上海市松江区2020届高三上学期数学12月一模试题(含答案)

1松江区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.3lim 32nn nn →∞=+_________; 2.若集合{13},{1,2,3,4},A xx B =−<<=∣则A B ⋂=_________;3.已知复数z 满足1 (1)z i i i ⋅−=+（为虚数单位），则||z =_________;4.若1sin ,3α=则cos(2)πα−=_________; 5.抛物线24y x =−的准线方程是_________;6.已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x = 对称,则(3)f =_________;7.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本, 则学生甲被抽到的概率为________;8.在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________;9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,220,1c aB +=则角A =_________;10.从以下七个函数：221,,,2,log ,x y x y y x y y x x=====sin ,cos y x y x ==中选取两个函数记为()f x和(),g x 构成函数()()(),F x f x g x =+若()F x 的图怡如图所示,则()F x =_________;杨浦数学教研团队211.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x y +的最大值为_________; 12.对于定义城为D 的函数(),f x 若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得()()()2212122,f x f x f x x ==+则称函数()f x 具有性质M.若函数2()log 1g x x =−(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为_________;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知两条直线12,l l 的方程分别为1:10l ax y +−=和2:210,l x y −+=则“2a ="是“直 线12"l l ⊥的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14.在正方体1111ABCD A B C D −中,下列四个结论中错误的是 （ ）(A)直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒(B)直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ (C)直线1B C 与直线1AD ,所成的角为90︒(D)直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15.设0,0,x y >>若121,x y+=则y x 的 （ ）(A)最小值为8 (B)最大值为8 (C)最小值为2 (D)趣大值为2 16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(),n n a 在直线102y x =−上、若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是 （ ） (A)(8,14] (B)(14,18] (C)(18,20] (D)8118,4⎛⎫ ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1,在三棱柱111ABC A B C −中,已知1,1,2,AB AC AB AC AA ⊥===且1AA ⊥ 平面ABC.过11 A C B 、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图 2 ). (1)求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示)； (2)求四棱锥11B ACC A −的体积和表面积.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos cos 1.f x x x x =++(1)求()f x 的最小正周期和值域(2)若对任意的2,()()20x R f x k f x ∈−⋅−≤恒成立,求实数k 的取值范围.杨浦数学教研团队419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件).经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x −与促销费t 之间的关系为31k x t −=+(其中k为常数), 如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1 (万件), 促销费t 至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332x+(元).若将商品售价定为:“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费1为多少(万元)时，该网店售出商品的总利汪最大? 此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点坐标为(2,0),倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N . (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),P 且OMN的面积为求直线l 的方程;(3)若直线l 的方程为(0),y kx t k =+≠点M 关于x 轴的对称点为,M '直线MN 、MN 分别与x 轴相交于P 、Q 、两点,求证:||||OP OQ ⋅为定值.杨浦数学教研团队521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,,m M a a a a =记12()m P M a a a =+++特别规定()0.P ∅=若集合M 满足：对任意的正整数(),k P M ≤都存在集合M 的两个 子集A 、B,使得()()k P A P B =−成立，则称集合M 为“满集". (1) 分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集",请说明理由; (2) 若12m a a a 、、、由小到大能排列成公差为()*d d N∈的等差数列，求证:集合M 为“满集"的必要条件是11,1a d ==或2； (3)若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项1,公比为2的等比数列,求证:集合M 是“满集"杨浦数学教研团队。

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

上海市松江区2020届高三数学上学期期末质量监控试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B =I 2. 若复数z 满足(34i)43i z -=+，则||z =3. 已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =4. 已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=5. 若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为6. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为7. 若向量a r ，b r 满足()7a b b +⋅=r r r ，且||a =r，||2b =r ，则向量a r 与b r 夹角为8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积=9. 若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对10. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值 是11. 已知向量1e u r ，2e u u r是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ， 当12OP xe ye =+u u u r u r u u r时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++；② A 、B③ 向量OA u u u r 平行于向量OB u 的充要条件是1221x y x y =；④ 向量OA u u u r 垂直于向量OB u u u r 的充要条件是12120x x y y +=.其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x的值域为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）A. 210x y +-=B. 210x y ++=C. 220x y -+=D. 210x y --= 14. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b >⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 15. 将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则12x x 的最大值为（ ） A. 9 B.375C. 3D. 1 16. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36-36π+D. 36π-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知向量,1)a x =r ，(cos ,1)b x =-r.（1）若a r ∥b r，求tan2x 的值；（2）若()()f x a b b =+⋅r r r ，求函数()f x 的最小正周期及当[0,]2x π∈时的最大值.18. 已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.19. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万 元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1 个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元. （1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足 够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）20. 已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线Γ的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求△AOB 面积的取值范围.21. 对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”；（3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.参考答案一. 填空题1. (1,3)2. 13. 24. 125. 1-6. 17.6π9. 4 10. 12- 11. ①③ 12. 100100[2,2]-12．令1t x =+，则有()(2)4f t f t ⋅-=，即4(2)()f t f t -=当[0,1]t ∈时，2[1,2]t -∈，又()[1,2]f t ∈，∴4[2,4]()f t ∈ 即当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为[2,4] ∴当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[1,4]∵)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅∴当[2,4]x ∈时，()f x 的值域为[4,16]，[4,6]x ∈时，()f x 的值域为6[16,2]， 依此类推可知，当[2,22]x k k ∈+时，()f x 的值域为222[2,2]kk +，∴当[0,100]x ∈时，()f x 的值域为100[1,2]又，1()()f x f x =-，当[100,0]x ∈-时，[0,100]x -∈，100()[1,2]f x -∈ ∴100()[2,1]f x -∈ 综上，当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为100100[2,2]-.二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. D 三、解答题17．解：（1）由//a b r r得, cos x x =， ……………………………………2分∴tan x =……………………………………………4分∴22tan tan 1tan xx x==- ……………………………………………6分 （2）2()()cos cos f x a b b x x x =+⋅=+r r r………………………………………8分1112cos2sin(2)2262x x x π=++=++ …………………………………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期为22T ππ== …………………………………12分当]2,0[π∈x 时，72666x πππ≤+≤∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 3()()62f x f π== …………………………………14分18．解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分 （2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分 记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分 所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分19．解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列{}n a ，每个月的维护费支出为数列{}n b ， 则1340()2n n a -=⋅，10050(1)n b n =+- ………………………4分(1) 第6个月的收入为：56340()303.752a =⋅≈万元，第6个月的维护费为：610050(61)350b =+⋅-=万元，………………………6分∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 ………………………7分(2)到第n 个月，该产品的总收入为340[1()]3280()803212n n n S ⋅-==⋅-- …………9分 该产品的总支出为2(1)1005040025754002n n n T n n n -=+⨯+=++ …………11分 由题意知，只需 0n n S T ->，即23515()(6)021616n n n -++> …………12分 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出 ………………14分注：921023515()38.44,99639.75216163515()57.66,1010646.6321616≈⋅+⋅+≈≈⋅+⋅+≈20. 解：（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆， …………1分设其标准方程为22221x y a b+=，则有1a c ==，所以2221b a c =-=，∴2212x y += …………4分 （2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠， ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y则由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222()2x kx b ++=，即222(12)4220k x kbx b +++-=∴122412kb x x k +=-+，∴12022212x x kbx k +==-+ ……………………8分 2002221212k b by kx b b k k=+=-+=++， 0012OM y k x k==-， ……………………9分∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=1122OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 …………10分 （3）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y则由OA OB ⊥知，12120x x y y +=，即1212x x y y =-，∴22221212x x y y = ………11分AOB S ∆==………12分 因A 、B 两点在椭圆上，有 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 也即 22221122(2)(2)4x y x y ++= 得222222122112522x y x y x x +=-∴AOB S ∆=…………………13分 又由221122221212x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得2222222222121212121211(1)(1)1()2224x x y y x x x x x x =--=-++=∴22221212122()434x x x x x x +=-≥ ∴ 2212409x x ≤≤ …………………15分∴2[,32AOB S ∆= …………………………………………16分 解法二：当直线OA 、OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积2AOB S ∆=，…11分 当直线OA 、OB 的斜率均存在且不为零时，设直线OA 、OB 的方程为：y kx =、1y x k=-， 点1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22222x k x +=，∴212221x k =+，代入y kx = 得2212221k y k =+ …………………………………12分 同理可得222222k x k =+，22222y k =+∴12AOB S OA OB ∆=⋅=…………………………………………13分 令21t k =+，[1,)t ∈+∞，则12AOB S OA OB ∆=⋅===………14分 由[1,)t ∈+∞知2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………15分 综上可知，2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………16分 21． 解：（1）(1)nn c =-， …………………………………………2分此时，1211111()()[(1)][(1)](1)0n n n n n n n n n n n a b a b a a a a ++++++--=------=-< 所以{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”． …………………………………………4分 注：答案不唯一，{}n c 只需是正负相间的数列．（2）证明，假设存在等差数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，则有11b ≠ …………5分 若11b <，则由12(1)(3)0b b --< 得23b >…①， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b <又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=<，得23b <，与①矛盾 …………7分 同理，当11b >，则由12(1)(3)0b b --< 得23b <…②， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b >又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=>，得23b >，与②矛盾 ……………9分所以，不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列” ………………10分（3）由于12-=n n a ，易知0≠b 且1≠b ，①当1>b 时，11a b >，由于对任意*N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，故只需2221210k k k k a b a b ++->⎧⎨-<⎩*()k N ∈， ………………12分由于0q <，所以当*,2N k k n ∈=时，n k n a bq b <<=-012， 故只需当*,12N k k n ∈+=时，n kk n a bq b =>=222，即b q k<⎪⎪⎭⎫⎝⎛22对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ………………13分 ②当10<<b 时，11a b <，220a bq b <<=，与()()02211<--b a b a 矛盾，不符合题意； ……14分 ③当1-<b 时，11a b <，当*,12N k k n ∈+=时，n kn a bq b <<=02，故只需当*,2N k k n ∈=时，n k k n a bqb =>=--12122， 即b q k >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ……………15分 ④当01<≤-b 时，11a b <，则222=>=a bq b ，下证只需2>bq ： 若2>bq ，则bq 2<，当*,12N k k n ∈+=时，n kn a bq b <<=02，当*,2N k k n ∈=时，n k k k k k n a bb b bqb =≥⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅>=-----12122212122212， 符合题意． ……………17分综上所述，实数q b 、的取值应满足的条件为：()()(]2,,,11-∞-∈+∞-∞-∈q b Y ，或[)2,0,1>-∈bq b ………………18分。

卜人入州八九几市潮王学校松江区2021届高三数学12月一模考试试题〔含解析〕一.填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B ⋂=_____【答案】{}12，【解析】 【分析】求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案为{}1,2【点睛】此题考察了交集及其运算，是根底题． 的终边过点(4,3)P -，那么3sin()2πα+的值是_____________. 【答案】45- 【解析】 【分析】由题意可得x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4cos 5α=，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P 〔4，﹣3〕，那么x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5α=， 34sin()cos 25παα+=-=-． 【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题．3.设121iz i i-=++，那么||z =______. 【答案】1.分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法那么有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-， 那么：1z i ==.点睛：此题主要考察复数的运算法那么，复数模的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -=，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】此题考察了二项式定理的简单应用，属于根底题．22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，假设椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，那么1||PF =________【答案】4 【解析】根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆22194x y +=中，1226PF PF a +==，又122PF PF =，所以1362=PF ，因此14PF =. 故答案为：4【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔，熟记椭圆的定义即可，属于根底题型.x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，那么实数m =________【答案】2- 【解析】 【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx ym 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】此题主要考察由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的断定条件，灵敏运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.(1,2)a =，(,3)b m =-，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =________【答案】32- 【解析】 【分析】先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量一共线的坐标表示，得到()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ，又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，解得：32m =-. 故答案为：32-【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于常考题型.()y f x =存在反函数1()y f x -=，假设函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，那么函数12()log y f x x -=+的图像必经过点________【答案】(4,3) 【解析】 【分析】先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1(4)1-=f ，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4)又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1()y f x -=的图像过点(4,1)，即1(4)1-=f ，所以12(4)log 4123-+=+=f ，即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3.故答案为：()4,3【点睛】此题主要考察反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.{}n a 中，假设121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，那么1a 的取值范围是________ 【答案】112(0,)(,)333【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 假设1q=时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ， 假设1q ≠时，112(1)1lim()lim13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q .因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333. 故答案为：112(0,)(,)333【点睛】此题主要考察由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法那么，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.ax by cx d+=+的大致图像如图，假设函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，那么:::a b c d =________【答案】2:1:1:1- 【解析】 【分析】先由函数图像，得到函数ax b y cx d+=+关于()1,2-对称，推出02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为2+=+cx by cx c，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数ax by cx d+=+关于()1,2-对称， 所以有02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx by cx d cx c ， 又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，所以1834bcc b c c ⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，所以:::2:1:1:1=-a b c d.故答案为：2:1:1:1-【点睛】此题主要考察由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，那么实数c 的最小值为________【答案】-【解析】 【分析】先由题意，根据根本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈ta b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果.【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221ab +=，所以22212++=+a bab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a bc ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+ta b，因为+==≤=a b a b =时取等号. 所以(=+∈ta b ，又易知函数3=-yt t在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y t t ，因此()()2233==≥=-+--+c a b t a b t即实数c 的最小值为-故答案为：-【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，那么0m n ⋅=的概率为________【答案】851【解析】 【分析】 先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如以下图的平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为1，所以易得：()11,0A -、212⎛- ⎝⎭A 、31,22⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、51,22⎛- ⎝⎭A 、61,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，因此125412⎛== ⎝⎭A A A A ，136432⎛== ⎝⎭A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，15243,2⎛== ⎝⎭A A A A ，16341,2⎛== ⎝⎭A A A A ，21451,22⎛==-- ⎝⎭A A A A ，()23651,0==A A A A ，(251,=A A ，(52=-A A ，(26350,==A AA A ，31463,22⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,=-A A ，(63=A A ，4251322⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，4361122⎛==- ⎝⎭A A A A ，(5362==A A A A ；一共18个向量. 因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j Ma a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()0,3-或者()0,3；()2,0-与()0,3-或者()0,3；()1,0与()0,3-或者()0,3；()1,0-与()0,3-或者()0,3；()1,3与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3--与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；一共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况一共有：222448=A 种；又在M 中任取两个元素m 、n ，一共有22182C A 种情况；因此，满足0m n ⋅=的概率为：2218248851==PC A . 故答案为：851【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕 13.l 是平面α的一条斜线，直线m α，那么〔〕A.存在唯一的一条直线m ，使得lm ⊥ B.存在无限多条直线m ，使得lm ⊥C.存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD.存在无限多条直线m ，使得l ∥m【答案】B 【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线m α，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线m 平行， 故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥.应选：B【点睛】此题主要考察直线与直线位置关系的断定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.,x y ∈R ，那么“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】假设2x y +>，那么x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分条件， 反之，假设“x 、y 中至少有一个数大于1〞，那么x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-；因此，“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件.应选：A .,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，那么〔〕A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8【答案】B 【解析】 【分析】先令2()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，三式相加得2221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2min44126≥++b M b ，进而可得出结果.【详解】因为2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，令2()f x x bx c =++，那么只需(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即21644c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以以上三式相加可得：2221644-++++≤b c b c c M ，由绝对值不等式的性质定理可得：22221642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ，因此只需()222min minmin 14416412822648⎛⎫⎛⎫≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b 即2M≥.应选：B【点睛】此题主要考察求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，那么10S =〔〕A.45B.1012C.2036D.9217【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】因为集合{1,2,3,,10}M=⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， 那么一共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10； 因此98760102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ， 所以1098711022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，两式作差得101098761102(12)222222101012--=------⋅⋅⋅-+=-+-S112122036=-+=-，所以102036=S .应选：C【点睛】此题主要考察含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18=76分〕 17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.〔1〕求圆锥的侧面积和体积； 〔2〕求异面直线CD 与AB 所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕【答案】〔1〕侧面积，体积8π；〔2〕14.【解析】 【分析】〔1〕根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】〔1〕因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，所以其母线长为==PA因此圆锥的侧面积为122π=⋅⋅⋅=S PA OA ； 体积为：2183ππ=⋅⋅⋅=VOA PO ； 〔2〕由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如以下图的空间直角坐标系，那么(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ，又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ，因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ，所以cos cos ,14θ⋅-=<>===CD AB CD AB CD AB，因此，异面直线CD 与AB所成角的大小为.【点睛】此题主要考察求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.2()cos 2sin f x x x x =-.〔1〕求()f x 的最大值； 〔2〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.【答案】〔1〕最大值为1；〔2〕2a =.【解析】 【分析】〔1〕先将函数解析式化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；〔2〕先由题意得到1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，得:2a b c =+；由2AB AC ⋅=得4bc =，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】〔1〕2()cos 2sin 2(1cos2)2cos21=-=--=+-f x x x x x x x x2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由x ∈R 可得26π+∈x R ，因此1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max ()211=-=f x ；〔2〕由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以132666πππ<+<A ，因此5266ππ+=A ，所以3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，可得:2a b c =+； 又2AB AC⋅=，所以1cos 22==bc A bc ，即4bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ，解得：2a=.【点睛】此题主要考察求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的间隔〔并结合车速转化为所需时间是〕，当此间隔等于HY 间隔时就开场HY 提醒，等于危险间隔时就自动刹车，某种算法〔如以下图所示〕将HY 时间是划分为4段，分别为准备时间是0t 、人的反响时间是1t 、系统反响时间是2t 、制动时间是3t ，相应的间隔分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v 〔米/秒〕，且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 随地面湿滑等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈〕.〔1〕请写出HY 间隔d 〔米〕与车速v 〔米/秒〕之间的函数关系式()d v ，并求0.9k=时，假设汽车到达HY 间隔时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是〔准确〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，HY 间隔均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】〔1〕22020v d v k=++，最短时间是3.1秒〔2〕汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，得到0123=+++dd d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间是20118==++d v tv v ，根据根本不等式，即可求出最值； 〔2〕根据题意，得到当0.5k =时，HY 间隔最大，推出222020802010++≤++<v v v v k ，求解即可得出结果.【详解】〔1〕由题意：HY 间隔201232020=+++=++v d d d d d v k ，当0.9k =时，22018=++v d v ，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是为：20111 3.118==++≥=≈d v tv v 秒； 〔2〕由题意可得：2208020v d v k=++<，因为[0.5,0.9]k ∈，所以当0.5k=时，HY 间隔最大，因此，只需：2208010++<v v ，解得：3020-<<v ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时.【点睛】此题主要考察函数模型的应用，以及根本不等式的应用，熟记根本不等式，以及不等关系即可，属2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .〔1〕假设||3FA =，求点A 的坐标；〔2〕假设2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；〔3〕假设||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公一共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕(2,±；〔2〕证明见解析；〔3〕存在，最小值2，(3,0)M .【解析】 【分析】〔1〕由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA =求出横坐标，代入24y x =，即可得出点的坐标；〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到12120OA OB x x y y ⋅=+<，推出AOB ∠恒为钝角，即可得结论成立； 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，由||||FA FM =得1(2,0)+M x ，推出直线AB 的斜率12=-AB y k ．设直线1l 的方程为12yy x b =-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y=-，21141Ex y x ==，由三角形面积公式，以及根本不等式，即可求出结果.【详解】〔1〕由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =得y =± 所以A点的坐标(2,A或者(2,A -〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<，故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，因为||||FA FM =，那么111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ．故直线AB 的斜率12=-AB y k ． 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y =-，21141Ex y x ==，111111110014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥-，当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩得21144x x =，解得11x =或者10x =〔舍〕， 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min()2OAE S ∆=.【点睛】此题主要考察求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的HY 方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大.{}n a 满足：①n a ∈N 〔*n ∈N 〕；②当2k n =〔*k ∈N 〕时，2n na =；③当2k n ≠〔*k ∈N 〕时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S .〔1〕求1a ，3a ，9a 的值； 〔2〕假设2020nS =，求n 的最小值；〔3〕求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=〔*n ∈N 〕.【答案】〔1〕10a =，30a =或者1，90a =或者1；〔2〕115；〔3〕证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；〔3〕先由242nn S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.【详解】〔1〕因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或者31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或者91a =．〔2〕由题意可得：122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k ma m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++=，()128max 646571427942S ⨯=+=，71420202794<<，64128n ∴<<，又20207141306-=， 所以min6451115n =+=〔3〕必要性：假设242n n S S n =-+，那么：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141()n n n aa a n N ++*++++=-∈③ 由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或者1只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211()n a n N *+∴=∈；充分性：假设211()na n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)nn kak n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…〔I 〕另一方面，由2n ka k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n *∈N ，都有22nn a a =…〔II 〕2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.【点睛】此题主要考察数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.。

2020年上海松江区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.若角的终边过点，则 ．3.设，则 ．4.的展开式中的系数为 ．5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则．6.若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ．7.已知向量，，若向量，则实数 ．8.已知函数存在反函数，若函数的图象经过点 ，则函数的图象必经过点 ．9.在无穷等比数列中，若，则的取值范围是 ．10.函数的大致图象如图，若函数图象经过和两点，且和是其两条渐近线，则 ．11.若实数，，满足，，则实数的最小值为 ．12.记边长为的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为 ．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）．A.存在唯一的一条直线，使得B.存在无限多条直线，使得C.存在唯一的一条直线，使得D.存在无限多条直线，使得14.设，，则“”是“、中至少有一个数大于”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知，，若对任意的恒成立，则（ ）．A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为16.已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求圆锥的侧面积和体积．求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数表示）（1）（2）18.已知函数．求的最大值．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长．19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统（1）（2）反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成度等路面情况而变化，）．请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到秒）．若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？（1）（2）（3）20.设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．若，求点的坐标．若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部．若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）21.已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为．求，，的值．若，求的最小值．求证：的充要条件是．【答案】1.解析:∵集合，，∴．2.解析:∵角的终边过点，∴，，，故．3.解析:，．4.解析:二项展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．5.解析:椭圆，左、右焦点为，，为椭圆上的点，则，∵，即，．∴．解析:关于，的二元一次方程组无解，则①与②两直线平行，．当时，①，②，①与②有交点，所以不符合题意．．当时，方程无解，则①与②平行，∵①：，②：，则∴．故答案为：．解析:∵，，，6.①②7.由，则，，即，解得，，故实数．8.解析:∵函数图象经过点，∴，则，函数经过，由为函数的反函数，则过点，∵，当时，，∴函数 的图象经过点．9.解析:∵无穷等比数列中，∴且且，∴．∵且，∴且．故答案为：．10.解析:已知函数的大致图象经过和．且和是其两条渐近线．所以有，即．解得，即．11.解析:,∵，∴，∵，∴，，∴，此时．故答案为：．12.解析:如下图所示，集合中的向量包含三类：六条边有个向量（如），过中心有个向量（如），剩余个向量（如），即集合中有个元素．其中每条边上的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，然后每条过中心的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，即概率．解析:已知是平面的一种斜线则过与平面的交点有且只有一条直线与垂直．在平面内有无数条直线与平行．所以在无限多条直线，使得．故选．解析:假设，均不大于，即且，则，这与已知条件矛盾，即当时，中至少有一个大于，即充分性成立，若，，满足，中至少有一个数大于，但不成立，即必要性不成立，故““是“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件，故正确．故选．解析:如图，等价转化为“已知，，若，求的最小值”．化动为静，结合图像，容易得到时．最小，为，∴．故选．B 13.A 14.B 15.C16.（1）（2）解析:当，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），当，，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），，依此类推，∴当取遍的所有非空子集时，．选．解析:已知圆锥底面半径为，高，所以底面周长为，，所以圆锥的侧面积．体积．以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图直角坐标系，所以，，，，（1）侧面积．．（2）直线与直线所成角的大小为．17.（1）（2）因为点是母线的中点，所以的坐标为，故，，，所以直线与直线所成角的大小为．解析:函数，∵，∴，函数最大值为．∵，，，由为内角，则，即，∵，∴，即，∵，，成等差数列，则，由余弦定理，，（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）即，，得，故．解析:根据题意，，当时，秒，当且仅当，即时等号成立．依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则路况最糟糕时也需满足，即时，，即，解得米/秒，合千米/小时．解析:由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，所以点的坐标或．设，，（1）秒．（2）米/秒，合千米/小时．19.（1）或．（2）证明见解析．（3）点的坐标为，．20.（3）（1）设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得，，故恒为钝角，故原点总在以线段为直径的圆的内部．设，则，因为，则，由得，故．故直线的斜率．因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，，当且仅当，即时等号成立，由得，解得或（舍），所以点的坐标为，．解析:因，，且是自然数，∴；，，且，都是自然数；∴或；，，且，（1）；或；或．（2）．（3）证明见解析．21.（2）（3）∴或．，当时，，由于，所以或，，，，，．∴，．∵，∴，又，，所以．必要性：若，则，①，②①②得：，③由于，或或，且或，只有当，，同时成立时，等式③才成立，∴，充分性：若，由于，所以，即，，，，，又，所以对任意的，都有，（Ⅰ）另一方面，由，，所以对任意的，都有，（Ⅱ）∴，由于，，∴，证毕．。

上海市16区2020届高三上学期期末（一模）数学试题分类汇编复数一、填空、选择题1、（宝山区2020届高三上期末（一模））若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（）A.[3,7] B.[0,5] C.[0,9] D.以上都不对3、（虹口区2020届高三上期末（一模））若复数3i 1iz -=+（i 为虚数单位），则||z =4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））已知(i)(1i)(z a a =-+∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a =5、（静安区2020届高三上期末（一模））设x ，y R ∈，若复数x i y i+-是纯虚数，则点(,)P x y 一定满足()A ．y x =B ．1y x =C ．y x =-D ．1y x=-6、（闵行区2020届高三上期末（一模））复数5i 2-的共轭复数是7、（浦东新区2020届高三上期末（一模））复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =8、（普陀区2020届高三上期末（一模））已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为.9、（青浦区2020届高三上期末（一模））若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z 的模为10、（松江区2020届高三上期末（一模））设1i 2i 1i z -=++，则||z =11、（徐汇区2020届高三上期末（一模））复数1i 34i ++的共轭复数为12、（杨浦区2020届高三上期末（一模））设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（）A.如果120z z ->，那么12z z > B.如果12||||z z =，那么12z z =±C.如果12||1z z >，那么12||||z z > D.如果22120z z +=，那么120z z ==13、（崇明区2020届高三上期末（一模））已知z ∈C ，“z +＝0”是“z 为纯虚数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件14、（杨浦区2020届高三上期末（一模））设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =参考答案：1、22、A3、54、－15、B6、2i-+7、28、129、1310、111、71i 2525+12、C 13、B14、2二、解答题1、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位.（1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.参考答案：1、解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+……………3分()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-……………6分证明（2）()1,OZ a b =，()2,OZ c d =-12OZ OZ ab cd ⋅=+，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+……………3分()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅……………6分当ab cd 时取“=”，此时12//OZ OZ .……………8分。

2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学参考答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题1. {}3,2,1,1-2. 13. 104. 1205. ]2,1(-6. 137. x y 25±= 8. 512π 9. 145 10. 21 11. )3,9(- 12. 34-13. 19 14. 3122(3,]e e ----二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈ 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩·……………………3分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=……………………6分 解得85c =……………………7分 （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈- 又()sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B -> 所以()cos A B -==……………………10分所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==- ……………………11分所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅………………14分 注：（2）中无角的范围扣1分。

2020年上海市松江区高考一模数学一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.解析：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}.答案：{1}.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)2=_____.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.答案：3-4i.3.已知函数f(x)=a x-1的图象经过(1，1)点，则f-1(3)=_____.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案.答案：2.4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____.解析：∵x|x-1|＞0，∴x＞0，|x-1|＞0，故x-1＞0或x-1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)，答案：(0，1)∪(1，+∞).5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____. 解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.解析：先求出基本事件总数n=88A，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=2727A A，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.答案：14.7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x ＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x ＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x ＞115，退出循环，输出x 的值为143. 答案：143.8.设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，若2313a a =，则n=_____. 解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)n=1+12233nnnx x x+++…= a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，比较系数即可得出.答案：11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_____cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案..10.设P(x ，y)是曲线C上的点，F 1(-4，0)，F 2(4，0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=_____.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10. 答案：10.11.已知函数f(x)=3283x x x ≤≤-⎪⎩，＞，若F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有3个零点，则实数k ∈_____.解析：问题转化为f(x)和y=kx 有3个交点，画出函数f(x)和y=kx 的图象，求出临界值，从而求出k 的范围即可.答案：(0，3).12.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，若|a n+1-a n |=2n (n ∈N *)，且{a 2n-1}是递增数列、{a 2n }是递减数列，则212limn n na a -→∞=_____.解析：依题意，可求得a 3-a 2=22，a 4-a 3=-23，…，a 2n -a 2n-1=-22n-1，累加求和，可得a 2n =2131233n-⋅，a 2n-1=a 2n+22n-1=2131236n+⋅；从而可求得212lim n n na a -→∞的值.答案：-12.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0“是“b aa b+＞2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在截面A 1DB 上，则线段AP 的最小值等于( )A.13B.12C.解析：由已知可得AC 1⊥平面A 1DB ，可得P 为AC 1与截面A 1DB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解. 答案：C.15.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：a 11，a 12，a 21，a 22∈{0，1}，且11122122a a a a =0，则这样的互不相等的矩阵共有( )A.2个B.6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.16.解不等式(12)x -x+ 12＞0时，可构造函数f(x)=(12)x-x ，由f(x)在x ∈R 是减函数，及f(x)＞f(1)，可得x ＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0的解集为( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x 3，在x ∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0可化为g(x 2)＞g(-x)，∴-1≤-x ＜x 2≤1， ∴0＜x ≤1. 答案：A.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，E 是棱PC 的中点.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求直线BE 与PA 所成角的余弦值.解析：(1)推导出△PBC ，△PDC 都是等边三角形，从而BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，由此能证明PC ⊥BD.(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE ，则AP ∥OE ，∠BOE 即为BE 与PA 所成的角，由此能求出直线BE 与PA 所成角的余弦值.答案：(1)∵四边形ABCD 为正方形，且PA=AB=a ，∴△PBC ，△PDC 都是等边三角形， ∵E 是棱PC 的中点，∴BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，又 BE ∩DE=E ， ∴PC ⊥平面BDE 又BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE.四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点 又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴AP ∥OE ∴∠BEO 即为BE 与PA 所成的角在Rt △BOE 中，BE=2a ，EO=12PA=12a ，∴cos ∠BEO=OE BE=3.∴直线BE 与PA .18.已知函数F(x)=2121x x a ⋅-+，(a 为实数).(1)根据a 的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x ≥1，都有1≤f(x)≤3，求a 的取值范围.解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a 的值，进而综合2种情况，可得答案.答案：(1)函数F(x)=2121x x a ⋅-+定义域为R ，且F(-x)=2121x x a --⋅-+=212xxa -+，①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，即2121xxa⋅-+=212xxa-+，即2x(a+1)=a+1，解可得a=-1；②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，即2121xxa⋅-+=-212xxa-+，即2x(a-1)=1-a，解可得a=1；故当a=-1时，y=f(x)是偶函数，当a=1时，y=f(x)是奇函数，当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由f(x)≥1可得：2x+1≤a·2x-1，即22x≤a-1∵当x≥1时，函数y1=22x单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f(x)≤3 可得：a·2x-1≤3·2x+3，即a-3≤42x，∵当x≥1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3.19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P 点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°).解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86； (2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：sin sin OH BH OBH BOH =∠∠，OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan OHPH =arctan 2.2818.86=6.89°. 答案：(1)设塔高PH=x ，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH ，△PBH 均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x在△AHB 中，AH=BH=x ，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86 (2)在△BOH 中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，由sin sin OH BHOBH BOH =∠∠， 得OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，∴∠OPH=arctan OHPH=arctan 2.2818.86≈6.9°，∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.20.已知双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA ·k PB 为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M(m ，0)，使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有MA MB ⋅=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)利用双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；(2)设M(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P(x ，y)，结合题意，又由M 、P在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM ·k PN 中，计算可得答案.(3)先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论.答案：(1)解：由题意得22491a bb a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a=1，∴双曲线C 的方程为223y x -=1；(2)证明：设A(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得B(-x 0，-y 0). 设P(x ，y)，则k PA ·k PB =22020y y x x --，∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，∴kPA ·kPB=22020y y x x --=3(3)解：由(1)得点F 1为(2，0)当直线l 的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y 得：(k 2-3)x 2-4k 2x+4k 2+3=0，∴x 1+x 2=2243k k -，x 1x 2=22433k k +-假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M(m ，n) 则MA MB⋅=(x 1-m)(x 2-m)+[k(x 1-2)-n][k(x 2-2)-n]=(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+kn+m)(x 1+x 2)+m 2+4k 2+4kn+n 2=()()2222224512313mn m k nk m n k +----+--=0，故得：(m 2+n 2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n 2-1)=0对任意的k 2＞3恒成立，∴222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得m=-1，n=0 ∴当点M 为(-1，0)时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA ⊥MB 也成立.又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”.(1)若数列{a n}为“H型数列”，且a1=1m-3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；(2)是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n(n∈N*)？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=23a n，c n=()512nnan-+⋅，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由.解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m范围即可得出.(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.解出即可判断出结论.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，可得a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n-b n-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{a n}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m＞12或m＜0.∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(12，+∞).(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.∵21nn-=2+21n-＞2，且2lim1nnn→∞-=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，∴a1＞0，q＞1.∵a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n -b n-1}(n ≥2)中，“b 2-b 1”为最小项.由{a n }为“H 型数列”，可知只需a 2-a 1＞2，即 a 1(q-1)＞2，又因为{b n }不是“H 型数列”，且“b 2-b 1”为最小项，∴b 2-b 1≤2，即 a 1(q-1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得 a 1(q-1)=3，∴a 1=1，q=4或a 1=3，q=2，①当a 1=1，q=4时，a n =4n-1，则c n =()13542121n n n n n -+-=⋅++，令d n =c n+1-c n (n ∈N *)，则d n =432221n n n n ++-++=2n+3·()()12nn n ++，令e n =d n+1-d n (n ∈N *)，则e n =2n+4·()()123n n n +++-2n+3·()()12n n n ++=322n n ++·()()2213n n n n ++++＞0， ∴{d n }为递增数列，即 d n ＞d n-1＞d n-2＞…＞d 1，即 c n+1-c n ＞c n -c n-1＞c n-1-c n-2＞…＞c 2-c 1， ∵c 2-c 1=323-8=83＞2，所以，对任意的n ∈N *都有c n+1-c n ＞2，即数列{c n }为“H 型数列”.②当a 1=3，q=2时，a n =3·2n-1，则c n =()153?2481?21n n n n --=++，显然，{c n }为递减数列，c 2-c 1＜0≤2， 故数列{c n }不是“H 型数列”； 综上：当a n =4n-1时，数列{c n }为“H 型数列”，当a n =3·2n-1时，数列{c n }不是“H 型数列”.。