中考数学24题：二次函数
第四节 最值问题
一、典型例题
1. (2009 省威海市) 如图，在直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(10)(30)(03)-，，，，，
，过A B C ，，三点的抛物线的对称轴为直线l D ，为对称轴l 上一动点． （1） 求抛物线的解析式； （2） 求当AD CD +最小时点D 的坐标；
（3） 以点A 为圆心，以AD 为半径作A ．
①证明：当AD CD +最小时，直线BD 与A 相切．
②写出直线BD 与A 相切时，
D 点的另一个坐标：___________．
解：（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-． 将(03)，
代入上式，得3(01)(03)a =+-． 解，得1a =-．
∴抛物线的解析式为(1)(3)y x x =-+-．
即2
23y x x =-++．
（2）连接BC ，交直线l 于点D ．
点B 与点A 关于直线 l 对称， AD BD ∴=．
AD CD BD CD BC ∴+=+=．
由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时AD CD +最小，点D 的位置即为所求． 设直线BC 的解析式为y kx b =+，
由直线BC 过点(30)，，(03)，，得033.k b b =+⎧⎨
=⎩
，
解这个方程组，得13.
k b =-⎧⎨
=⎩，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
由（1）知：对称轴l 为2
12(1)
x =-
=⨯-，即1x =．
将1x =代入3y x =-+，得132y =-+=．
∴点D 的坐标为（1，2）．
说明：用相似三角形或三角函数求点D 的坐标也可，答案正确给2分． （3）①连接AD ．设直线l 与x 轴的交点记为点E ． 由（1）知：当AD CD +最小时，点D 的坐标为（1，2）． 2DE AE BE ∴===． 45DAB DBA ∴∠=∠=°． 90ADB ∴∠=°． AD BD ∴⊥．
BD ∴与A ⊙相切． ②(12)-，．
2. (2009 广西贺州市) 如图，抛物线2
124
y x x =-
-+的顶点为A ，与y 轴交于点B ． （1）求点A 、点B 的坐标．
（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA
-（3）当PB PA -最大时，求点P 的坐标．
解：（1）抛物线2
124
y x x =-
-+与y 轴的交于点令x=0得y=2．
∴B （0，2）
∵2211
2(2)344
y x x x =--+=-++
∴A （—2，3） （2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，
AB PB PA =-．
当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，AB PB PA <-． 综合上述：PA PB AB -≤
（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当P A —PB 最大时，点P 是所求的点
作AH ⊥OP 于H ． ∵BO ⊥OP ，
∴△BOP ∽△AHP ∴
AH HP
BO OP
=
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2， ∴OP=4，故P （4，0）
3. (2007 省市) 已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是(01)A ，，(03)B ，，
第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线2y ax bx c =++经过(32)A D -，，，P 三点，且
点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． （1）求直线BC 的解析式；
（2）求抛物线2
y ax bx c =++的解析式及点P 的坐标； （3）点M 是y 轴上一动点，求PM CM +的取值围．
解：（1）
(01)A ，，(03)B ，，∴2AB =，
ABC △是等腰三角形，且点C 在x 轴的正半轴上，∴2AC AB ==，
∴OC =
∴C ．
设直线BC 的解析式为3y kx =+，
∴30+=
，k ∴=
∴直线BC
的解析式为3y =+．
（2）
抛物线2
y ax bx c =++关于y 轴对称，0b ∴=．
又抛物线2
y ax bx c =++经过(01)A ，，(32)D -，两点．
∴192c a c =⎧⎨+=-⎩，．解得131.
a c ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是21
13
y x =-+．
在Rt AOC △中，12OA AC ==，，易得30ACO ∠=．
在Rt BOC △中，3OB =
，OC =，易得60BCO ∠=．
∴CA 是BCO ∠的角平分线．
∴直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．
点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线
21
13
y x =-+的交点．
点P 在直线BC
：3y =+上，
故设点P
的坐标是(3)x -+，
． 又点
P (3)x +，
在抛物线2
113
y x =-+上，
∴21
313
x =-+
．解得1x
2x =
故所求的点P
的坐标是1P
，23)P -．
（3）要求PM CM +的取值围，可先求PM CM +的最小值．
I ）当点P
的坐标是时，点P 与点C 重合，故2PM CM CM +=． 显然CM 的最小值就是点C 到y
点M 是y 轴上的动点，∴PM CM +无最大值，∴PM CM
+≥
II ）当点P
的坐标是3)-时，由点C 关于y
轴的对称点(C '，故只要求PM MC '+的最小值，显然线段PC '最短．易求得6PC '=． ∴PM CM +的最小值是6．
同理PM CM +没有最大值，∴PM CM +的取值围是PM CM +6≥．
综上所述，当点P
的坐标是时，PM CM
+≥， 当点P
的坐标是3)-时， PM CM +6≥．
二、自我检测
1. (2007 自治区市) 如图，一元二次方程2
230x x +-=的二根12x x ，（12x x <）是抛物线
2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B C ，的横坐标，且此抛物线过点(36)A ，．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标． （3）在x 轴上有一动点M ，当MQ MA +取得最小值时，求M 点的坐标．
解：（1）解方程2230x x +-=
x ）
