平行四边形单元自检题检测试卷

平行四边形单元自检题检测试卷

一、解答题

1．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，

①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；

②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若

AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM

FN

的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；

（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF

BF

的值为_______（结果用含n 的式子表示）．

2．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是

,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．

3．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ． （1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时， ①BCF ∠= ；

②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．

（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，

1

3

CD BC =

，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．

．

4．综合与探究

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且

DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．

（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果

45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且

45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．

5．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．

（1）求证：AF ∥CH ；

（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；

（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP

PQ

的值． 6．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．

（1）证明：AG BE =；

（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53

4

吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．

7．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；

（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；

②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由. 8．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒

3

的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒33

22

+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.

(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.

(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.

9．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处. (I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长； (II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；

(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.

10．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；

（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（221n ；（3）241n - 【分析】

（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．

②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．

（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题． 【详解】

（1）①证明：如图1中，