复变函数期末复习
一 知识点
1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。
6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。 二 例题选讲
1求i
3的值。 知识点：利用定义bLna b
e a
=。
解
i 3=3
iLn e
=
)
23(ln πk i i e
+=
3
ln 2i k e
+-π=
)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。 2
设1||
=z ，试证：
1___
__
=++b
az a z b 。知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。2__
2
__||||z z z z ==
证明：由1||
=z 得，1__
=z z ，
b
az z
z a z b b az a z b ++=
++__
__________
=
b
az z
z a b ++)(__
_____=
1)()(________
_______=++=++b
az z
az b b az z z a b
3求
2
sin Arc 的值。知识点：初等函数的定义，函数值的计算，
)
1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，
)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=
解：
)
32(2sin i i iLn Arc ±-= =
i
iLn )32(±-=
i k i i ππ
22
)32[ln(++
±-
=)32ln(2
2±--
i k π
π
，,...2,1,0±±=k
4 证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
证明)|||(|2||||
2221221221z z z z z z +=-++。
知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系__
2
||z z z =。
证明：))(())((||||
________
2121________
21212
212
21z z z z z z z z z z z z --+++=-++
=__
212__
12__
21__
11__
22__
12__
21__
11z z z z z z z z z z z z z z z z +--++++ =)|||(|22221z z +。
5 设
321,,z z z 三点适合条件1||||||,0321321====++z z z z z z ，试证明321,,z z z 三点是一个内接于单位圆周
1||=z 的正三角形的顶点。
知识点：利用平行四边形公式)|||(|2||||
2221221221z z z z z z +=-++。
解：由0321=++z z z 得321z z z -=+，2212221212||)|||(|2||z z z z z z +-+=-=31)11(2=-+ 所以3||
12=-z z ，同理3||13=-z z ，3||23=-z z ，所以321,,z z z 三点是一个内接于单位圆周1||=z 的
正三角形的顶点。 6 求极限z
z z
z z z sin cos lim 0
--→。知识点：这是
0型，用洛必达法则。
解
z z z z z z sin cos lim
--→=)sin ()cos (lim 0'-'-→z z z z z z =z z z z z cos 1sin cos 1lim 0
-+-→=)cos 1()sin cos 1(lim 0'-'+-→z z z z z =z z
z z z sin cos sin 2lim
0+→=3。 7 试证明
y x i y x z f sinh sin cosh cos )(-=在z 平面上解析，并求导其导数。
知识点：利用柯西—黎曼条件，利用双曲函数的定义。
2
sinh ,2cosh y
y y y e e y e e y ---=
+=
解：y x y x v y x y x u sinh sin ),(,cosh cos )
,(-==，
y x x
u
cosh sin -=∂∂，y x y u sinh cos =∂∂ y x x
v
sinh cos -=∂∂，y x y v cosh sin -=∂∂，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件x v
y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，y x i y x z f sinh sin cosh cos )(-=在z 平面上解析，其导数为 )sinh cos cosh sin )(y x i y x y
v
i x u z f --=∂∂+∂∂=
'。 8验证233)
,(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使得i f =)0(。知识点：
调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。
解 由2
3
3),(xy x y x u -=得2
233y x x u -=∂∂，xy y u 6-=∂∂， x x u 622=∂∂，x y
u 622-=∂∂ 所以02
222=∂∂+∂∂y u x u ，所以2
33),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,得dx y
u
dx x v y x v ⎰⎰
∂∂-=∂∂=),(=
⎰+=)
(362
y y x xydx φ，
)(32y x y
v
φ'+=∂∂所以
2
3)(y y -='φ，
C y y +-=3)(φ，从而
)(z f 233xy x -=)
3(32C y y x i +-+，由
i f =)0(得
1
=C ，所以
)(z f 233xy x -=)13(32+-+y y x i 。
