河北中考数学复习 第9讲 平面直角坐标系与函数的认识

第三章函数第9讲平面直角坐标系与函数的认识1. (2019，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s 关于t的函数图象大致是(C)A B C D【解析】航行过程分三段，且第二段停留，此时s值不变，即图象与x轴平行，故选项D错误．无论速度快慢，路程都随时间的增大而增大，所以第一、三段图象都应是向上的趋势，故选项A错误．从甲地到乙地顺水航行，从乙地返回到甲地逆水航行，所以第一段图象比第三段倾斜程度更陡一些，故选项B错误，选项C正确．2. (2019，河北)如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是(A)第2题图A B C D【解析】由题意，得y－x2＝π2x，即y＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋12x.3. (2019，河北，导学号5892921)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t s ，y ＝S △EPF ，则y 关于t 的函数图象大致是(A)第3题图A B C D【解析】 在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝13.在Rt △CFB 中，BC ＝BF 2＋CF 2＝13.①当点P 在AD 上运动时，如答图①，过点P作PM ⊥AB 于点M ，则PM ＝ AP·sin A ＝1213t ，此时y ＝12EF ·PM ＝3013t ，为一次函数．②当点P 在DC 上运动时，y ＝ 12EF ·DE ＝30.③当点P 在BC 上运动时，如答图②，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，则PN＝BP·sin B ＝1213 (AD ＋CD ＋BC －t)＝12（31－t ）13，则y ＝12EF ·PN ＝30（31－t ）13，为一次函数．综上可得选项A 的图象符合． 第3题答图平面直角坐标系与点的坐标特征例1 (2019，枣庄)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为(B)A. (－3，－2)B. (2，2)C. (－2，2)D. (2，－2)【解析】点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B(2，－2)，点B关于x轴的对称点B′的坐标为(2，2).针对训练1(2019，沈阳)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(A)A. (4，1)B. (－1，4)C. (－4，－1)D. (－1，－4)【解析】关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.函数图象的判断与分析例2 (2019，达州)如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的图象大致是(D)例2题图A B C D【解析】铁块完全浸没在水中时，y应是重力与浮力的差，且保持不变；铁块从露出水面到完全离开水面的过程中，所受浮力减小，故y值增大；铁块完全离开水面后，y值等于重力，保持不变.针对训练2(2019，衢州)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是 1.5 km.训练2题图【解析】分析图象，可知图书馆距小明家2 km，他回程的速度是2÷20＝0.1(km/min)，所以上午8：45他距家2－0.1×5＝1.5(km).函数自变量的取值范围例3 (2019，恩施州)函数y＝2x＋1x－3的自变量x的取值范围是( x≥－12且x≠3).【解析】 使式子有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，x －3≠0.解得x≥－12且x≠3. 针对训练3 (2019，岳阳)函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是(C)A. x ＞3B. x ≠3C. x ≥3D. x ≥0【解析】 根据二次根式有意义的条件，得x －3≥0.解得x≥3.一、 选择题1. (2019，十堰模拟)下列说法中，正确的是(D)A. 点P (3，2)到x 轴的距离是3B. 在平面直角坐标系中，点(2，－3)和点(－2，3)表示同一个点C. 若y ＝0，则点M (x ，y )在y 轴上D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号【解析】 A . 点P(3，2)到x 轴的距离是2，故此选项错误．B . 在平面直角坐标系中，点(2，－3)和点(－2，3)表示不同的点，故此选项错误．C . 若y ＝0，则点M(x ，y)在x 轴上，故此选项错误．D . 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号，故此选项正确．2. 如果点P (x －4，2x ＋6)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x 的取值范围在数轴上可表示为(C)A B C D【解析】 ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，2x ＋6>0.解得－3<x<4.3. (2019，成都)在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点的坐标是(C)A. (3，－5)B. (－3，5)C. (3，5)D. (－3，－5)【解析】关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标分别互为相反数．4. (2019，石家庄27中模拟)将点A(－1，2)向左平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是(B)A. (－4，－2)B. (4，2)C. (－2，2)D. (2，－2)【解析】点A向左平移3个单位长度，则横坐标减3，纵坐标不变，即B(－4，2)．关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即C(4，2)．5. (2019，扬州改编)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是(B)A. (3，－4)B. (4，－3)C. (－4，3)D. (－3，4)【解析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．点在第四象限，横坐标是正数，纵坐标是负数．6. (2019，昆山一模)在平面直角坐标系中，点P(x，－x2－4x－3)所在的象限不可能是(A)A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 ∵－x 2－4x －3＝－(x ＋2)2＋1，∴当x>0时，－(x ＋2)2＋1<－3<0.∴点P 所在的象限不可能是第一象限．7. (2019，内江)已知函数y ＝x ＋1x －1，则自变量x 的取值范围是(B) A. －1＜x ＜1B. x ≥－1且x ≠1C. x ≥－1D. x ≠1【解析】 根据二次根式、分式有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0.解得x≥－1且x ≠1.8. 如图，一个函数的图象由射线BA 、线段BC 、射线CD 组成，其中点A (－1，2)，B (1，3)，C (2，1)，D (6，5)，则此函数(A)第8题图A. 当－1<x ＜1时，y 随x 的增大而增大B. 当－1<x ＜1时，y 随x 的增大而减小C. 当1<x <2时，y 随x 的增大而增大D. 当2<x <6时，y随x 的增大而减小【解析】 观察图象的变化趋势可得结论．9. (2019，潍坊)如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B ＝60°，动点P 以1 cm/s 的速度自点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm/s 的速度自点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是(D)第9题图A B C D【解析】 当0≤t<2时，S ＝12×2t ·32×(4－t)＝－32t 2＋23t.当2≤t≤4时，S ＝12×4×32·(4－t)＝－3t ＋4 3 .只有选项D 的图象符合．10. 定义新运算：a *b ＝⎩⎨⎧a －1（a ≤b ），－a b （a ＞b 且b ≠0），则函数y ＝3*x 的图象大致是(B) A B C D【解析】 根据新运算，可知y ＝3*x ＝⎩⎨⎧3－1（3≤x ），－3x （3＞x 且x≠0）.①当x≥3时，此函数解析式为y ＝2，函数图象在第一象限，是以(3，2)为端点平行于x 轴的射线，故可排除选项C ，D .②当x<3且x≠0时，此函数是反比例函数，图象位于第二、四象限，可排除选项A .11. (2019，石家庄新华区二模)定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |＋b （a ≤b ），b －a 2（a ＞b ），则函数y ＝x ⊕1的图象大致是(A) A B C D【解析】 根据新运算，可知y ＝x ⊕1＝⎩⎪⎨⎪⎧||x ＋1（x≤1），1－x 2（x ＞1）.①当x>1时，此函数解析式为y ＝1－x 2，函数图象在第四象限．②当x≤1时，此函数解析式为y ＝1＋||x ，图象在第一、二象限．二、 填空题12. (2019，新疆)点(－1，2)所在的象限是第 二 象限．【解析】 横坐标是负数、纵坐标是正数的点在第二象限．13. (2019，临安)点P (3，－4)到x 轴的距离是 4 .【解析】 点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值．14. (2019，宿迁)在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是 (5，1) ．【解析】 由题意，得所得点的坐标为(3＋2，－2＋3)，即(5，1)．15. (2019，枣庄，导学号5892921)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 12 .第15题图【解析】 根据图象可知点P 在BC 上运动时，BP 的长度不断增大，且BP 的最大值为5，即BC ＝5.∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最短，即当BP ⊥AC 时，BP ＝4.∴由勾股定理，可知此时PC ＝3.∵图象的曲线部分是轴对称图形，∴此时PA ＝3.∴AC ＝6.∴S △ABC ＝12×4×6＝12.三、 解答题16. (2019，嘉兴)小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h (m)与摆动时间t (s)之间的关系如图②所示．(1)根据函数的定义，请判断变量h 是否为关于t 的函数？(2)结合图象回答：①求当t ＝0.7时，h 的值，并说明它的实际意义；②秋千摆动第一个来回需多少时间？第16题图【思路分析】 (1)根据图象和函数的定义可以解答．(2)①根据函数图象可以解答本题．②根据函数图象中的数据可以解答本题．解：(1)由图象，可知对于每一个摆动时间t ，h 都有唯一确定的值与其对应，∴变量h 是关于t 的函数．(2)①由函数图象，可知当t ＝0.7时，h ＝0.5.它的实际意义是当摆动时间为0.7 s 时，秋千离地面的高度是0.5 m.②由图象，可知秋千摆动第一个来回需2.8 s.1. (2019，潍坊)在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径，点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3，60°)或P (3，－300°)或P (3，420°)等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是(D)第1题图A. Q (3，240°)B. Q (3，－120°)C. Q (3，600°)D. Q (3，－500°)【解析】 ∵P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)，点P 与点Q 关于点O 成中心对称，∴点Q 的极坐标为(3，240°)或(3，－120°)或(3，600°)等．2. (2019，石家庄43中三模，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1，0)，P 是第一象限内任意一点，连接PO ，P A .若∠POA ＝m °，∠P AO ＝n °，则我们把(m °，n °)叫做点P 的“双角坐标”．例如，点(1，1)的“双角坐标”为(45°，90°)．(1)点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32的“双角坐标”为 (60°，60°) ； (2)若m ≤n ，则点P 到y 轴的距离d 的取值范围为（ d ≥12 ）.【解析】 (1) ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 ，OA ＝1，∴tan ∠POA ＝3212＝3， tan ∠PAO ＝321－12＝ 3.∴∠POA ＝60°，∠PAO ＝60°，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32的“双角坐标”为(60°，60°)．(2)当m ＝n 时，点P 在线段OA 的垂直平分线上，此时点P 到y 轴的距离d ＝12.当m<n ，即∠POA<∠PAO时，点P 在直线x ＝12的右侧，此时点P 到y 轴的距离d>12.综上所述，d≥12.。