1.2 第1课时 解三角形的实际应用举例—距离问题

1．2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题．2．培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发探索精神．实际测量中的有关名称、术语1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(3)方位角和方向角是一样的．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A．东偏北46°B．东偏北44°C．南偏西44°D．西偏南44°解析：选C.如图，因为P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.3．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系是( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°答案：B4．如图所示，OA ，OB 的方向角各是________．答案：北偏东60°，北偏西30°5．A ，B 两点间有一小山，选定能直接到达点A ，B 的点C ，测得AC ＝60 m ，BC ＝160 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点间的距离为________．答案：140 m探究点一 测量距离问题海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．[解析] 如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝AB sin 45°， 所以BC ＝32×10＝56(海里)． [答案] 56海里在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B ，C 间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300. 故BC ＝10 3.即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路测量距离问题一般分为三种类型．①两点间不可达又不可视，②两点间可视但不可达，③两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．1.(1)为了测量水田两侧A ，B 两点间的距离(如图所示)，某观测者在A 的同侧选定一点C ，测得AC ＝8 m ，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.(2)如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在岸边定一基线CD ，现已测得CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC＝60°，试求AB 的长．解：(1)根据正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， 所以AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC＝8sin 45°sin （180°－30°－45°） ＝426＋24＝8(3－1)(m)， 即A ，B 间的距离为8(3－1)m.故填8(3－1)．(2)在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .因为∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，所以∠CBD ＝45°.在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以由余弦定理可得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC·cos 30°＝22a . 探究点二 测量高度问题(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． [答案] 100 6测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．2.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，求塔AB 的高度．解：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，则∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2. 在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC， 所以AB ＝BC tan 60°＝10 6.即塔AB 的高度为10 6 m.探究点三 测量角度问题某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．[解] 如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一条直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意知AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，BC ＝(3＋1)×10 2.在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2，所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32. 所以∠BAC ＝30°.又因为B 位于A 南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D 位于A 的正北方向．又因为∠ADC ＝45°，所以台风移动的方向为向量CD →的方向，即北偏西45°方向．测量角度问题的解题思路测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．3.甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a n mile 的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a n mile ，问：甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，∠B ＝180°－60°＝120°.由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin B， 则sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at sin 120°3at ＝323＝12.因为0°<∠CAB <90°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇．1．解三角形应用题的一般步骤(1)分析：读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)求解：选择正弦定理或余弦定理求解．(4)还原：将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求等．2．解三角形应用题的一般思路描述3．明确方位角和方向角的含义方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．1．(2016·杭州检测)两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km解析：选C.如图，△ABC为等腰直角三角形，故AB＝2a km.2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()A．50 3 m B．100 3 mC．50 m D．100 m解析：选A.因为∠DAC ＝∠ACB －∠D ＝60°－30°＝30°，所以△ADC 为等腰三角形．所以AC ＝DC ＝100 m ，在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin 60°＝50 3 m.3．在高出海平面200 m 的小岛顶上A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.解析：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，由图易知∠BAH ＝45°，∠CAH ＝60°，AH ＝200 m ，则BH ＝AH ＝200 m ，CH ＝AH ·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC ＝BH ＋CH ＝200(3＋1) m.答案：200(3＋1)4．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°方向．求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 之间的距离．解：(1)在△ABD 中，AB ＝126，∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，所以∠B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)， 即A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ACD 中，AC ＝83，AD ＝24，∠CAD ＝30°，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2·AD ·AC cos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192，所以CD ＝83(n mile)，即灯塔C 与D 之间的距离为8 3 n mile.[A 基础达标]1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D.由题意知，∠A ＝∠B ＝30°，所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3. 2．(2016·淄博检测)一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ( )A ．北偏东60°，10 2B ．北偏东40°，10 3C ．北偏东30°，10 3D ．北偏东20°，10 2解析：选B.在△ABC 中，∠ABC ＝110°＋10°＝120°.又AB ＝BC ，故∠CAB ＝∠ACB ＝30°，AC ＝102＋102－2×10×10cos 120°＝10 3.故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10 3 海里到达海岛C ，故选B.3．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸选定一点C ，测出A 、C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点间的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.2522m 解析：选 B.因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，可知50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB ＝50 2 m ，选B. 4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D.设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，所以BD ＝3x ；在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是( )A ．52海里/时B ．5海里/时C ．102海里/时D ．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，由正弦定理可得AB ＝5海里，于是这艘船的速度是10海里/时．故选D.6．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，由题意，知∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x ，由余弦定理，可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝⎛⎭⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6. 答案：6－17．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°⇒∠ABC ＝45°，AC ＝60 km ，根据正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝60sin 30°sin 45°＝302(km)． 答案：30 28．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车测得小岛在南偏西15°的方向上，汽车向南行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， 所以BC ＝1sin 60°·sin 15° ＝6－223(km)． 设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：36 9．如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：因为AB ＝40，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40，所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝⎛⎭⎫－12 ＝402×3，所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200，所以PC ＝407 海里．10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1.因为BC 12×60＝5(min)， 所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．[B 能力提升]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：选A.如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， 所以MN ＝68×32＝346， 所以v ＝MN 4＝1726(海里/小时)． 2.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________．解析：在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝75°，∠ACB ＝∠ABC .所以AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD， 所以120sin 90°＝CD sin 30°，所以CD ＝60(m)． 所以河的宽度为60 m.答案：603．空中有一气球D ，在它正西方向的地面上有一点A ，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B ，测得气球的仰角为30°，两观察点A ，B 相距266 m ，计算气球的高度．解：如图，设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，∠DAC ＝45°，所以AC ＝CD ＝x .在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，所以CB ＝CD tan 30°＝3x . 在△ABC 中，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB ，所以2662＝x 2＋(3x )2－2·x ·3x ·⎝⎛⎭⎫－32， 所以x ＝387(m)．所以气球的高度为387 m.4.(选做题)如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°.在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.。