<<.a。