第五章欧洲数学与近代数学的兴起

数学只有在这样一种文化环境中才能结出累累硕果；在这种文化环境中，人们既能自觉自愿地探讨与自然界有关联的问题，与此同时，又允许思想毫无限制地自由发展，而不必考虑是否能够立刻解决人类及其世界所面临的现实问题。

--------M.克莱因（美）第5章欧洲数学与近代数学的兴起§5.1 中世纪的欧洲数学§5.2 文艺复兴时期的欧洲数学§5.3 近代数学的诞生§5.1 中世纪的欧洲数学一、中世纪欧洲历史文化简介公元五世纪到十五世纪的一千多年时间是欧洲历史上的封建社会时期，科学史和哲学史上称为欧洲中世纪。

其中前六百年（5-11世纪）是封建生产方式的形成阶段，称为中世纪前期；后四百年（11-15世纪）是封建生产方式的兴盛时期，称为中世纪后期。

西罗马帝国由于奴隶起义和外族侵入于公元476年灭亡。

欧洲出现四分五裂封建割据状态。

战争造成的混乱局面和到处充满的破坏行动使得生产停滞，经济凋败，科学文化落后。

当时各国统治者与罗马教廷勾结，让基督教占据统统治地位。

基督教敌视科学，阻止、压抑科学的发展，宗教的绝对权威使一切学术思想屈从于宗教教义。

神学成为中心学科，占星学成为带头学科。

整个中世纪，尤其使中世纪前期，整个欧洲没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。

这是欧洲历史上科学技术大倒退的时期，是宗教神学统治的黑暗时期。

当时的教育主要是一些修道院办的僧侣学校（经院），主要学习圣经。

经过漫长的黑暗时期，手工业和商业得以逐步恢复和发展。

约在10世纪到11世纪初，开始出现一些新兴的城市。

这标志欧洲进入新时期（中世纪后期）。

与此同时在一些城市中开始设立非教会的学校，并在此基础上发展成为大学。

这时期的十字军八次东征（1095-1270）使欧洲人大规模地接触到东方的文明。

这让他们大开眼界，激起他们学习东方科学文化的热情。

同时欧洲人还掠夺走大量被阿拉伯人翻译和保存的古希腊著作。

这些著作经翻译后全面流入欧洲，为欧洲科学文化的复兴奠定了基础。

详细描述
解析几何的诞生可以追溯到17世纪，由法国数学家笛卡尔创立。笛卡尔通过引入坐标 系，将几何图形与代数方程联系起来，从而开启了用代数方法研究几何的新时代。解析 几何的诞生不仅为数学带来了新的研究工具，还为物理学、工程学等领域的发展奠定了
基础。
微积分的诞生
要点一
总结词
微积分是数学中研究连续变化和速度的分支，它的诞生标 志着数学进入了一个新的时代。
欧几里得
古希腊数学家，他撰写了《几何原 本》，系统地总结了当时的几何知 识，并建立了欧几里得几何学。
古代印度数学
印度数学家发明了阿拉伯数字 和阿拉伯数字的计数系统，为 现代数学的发展奠定了基础。
印度数学家阿叶彼海特发明了 阿拉伯数字的十进制位值记数 法，使得数字的表示和计算变 得更加简便。
印度数学家婆罗摩笈多研究了 三角形的各种恒等式，并给出 了三角函数的计算方法。
解决复杂的优化和控制问题。
量子计算与数学
量子计算原理
量子计算利用量子力学的原理进行信息处理，而数学是理解和应 用量子计算的重要工具。
线性代数与量子力学
线性代数在描述量子态和量子操作中起到关键作用，为理解量子计 算提供了数学框架。
概率论与量子测量
概率论在描述量子测量和量子随机性中也有重要应用，有助于理解 量子计算的局限性和优势。
了深远影响。
古巴比伦数学
古巴比伦数学是数学发展史上的 另一个重要阶段，其数学成就主 要表现在天文学和土地测量等方
面。
古巴比伦人使用楔形文字记录数 学问题，最早的数学文献可以追
溯到公元前18世纪左右。
古巴比伦人发展出了60进制的计 数法，以及三角形、平方根等数 学概念，这些概念对后来的数学
发展产生了重要影响。

《数学简史》知识提要1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。

主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。

2 数学文化的特点数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。

数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。

（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。

3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。

第二章古代希腊数学主题：论证数学的形成与发展1论证数学的开端：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。

（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。

他的逸闻趣事具有很好的教育意义。

（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。

主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了2是无理数）的发现。

（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。

这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。

这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。

）3亚历山大时期（全盛时期）主要代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯（1）欧几里得：主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。

他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。

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三、解析几何的诞生
费马工作的出发点是竭力恢复 失传的阿波罗尼奥斯的著作 《论平面轨迹》，为此而写 了一本题为《论平面和立体 的轨迹引论》的书。
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二、向近代数学的过渡 3、从透视学到射影几何
蒙娜丽沙 意大利 达·芬奇 板上油彩 纵77 ×横53厘米 巴黎卢浮宫藏
这是达·芬奇的著名肖像画作 品。它表达了达·芬奇的艺 术思想。画面描绘了一位恬 静端庄的美丽少女，她充满 着对生活的喜悦和信心。画 家敏捷地抓住少女一瞬间微 笑的表情，表现出她微妙的 心理活动，给观众以想象。
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中世纪的名画※
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二、向近代数学的过渡 3、从透视学到射影几何
维纳斯的诞生 意大利 波提切利 布上蛋彩 纵172×横283厘米 佛罗伦萨乌菲齐美 术馆藏
文艺复兴时期名画※
此画通过对维纳斯伤感的神情和 秀美的姿态的描绘，展现了一 个复杂、矛盾而又富有诗意美 的形象。在清晨宁静的气氛中， 从海洋中诞生的维纳斯站在飘 浮于海面的贝壳上，左边是花 神和风神在吹送着维纳斯；右 边是森林女神手持用鲜花装饰 的锦衣在迎接维纳斯。
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三、解析几何的诞生
笛卡儿1637年发表了著名的哲学著 作《更好地指导推理和寻求》， 该书有三个附录：《几何学》、 《屈光学》和《气象学》。解析 几何的发明包含在《几何学》这 篇附录中。在这里，笛卡儿提出 了一种大胆的计划，即： 任何问题→数学问题→ 代数问题→方程求解
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一、中世纪的欧洲

《数学史教案》word版一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解古代数学的发展历程及其代表性人物和成就；（2）掌握数学的基本概念、原理和方法，提高数学思维能力。

2. 过程与方法：（1）通过探究数学历史，培养学生的自主学习能力和团队合作精神；（2）学会运用数学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）感受数学的博大精深和魅力，增强对数学的兴趣和信心；（2）培养严谨治学、不断探索的科学研究态度。

二、教学内容1. 第一章：中国古代数学（1）概述中国古代数学的发展历程；（2）介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作；（3）讲解中国古代数学家的成就和贡献。

2. 第二章：古希腊数学（1）概述古希腊数学的发展历程；（2）介绍毕达哥拉斯、欧几里得等古希腊数学家及其主要成就；（3）讲解勾股定理和圆的周长、面积等几何概念。

3. 第三章：阿拉伯数学（1）概述阿拉伯数学的发展历程；（2）介绍阿拉伯数学家花拉子密及其主要成就；（3）讲解阿拉伯数字和代数学的发展。

4. 第四章：欧洲中世纪数学（1）概述欧洲中世纪数学的发展历程；（2）介绍莱昂纳多·斐波那契及其主要成就；（3）讲解斐波那契数列和黄金分割等概念。

5. 第五章：欧洲近代数学（1）概述欧洲近代数学的发展历程；（2）介绍笛卡尔、牛顿等欧洲近代数学家及其主要成就；（3）讲解解析几何和微积分等概念。

三、教学方法1. 采用讲授法、讨论法、探究法等多种教学方法；2. 使用多媒体课件、实物模型等辅助教学；3. 组织学生进行小组合作、研究性学习等活动。

四、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：考察学生对数学史知识的掌握和理解；3. 期末考试：综合考察学生的数学知识和运用能力。

五、教学资源1. 教材：《数学史教程》等；2. 参考书籍：《数学简史》、《数学发展史》等；3. 网络资源：数学史相关网站、视频等；4. 教具：多媒体课件、实物模型等。

第五章代数学的兴起5.1 中世纪的欧洲5.1.1黑暗时代(5-11世纪)从公元5世纪中叶西罗马帝国灭亡开始到11世纪这个时期,称为欧洲的黑暗时代.这一时期,旧的社会秩序已破坏,封建主和基督教会成为欧洲社会的绝对势力.封建宗教的统治,使一般人笃信天国,追求来世,从而淡漠世俗生活,对自然不感兴趣.教会宣扬天启真理,并拥有解释这种真理的绝对权威,导致了理性的压抑,欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态.学校教育名存实亡,希腊学问几乎绝迹,连许多从古代世界流传下来的艺术和技艺也被忘记了.罗马人始终没有走向抽象数学,仅仅满足于数学在商业和民用工程上的应用.然而,随着罗马帝国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断和国家工程计划的撤销,就连在这方面应用的兴趣也减少了.毫不夸大地说,在整个500年的黑暗时代中,整个欧洲除制定教历外,在数学上没有什么成就.在黑暗时代,在数学史上起到重要作用的人,可以勉强地提到:博埃齐(A.M.S.Boethius, 约480-524, 罗马),他在数学史上的重要性在于:他根据希腊材料用拉丁文编写的著作《几何学》和《算术》,在好几百年中一直作为教会学校的标准课本.《几何学》除了对欧几里得《原本》第一卷的命题和第三、第四卷的少数几个命题的陈述,以及一些简单的测量术外,就再没有什么东西了.而《算术》一书,则是根据400年前尼科马库斯写的一本乏味的、半神秘的、但一度给予高度评价的著作编写的.这样一些思想贫乏的著作竟被当作高水平的数学成就,这充分表明:在黑暗时代,在基督教的欧洲,数学这门学科已经可怜到什么程度.博埃齐以他的这些著作和他的关于哲学的著作而成为中世纪经院哲学的奠基人.比德(V.Bede,674-735, 英国), 中世纪最大的教会学者之一.他的许多著作中有不少是讲数学的,其中主要的是关于历法和指算的论著.热尔拜尔(Gerbert,约950-1003, 法国),第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒.有证据表明,他可能把没有包含零的印度-阿拉伯数字带入基督教的欧洲.据说,他做过算盘、地球仪和天球仪、钟,也许还有手风琴.这些成就使他的同辈中有些人怀疑他将灵魂出卖给了魔鬼.尽管如此,他在教会中的地位逐步提升,并最后于公元999年被选为教皇.他被认为是一位知识渊博的学者,并且写了关于占星学、算术和几何学等著作.5.1.2翻译时代(12世纪)直到12世纪,由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激,欧洲数学才开始出现复苏的迹象.1100年左右,欧洲人通过贸易和旅游,同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触.十字军为掠夺土地的东征,使欧洲人进入了阿拉伯世界.从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术.古典学术的发现激起了他们的极大兴趣,对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.文艺复兴的前哨站意大利,由于其特殊的地理位置和贸易联系而成为东西方文化的熔炉.英国修士阿德拉特(Adelard,约1120)是参加这样工作的最早的基督教学者之一.他曾在西班牙学习并到希腊、叙利亚和埃及旅行.欧几里得的《原本》和花拉子米的天文表的拉丁文翻译被认为是阿德拉特的功劳.阿德拉特为获得阿拉伯学问而冒生命危险的故事是很感人的.他为了得到被保守得很严密的知识,假装成伊斯兰教的学生.另一位早期翻译者是意大利人普拉托(Plato,约1120),他翻译了巴塔尼的《天文学》和迪奥多修斯的《球面几何》以及其他著作.这个时期最辛苦的翻译者是伟大的翻译家杰拉德(Gherardo,约1114-1187),他把90多部阿拉伯文著作译成拉丁文,其中包括托勒枚的《大汇编》、欧几里得的《原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》和花拉子米的《代数学》等.可以说,12世纪是欧洲数学的翻译时代.5.1.3斐波那契和13世纪欧洲黑暗时期过后,第一位有影响的数学家是斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250, 意大利).由于父亲经商的缘故,还在斐波那契的孩童时代就已经唤起了这个孩子对算术的兴趣.后来,他们旅行到埃及、西西里、希腊和叙利亚,他又接触到东方和阿拉伯的数学实践.斐波那契完全确信印度—阿拉伯计算方法在使用上的优越性.1202年,在他回到家里不久,发表了他的著名著作《算经》.这部著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集,内容涉及整数和分数算法,开方法,二次和三次方程和不定方程.特别是,书中系统介绍了印度—阿拉伯数码,对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响.1228年的修订版还载有如下的“兔子问题”: 某人在一处有围墙的地方养了一对兔子,假定每对兔子每月生一对小兔,而小兔出生后两个月就能生育.问从这对兔子开始,一年内能繁殖出多少对兔子?对这个问题的回答,导致了著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,….这个数列产生的规则很简单,即开头两个数1以后的每个数都是由它前面两个数相加而得.《算经》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角.曾有这样的议论:斐波那契的水平显得比他实际水平高,这是因为没有与他匹敌的同时代人.的确,13世纪水平高的数学家就没几个.至于14世纪, 可以说相对而言,这是数学上的不毛之地.这是黑死病流行的世纪,扫荡了欧洲三分之一以上的人口;并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的“百年战争”就始于这个世纪.欧洲数学复苏的过程十分曲折,从12世纪到15世纪中叶,教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步.特别是他们把亚里士多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的教条,企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想.欧洲数学真正的复苏,要到15-16世纪.在文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革新紧密结合在一起,数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调.达•芬奇(1452-1519)就这样说过: “一个人若怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱,他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩.……因为人们的探讨不能称为科学的,除非通过数学上的说明和论证.”伽利略干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”.科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向繁荣.以下简略介绍这一时期数学发展的重要方面.5.2向近代数学的过渡5.2.1代数学欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的,它是文艺复兴时期(14-16世纪)成果最突出、影响最深远的领域,拉开了近代数学的序幕.主要包括三、四次方程的求解和符号代数的引入这两个方面.三次与四次方程花拉子米的《代数学》被翻译成拉丁文后,开始在欧洲传播,不过直到15世纪,人们还以为三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决.三、四次方程的代数解法的发现也许是16世纪最壮观的的数学成就.关于这一发现的故事,用最丰富多彩的文笔描述时,决不亚于塞利尼的作品的任何一页.数学家们围绕着数学的有关问题而展开的挑战场面更是烘托了故事的戏曲性.简单地说,事情是这样的.大约在1515年,波伦亚大学的数学教授费罗(S.Ferro,1465-1526,意大利)用代数方法解了三次方程)0,(3>=+n m n mx x按当时的风气,学者们是不公开自己的研究成果的,因为这样可以提高他在资助人眼里的地位.所以,费罗没有发表自己的解法,但是,他将自己的解法秘密地透漏给了他的学生费奥(A.M.Fior).费奥把这一结果看成是他日后成名得利的凭据,以及在解题挑战赛中向其他数学家们挑战的资本 .与此同时,布雷西亚的尼古拉•丰坦那(Niccolo Fontana, 约1500-1557, 意大利)也在研究三次方程的解法.由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀,愈后语言遇到障碍,人们都称他为塔塔利亚(Tartaglia),即意大利语的“口吃者”,并以此闻名于世.1535年,塔塔利亚宣布:他发现了三次方程的代数解法.费奥认为此项声明纯系欺骗,就向塔塔利亚提出挑战,要求来一次解三次方程的公开比赛,参赛者要解出对方提出30个三次方程.比赛在米兰大教堂公开举行. 结果是,塔塔利亚很快就解出了形如和)0,()0,(233>=+>=+n m n mx x n m n mx x 两种类型的所有三次方程.然而, 费奥似乎是一位平庸的数学家,他只能求解第一种类型的三次方程,而这还是他的老师告诉他的.费奥自取其辱,塔塔利亚大胜而归.塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利一个教书匠卡尔丹G .Cardano,1501-1576)的耳朵里,他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵,说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他.1539年,他们在米兰会面时,塔塔利亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏这一秘密.然而,卡尔丹不久就违背诺言,于1545年在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著《大法》,其中就有三次方程的塔塔利亚解法.塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒.为了寻求报复,他在一本书中讲了自己的故事.塔塔利亚的强烈抗议遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里(L.Ferrari,1522-1565,意大利)的反击.在长时间的交锋中,费拉里始终站在老师一边.他说卡尔丹曾通过第三者(费罗的养子)从费罗那里得知此法,反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果.1548年,塔塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到了布雷希亚的讲师的职位.他向费拉里提出挑战,认为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇.但是他太低估了对手的实力.两人在比赛结束之前不欢而散.这对塔塔利亚产生了不利影响.布雷西亚的权威们后来拒绝付给他薪水.他只好回到威尼斯教他的课.至此,一场闹剧终于收场.《大法》所载三次方程)0,(3>=+q p q px x 的解法，实质上是考虑恒等式,)(3)(333b a b a ab b a -=-+-若选取a 和b ，使,,333q b a p ab =-=由上式不难解出a 和b ：332332,322,322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p q qb p q qa 于是得到b a -就是所求的x ，后人称之为卡尔丹公式。

外，还讨论了截影的数学性质，成为射影 几何发展的起点。
重要人物
布努雷契 [意](F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) <论绘画>---早期数学透视法的代表
作
富有独创精神的数学天才-----德沙格
（g.desargues, 1591~1661） （笛沙格）
关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡 尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求 五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝 尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般 的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基 础上创造了群论，将代数研究推向纵深。
3.代数符号体系与代数运算
韦达(F.Vieta):<分析引论>(1591) 近现代数学一个最为明显、突出的标志，
《大法》（Ars Magna）
x px q （p, q >0）
3
实质是考虑恒等式
3 3
（a b) 3ab(a b) a b
3
若选取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不难解得a,b
a3
q q 2 p 3 ( ) ( ) 2 2 3
b3
q 2
q p ( )2 ( )3 2 3
帕斯 卡
拉伊尔（1640-1718），著作《圆锥线》，
最突出的地方在于极点理论方面有所 创新，获得并且这样的定理：若一点 Q在直线p上移动，则该点Q的极带将 绕直线p的极点P转动。
5.2.4计算技术与对数
十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一
样，把实用的算术计算放在数学的首位。
1585年荷兰数学家史蒂文发表的《论十进制算

《数学史概论》读书笔记王振红数学源自于人类早期的生产活动，早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究。

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。

通过抽象化和逻辑推理的运用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。

一、《数学史概论》简介及其特点《数学史概论(第2版)》以重大数学思想的发展为主线,阐述了从远古到现代数学的历史。

书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析；同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革，尤其是20世纪数学的概观，内容新颖。

《数学史概论(第2版）》中西合炉，将中国数学放在世界数学的背景中述说，更具客观性与启发性。

《数学史概论(第2版)》脉络分明，重点突出，并注意引用生动的史实和丰富的图片。

本书共分十五章，其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要，逐渐形成了数与形的概念，从最早的手指计数到石头计数,再到结绳计数直到距今大约五千多年前，出现了书写计数以及相应的计数系统。

在灿烂的“河谷文明”中,重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。

第二章“古代希腊数学”,介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学,其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。

第三章“中世纪的中国数学”,从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”，殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数,到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。

介绍的著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《算经十书》，介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就,祖冲之父子推算“圆周率”,在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”;第四章“印度与阿拉伯的数学”;第五章“近代数学的兴起”，讲述了中世纪的欧洲，从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡，以至解析几何的诞生；第六章“微积分的创立”,分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理；第七章“分析时代”;第八章至第十章，分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索，介绍了19世纪数学的发展；第十一章至十三章是“20世纪数学概观”，分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例；第十四章“数学与社会”，第十五章“中国现代数学的开拓”。

到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本
定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴
起及以后的惊人发展铺平了道路。
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三、解析几何的诞生
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背景
文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的 要求。
机械的普遍使用引起了对机械运动的研究； 航海事业的空前发达要求测定船舶位置，这就需要准确地研究天体运行的规律； 武器的改进刺激了弹道问题的探讨；
Viete (1540-1603)
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三角学
航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展， 早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角 学主要是球面三角， 在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷格蒙塔努斯 (Regiomontanus, 1436~1476)的《论各种三角形》。
第十六页，共26页。
计算技术与对数
十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一样，把实用 的算术计算放在数学的首位，科学成果在工程技术上的应 用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果，对计算技 术提出了前所未有的要求。 苏格兰贵族、业余数学家纳皮尔(J.Napier，1550-1617)发表了 世界上第一张对数表，简化了计算过程。1614年他在题为 《奇妙的对数定理说明书》的小书中，阐述了他的对数方法。 对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以 拉普拉斯（Laplace, 1749~1827）曾赞誉道：“对数的发明 以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。
第二十页，共26页。
解析几何的创建者
笛卡儿
Descartes
1596——1650 法国人
第二十一页，共26页。

〔5〕?论劈锥曲面和旋转椭球? 〔6〕?引理集? 〔7〕?处理力学问题的方法? 〔8〕?论平面图形的平衡或其重心? 〔9〕?论浮体? 〔10〕?沙粒计数? 〔11〕?牛群问题?
十、 阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什 么？P58
答：阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是创 立了相当完美的圆锥曲线理论。
第三章 中世纪的中国 数学
九、阿基米德数学研究的最大功绩是什么？
十、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？
一、希腊数学一般是指什么时期，活动于 什么地方的数学家创造的数学？P32
答：希腊数学一般指从公元前600年至公元 600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、 马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚 细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。
5、19世纪晚期，集合论的创始人康托尔 (1845—1918)曾经提出： “数学是绝对自由开 展的学科，它只服从明显的思维，就是说它 的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定 义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存 在的概念相联系〞。
6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数 学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概 括现代数学开展的特征：“现代数学就是各 种量之间的可能的，一般说是各种变化着的 量的关系和相互联系的数学〞。
7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学 的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是 一批美国学者，将数学简单地定义为关于 “模式〞 的科学：“【数学】这个领域已被称 作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然 界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构 和对称性〞 。
三、数学史通常采用哪些线索进行分期？P9 答：一般可ห้องสมุดไป่ตู้按照如下线索：
4、现代数学时期(1820年一现在) (1)现代数学酝酿时期(1820’一1870) (2)现代数学形成时期(1870—1940’) (3)现代数学繁荣时期(当代数学时期,1950

1、欧洲中世纪数学中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。

这一千年的历史大致可以分为两段。

十一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不前。

十一世纪以后情况稍有好转。

希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480～524)的著作中。

他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入门》的译本，但若干精采的命题均被删去。

博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几何原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。

公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学。

数学发展再一次受到沉重的打击。

此后数百年，值得称道的数学家屈指可数，而且多是神职人员。

号称博学多才的比德是英国的僧侣学者，终生在修道院度过。

他的本领是会算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日期，和用手指来计算。

稍后的阿尔昆也是著名的英国神学家。

781年左右，接受查理曼大帝的聘请，到法兰克王国担任宫廷教师和顾问。

他所编的算术书，现在看来是相当粗浅的。

热尔贝原是兰斯的大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。

他热心提倡学术，对推动“四艺”(音乐、几何、算术、天文)的学习有一定的功劳。

十字军远征(1096～1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。

他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。

于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。

意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。

12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。

中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。

此外他还有很多独创性的工作。

14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思想，后者是从天文、地理的 经纬度到近代坐标几何的过渡。

数学发展史数学发展史论文数学发展史概述1（前3500-前500）数学起源与早期发展：古埃及数学、美索不达米亚（古巴比伦）数学2（前600-5世纪）古代希腊数学：论证数学的发端、欧式几何3（3世纪-14世纪）中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学：实用数学的辉煌4（12世纪-17世纪）近代数学的兴起：代数学的发展、解析几何的诞生5（14世纪-18世纪）微积分的建立：牛顿与莱布尼茨的微积分建立6（18世纪-19世纪）分析时代：微积分的各领域应用7（19世纪）代数的新生：抽象代数产生（近世代数）8（19世纪）几何学的变革：非欧几何9（19世纪）分析的严密化：微积分的基础的严密化10二十世纪的纯粹数学的趋势11二十一世纪应用数学的天下1.西方数学发展史一.古埃及数学埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。

尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。

由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。

公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。

从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。

例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。

现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。

埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。

除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。

两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。

埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。

埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。

他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。

占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数（即分子是1的分数）的和。

03
欧洲数学家在代数方面的重要贡献包括符号代数的发展和代数的公理化。
04
欧洲数学家在几何学方面的重要贡献包括射影几何和解析几何的发展，以及对微积分学的研究和应用。
03
近代数学的发展
CHAPTER
解析几何是数学的一个重要分支，它通过代数方法研究几何对象，将几何问题转化为代数问题，从而实现了几何与代数的结合。
数学发展史
目录
CONTENTS
数学的起源 中世纪数学的发展 近代数学的发展 现代数学的发展 数学的应用领域
01
数学的起源
CHAPTER
数学的起源
01
数学起源于人类早期的生产和生活实践，如计数、测量、几何等。
02
最早的数学概念可以追溯到公元前5000年左右的古埃及和巴比伦文明。
数学的发展经历了从简单计数到复杂运算的演变，逐渐形成了完整的数学体系。
域论的研究
域论是研究域的代数性质的数学分支，包括有限域、伽罗瓦域等。域论在编码理论、量子力学等领域有广泛的应用。
群论的建立
拓扑学的发展
拓扑学的定义和基本概念
拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的数学分支。拓扑学的基本概念包括连通性、紧致性、同胚等。
代数拓扑的研究
代数拓扑是拓扑学的一个重要分支，主要通过代数工具来研究几何图形的性质。代数拓扑在微分流形、纤维丛等领域有广泛的应用。
古代建筑中广泛应用了几何学和算术，如金字塔、古罗马建筑等。
古代商业中应用了计数和算术，如记账、计算利息等。
03
02
01
数学在古代的应用
02
中世纪数学的发展
CHAPTER
阿拉伯数学是中世纪数学的重要组成部分，其发展主要集中在阿拉伯帝国的各个时期。

数学的发展历史数学，作为一门学科，经历了漫长的发展历程。

古希腊的毕达哥拉斯学派、我国古代的算学、近代的微积分学、现代的数理逻辑等都是数学史上的重要篇章，本文将从古希腊开始，简要介绍数学发展的历史。

一、古希腊时期古希腊是古代文明的重要代表之一，也是古代数学的重要中心之一。

毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个著名学派，他们强调数学的重要性，并对数学的基础做出了一些贡献。

古希腊时期数学的发展主要包括以下几个方面：（一）几何学古希腊时期，几何学得到了很好的发展。

欧几里德是古希腊时期最著名的数学家之一，他根据早期希腊的几何学知识，写出了一本名为《几何原本》的巨著。

这本书主要讲述了平面几何学和立体几何学的基本理论，被誉为几何学的圣经。

欧几里德的贡献包括从公理出发发展了平面几何学，建立了如今所使用的公理体系；他对于数学的分类，也影响至今；他提出几何的递推法以及对于平面坐标系的基础建立，都是几何学中不可或缺的重要概念。

（二）代数学古希腊时期，代数学也有了一定的发展。

毕达哥拉斯学派被认为是代数学的创始学派，他们强调数的本质和有理数的存在，提出了数的概念，并且探讨了数的基本性质，以此为基础开展了整体学和方程学研究。

我们可以说，毕达哥拉斯理论的提出，为后世的数字理论提供了丰富的内容。

（三）三角学古希腊时期，三角学的基本概念已经形成并有了一定的应用。

科学家提高了三角函数的性质、以及在图形学、建筑学、天文学、地图制作等领域的实际应用。

二、中世纪中世纪，数学的发展相对缓慢，离开了古代数学之光辉，但也有一些重要的成果和贡献。

主要集中于阿拉伯数学、欧洲的代数学和三角学。

（一）阿拉伯数学阿拉伯人是拜占庭帝国的扩张者，他们将一些古希腊的数学文献翻译为阿拉伯文，在中世纪的欧陆得以广泛传播。

并且他们开展了数学的研究，特别是代数学和三角学，做出了重要的贡献。

阿拉伯人发明了一种新的计算方法“阿拉伯数字”，即我们今天所了解的数字。

阿拉伯人的贡献之一是开展了三角函数的研究、这又为后来的微积分学提供了良好的基础。

大家好！今天，我非常荣幸能在这里为大家带来一场关于数学简史的演讲。

数学，作为人类智慧的结晶，自古以来就是人类文明的重要组成部分。

从远古的计数到现代的数学理论，数学的发展历程充满了神奇与魅力。

接下来，我将带领大家穿越时空，领略数学的发展轨迹。

一、古代数学的起源数学的起源可以追溯到远古时期。

在原始社会，人们为了生活需要，开始学会计数和计算。

在我国，数学的起源可以追溯到约公元前5000年的仰韶文化时期。

那时，人们用结绳计数，用贝壳等物品进行交易。

古埃及、巴比伦等文明古国也有类似的计数方法。

二、古代数学的辉煌1. 古埃及数学：古埃及人创造了十进制计数法，并发明了算术、几何等数学分支。

著名的《阿姆纳姆纸草书》是古埃及数学的代表作。

2. 古希腊数学：古希腊数学家欧几里得编写了《几何原本》，奠定了几何学的基础。

阿基米德在数学、物理、天文学等领域都有卓越贡献。

3. 古印度数学：古印度人发明了阿拉伯数字，为世界数学的发展做出了巨大贡献。

此外，古印度数学家婆罗摩笈多在代数学、三角学等方面也有重要成就。

三、中世纪数学的发展1. 中国数学：我国古代数学家刘徽、祖冲之等在数学领域取得了举世瞩目的成就。

祖冲之计算出的圆周率值至今仍为世界所推崇。

2. 欧洲数学：中世纪欧洲数学家们在几何、代数、三角学等领域取得了显著成果。

意大利数学家斐波那契编写的《算术大全》对后世产生了深远影响。

四、近代数学的崛起1. 欧洲数学：17世纪，牛顿、莱布尼茨发明微积分，标志着数学进入了新的发展阶段。

18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家在数学各个分支取得了辉煌成果。

2. 欧洲数学传入我国：19世纪，欧洲数学传入我国，我国数学家如李善兰、华衡芳等开始学习、研究西方数学。

五、现代数学的发展1. 数学的分支：20世纪，数学逐渐形成了多个分支，如拓扑学、集合论、概率论等。

2. 数学与其他学科的交叉：现代数学与物理学、计算机科学、生物学等学科相互渗透，推动了科学技术的飞速发展。

第五章 近代数学史1． 中世纪的欧洲数学公元5～11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，直到12世纪欧洲数学才开始复苏。

斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影响的数学家。

他的代表作《算经》系统介绍了印度、阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响。

《算经》中的一个“兔子问题”，产生了著名的斐波那契数列。

2． 向近代数学过渡作准备⑴ 代数学的产生欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，并拉开了近代数学的序幕。

特别表现在三、四次方程求解和符号代数两个方面。

代表人物有：A ． 塔塔利亚（公元1499年至公元1557年）意大利数学家，给出了形如： n mx x =+23 )0,(>n m 三次方程的代数解法B ． 费罗（公元1465年至公元1526年）波伦亚大学的数学教授，给出了形如： n mx x =+3 )0,(>n m 三次方程的代数解法C ． 卡尔丹（公元1501年至公元1576年）学者，在其著作中公布了这些解法。

并认识到复根是成对出现的。

D ． 邦贝利（公元1526年至公元1573年）意大利数学家，在其著作《代数》中引进了虚数。

E ． 吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷兰数学家在《代数新发现》中给出了著名的“代数基本定理”F ． 韦达（公元1540年至公元1603年）法国数学家，是数学符号系统化的先驱和功臣。

他使用的代数符号的改进工作由笛卡儿完成。

如：a ，b ，c 表示已知量，x ，y ，z 表示未知量。

在方程方面有著名的韦达定理（方程的根与系数的关系）。

⑵ 三角学的形成在1450年前，三角学主要是球面三角学，15、16世纪，德国人开始对三角学作新的推进。

编制了正弦表，给出了三角函数关系，并采用了6个函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

产生了三角恒等式。

在16世纪三角学从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。

⑶ 射影几何学射影几何学源于绘画艺术中的透视学（法）。

第5章 近代数学的兴起主题：近代数学发展的显著变化线索问题：1 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？6 对数的发明及其代表人物是什么？7 解析几何的诞生及其意义？概述：本章概括介绍在向近代数学过渡时期的历史背景和几个领域的数学发展，重点介绍了在代数、射影几何、对数和解析几何等方面的发展。

主要内容：一 中世纪欧洲数学中世纪的欧洲，公元5世纪－11世纪，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。

12世纪，欧洲是翻译的时代，因此数学开始复苏。

斐波那契（1170－1250）：《算经》，斐波那契数列。

数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，直到15、16世纪文艺复兴的高潮中，数学才真正复苏。

二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展（一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。

1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索（1） 三次方程的根式解：费罗（1465－1520）1515年发现那形如)0,(3>=+n m n mx x 的三次方程的代数解法；塔塔尼亚发现形如)0,(23>=+n m n mx x 的解法。

卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证明。

（1545年出版《大法》（Ars Magna ））费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程4320ax bx cx dx e ++++=求解，不久也被写入《大法》中。

（2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。

（3）代数基本定理：吉拉德推断，18C 高斯最早证明（4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里（5）因式分解定理：韦达2 符号化的发展过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。