二元一次方程组特殊解法

二元一次方程组的特殊解法

1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。

解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。

2、灵活消元

（1）整体代入法

5. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪1423231

解：原方程组可变形为435231x y x y -=--=⎧⎨⎩

继续变形为232512312x y x x y -+=-<>-=<>

⎧⎨⎩

<2>代入<1>得：125

+=-x x =-3

解得：y =-73 方程组的解为x y =-=-⎧⎨⎪⎩

⎪373 （2）先消常数法

例6. 解方程组433132152x y x y +=<>-=<>

⎧⎨⎩ 解：<1>×5－<2>得：17170x y +=

x y =-<>3

<3>代入<1>得：y =-3

把y =-3代入<3>得：x =3

所以原方程组的解为x y ==-⎧⎨⎩

33 （3）设参代入法

例7. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩

321432:: 解：由<2>得：

x y 43= 设x y k 43==，则x ky k ==<>

433， 把<3>代入<1>得：492

k k -= 解得：k =-

25 把k =-25代入<3>，得：x y =-=-8565

， 所以原方程组的解是x y =-=-⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪8565 （4）换元法

例8. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩

⎪23

634 解：设x y a x y b

+=-=，，则原方程组可变形为 3236340a b a b -=-=⎧⎨⎩，解得a b ==⎧⎨⎩2418

所以x y x y +=-=⎧⎨⎩

2418 解这个方程组，得：x y ==⎧⎨⎩213

所以原方程组的解是x y ==⎧⎨⎩

213

（5）简化系数法

例9. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>

⎧⎨⎩

解：<1>＋<2>得：777x y -= 所以x y -=<>

13 <1>－<2>得：xy +=-<>

14 由<3>、<4>得：x y ==-⎧⎨⎩

01

解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.

一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数

例1．解方程组24393251156713.x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩

，， ①②③

分析：方程组中含y 的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y .

解：①+②×2，得81331x z +=，④

②×3-③，得4820x z +=， ⑤

解由④、⑤组成的方程组，得13x z =-⎧⎨=⎩

，⑥ 把⑥代入①，得12

y =， 所以原方程组的解是1312

x y z ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=⎩.

二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.

例2．解方程组3472395978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩

， ， ①②③

分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②、③先消去y ，再求解. 解：②×3+③，得111035x z +=，④

解由①、④组成的方程组，得52

x z =⎧⎨=-⎩， ⑤ 把⑤代入②，得13

y =，

所以原方程组的解为5132

x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩. 三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.

例3．解方程组27532234 4.y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩

， ， ①②③

分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z 、y 的项，而都含有未

知数x 的项，从而可用含x 的代数式分别表示y 、z ，再代入②就可以直接消去y 、

z 了. 解：由③，得314

z x =-， ④ 把①、④代入②，得2x =， ⑤

把⑤代入①，得3y =-， ⑥ 把⑤代入③，得12

z =， 所以原方程组的解是2312

x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩.

四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元

1．整体代入法

即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.

例4．解方程组5154383210791458.x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩

，， ①②③

分析：注意到①中的5155(3)x y x y -=-，这就与②有了联系，因此，①可化为5(32)638x y z z -+-=，把②整体代入该方程中，可求出z 的值，从而易得x 与y 的值.

解：由①，得5(32)638x y z z -+-=， ④

把②整体代入④，得2z =，

把2z =代入①、③，得515307930

x y x y -=⎧⎨-=⎩. ⑤ 解⑤，得31x y =⎧⎨=-⎩

. 所以原方程组的解是312x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩

.

2．整体加减法

例5．解方程组1151.x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩

， ， ①②③

分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.

解：①+②+③，得17x y z ++=， ④

再由④分别减去①、②、③各式，分别得3z =， 6x =，8y =.

所以原方程组的解是683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

.

3．整体改造