高考数学试题word版含答案

2021年高考数学真题试卷（天津卷）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5},C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=（）A. {0}B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C【考点】并集及其运算，交集及其运算【解析】【解答】解：由题意得A∩B={1}，则（A∩B）∪C={0,1,2,4}故答案为：C【分析】根据交集，并集的定义求解即可.2.已知a∈R，则“ a>6 ”是“ a2>36”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.3.函数y=ln|x|的图像大致为（）x2+2A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】解：f(−x)=ln |−x|(−x)2+2=lnxx2+2=f(x)，则函数f(x)=lnxx2+2是偶函数，排除A,C,当x∈(0,1)时，ln|x|<0,x2+2>0，则f(x)<0，排除D.故答案为：B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0,1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A. 20B. 40C. 64D. 80【答案】 D【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量是400×0.05×4=80.故答案为：D【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.5.设a=log20.3,b=log120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b【答案】 D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：∵log20.3<log21=0，∴a<0∵log120.4=−log20.4=log252>log22=1，∴b>1∵0<0.403<0.40=1，∴0<c<1∴a<c<b故答案为：D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,c,b的范围即可求解.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即AD=3BD，设球的半径为R，则4πR33=32π3，解得R=2，所以AB=AD+BD=4BD=4，所以BD=1,AD=3∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCD又因为∠ADC=∠BDC所以△ACD∽△CBD所以ADCD =CDBD∴CD=√AD·BD=√3∴这两个圆锥的体积之和为13π×CD2×(AD+BD)=13π×3×4=4π故答案为：B【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.7.若2a=5b=10，则1a +1b=（）A. -1B. lg7C. 1D. log710【答案】 C【考点】指数式与对数式的互化，换底公式的应用【解析】【解答】解：由 2a =5b =10 得a=log 210，b=log 510， 则1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1故答案为：C【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可. 8.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的右焦点与抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B 两点，交双曲钱的渐近线于C 、D 两点，若 |CD|=√2|AB| ．则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. 3 【答案】 A【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 与抛物线 y 2=2px(p >0) 的公共焦点为（c,0）， 则抛物线 y 2=2px(p >0) 的准线为x=-cy 2b 2=1 ， 得c 2a 2−y 2b 2=1 ， 解得y =±b 2a， 所以|AB |=2b 2a，又因为双曲线的渐近线为y =±bax ， 所以|CD |=2bc a，所以2bc a=2√2b 2a， 则c =√2b所以a 2=c 2−b 2=12c 2所以双曲线的离心率为e =ca =√2 故答案为：A【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.9.设 a ∈R ，函数 f(x)={cos(2πx −2πa).x <ax 2−2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ，若 f(x) 在区间 (0,+∞) 内恰有6个专点，则a 的取值范围是（ ） A. (2,94]∪(52,114] B. (74,2)∪(52,114)C. (2,94]∪[114,3)D. (74,2)∪[114,3) . 【答案】 A【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：∵x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根， ∴cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，由2πx −2πa =π2+k π,k ∈Z ， 得x =k2+14+a,k ∈Z由0<k 2+14+a <a 得−2a −12<k <−12(1)当x<a 时，当−5≤−2a −12<−4时，f(x)有4个零点，即74<a <94； 当−6≤−2a −12<−5时，f(x)有5个零点，即94<a <114；当−7≤−2a −12<−6时，f(x)有6个零点，即114<a <134；(2)当x≥a 时，f(x)=x 2-2(a+1)x+a 2+5 ∆=4(a+1)2-4(a 2+5)=8(a-2) 当a<2时，∆<0，f(x)无零点； 当a=2时，∆=0，f(x)有1个零点；当a>2时，令f(a)=a 2-2(a+1)a+a 2+5=-2a+5≥0，则2<a ≤52 ， 此时f(x)有2个零点； 所以若a >52时，f(x)有1个零点；综上，要是f(x)在[0,+∞)上有6个零点，则应满足{74<a ≤942<a ≤52)或{94<a ≤114a =2或a >52)或{114<a ≤134a <2)则a 的取值范围是(2,94]∪(52,114]【分析】由x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x<a 与x≥a 分类讨论两个函数零点个数情况，再综合考虑求解即可.二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．（共6题；共30分）10.i 是虚数单位，复数 9+2i 2+i= ________．【答案】 4-i【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：由题意得9+2i2+i =(9+2i )(2−i )(2+i )(2−i )=20−5i 5=4−i故答案为：4-i【分析】根据复数的运算法则求解即可.11.在 (2x 3+1x )6 的展开式中， x 6 的系数是________． 【答案】 160【考点】二项式定理，二项式定理的应用【解析】【解答】解： (2x 3+1x )6 的展开式的通项公式是Tr +1=C 6r (2x 3)6−r (1x )r=26−r ·C 6r ·x 18−4r令18-4r=6，得r=3所以 x 6 的系数是 23C 63=160【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.12.若斜率为 √3 的直线与y 轴交于点A ， 与圆 x 2+(y −1)2=1 相切于点B ， 则 |AB|= ________． 【答案】 √3【考点】直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：设直线AB 的方程为y =√3x +b ， 则点A(0,b) ∵直线AB 与圆 x 2+(y −1)2=1相切=1 ， 解得b=-1或b=3所以|AC|=2 又∵|BC|=1∴|AB |=√|AC|2−|BC |2=√3 故答案为：√3【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可. 13.若 a >0 , b >0 ，则 1a +ab 2+b 的最小值为________． 【答案】 2√2【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：∵a>0,b>0 ∴1a+a b 2+b ≥2√1a·a b 2+b =2b+b ≥2√2b·b =2√2当且仅当1a =ab 2且2b =b ， 即a =b =√2时等号成立 所以1a +ab 2+b 的最小值是2√2. 【分析】利用基本不等式求解即可.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 56 和 15 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________ ． 【答案】 23；2027【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为56×45=23 ，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C 32×(23)2×13+(23)3=2027故答案为：23，2027【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n 次独立重复试验的概率求法求解即可.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点， DE ⊥AB 且交AB 于点E ． DF //AB 且交AC 于点F ,则 |2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为________； (DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________． 【答案】 1；1120【考点】二次函数在闭区间上的最值，向量的模，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：设BE=x ，x ∈(0,12) ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ∴∠BDE=30°，BD=2x ，DE=√3x ， DC=1-2x ∵DF//AB∴△DFC 为边长为1-2x 的等边三角形，DE ⊥DF∴(2BE →+DF →)2=4BE →2+4BE →·DF →+DF →2=4x 2+4x (1−2x )·cos0°+(1−2x )2=1 ∴|2BE →+DF →|=1∵(DE →+DF →)·DA →=(DE →+DF →)·(DE →+EA →)=DE →2+DF →·EA →=(√3x)2+(1−2x )×(1−x )=5x 2−3x +1=5(x −310)2+1120则当x =310时，(DE →+DF →)·DA →取得最小值为1120 故答案为：1，1120【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．（共5题；共75分）16.在 △ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ， b =√2 ． （1）求a 的值； （2）求 cosC 的值； （3）求 sin(2C −π6) 的值．【答案】 （1）因为 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ，由正弦定理可得 a:b:c =2:1:√2 ， ∵b =√2 ， ∴a =2√2,c =2 ；（2）由余弦定理可得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×√2=34；（3）∵cosC =34 ， ∴sinC =√1−cos 2C =√74，∴sin2C =2sinCcosC =2×√74×34=3√78， cos2C =2cos 2C −1=2×916−1=18 ，所以 sin(2C −π6)=sin2Ccos π6−cos2Csin π6 =3√78×√32−18×12=3√21−116.【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可； （2）根据余弦定理直接求解即可；（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.17.如图，在棱长为2的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证： D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）求直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角的正正弦值． （3）求二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值．【答案】 （1）以 A 为原点， AB,AD,AA 1 分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0) , A 1(0,0,2) , B(2,0,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , C 1(2,2,2) , D 1(0,2,2) ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 E(2,1,0) ， F(1,2,0) ， 所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) , A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) , A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2) ,设平面 A 1EC 1 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) ， 则 {m ⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1=0m ⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+y 1−2z 1=0 ，令 x 1=2 ，则 m ⃗⃗ =(2,−2,1) ， 因为 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =2−2=0 ，所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗ ， 因为 D 1F ⊄ 平面 A 1EC 1 ，所以 D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）由（1）得， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2) ， 设直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角为 θ ， 则 sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=3×2√3=√39；（3）由正方体的特征可得，平面 AA 1C 1 的一个法向量为 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0) ， 则 cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3×2√2=2√23，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=13.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面 A 1EC 1 的一个法向量m →， 再利用向量法直接求证即可；（2）先求出AC 1→ ， 再由sinθ=|cos <m →,AC 1→>|求解即可； （3）先求出平面 AA 1C 1 的一个法向量 DB →， 再由cos <m →,DB →>=m →·DB→|m →|·|DB|→结合同角三角函数的平方关系求解即可.18.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为 2√55 ，且 |BF|=√5 ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ， 与y 轴的正半轴交于点N ， 过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ． 若 MP //BF ，求直线l 的方程．【答案】 （1）易知点 F(c,0) 、 B(0,b) ，故 |BF|=√c 2+b 2=a =√5 ， 因为椭圆的离心率为 e =c a=2√55，故 c =2 ， b =√a 2−c 2=1 ，因此，椭圆的方程为 x 25+y 2=1 ；（2）设点 M(x 0,y 0) 为椭圆 x 25+y 2=1 上一点，先证明直线 MN 的方程为x 0x5+y 0y =1 ，联立 {x 0x 5+y 0y =1x 25+y 2=1，消去 y 并整理得 x 2−2x 0x +x 02=0 ， Δ=4x 02−4x 02=0 ，因此，椭圆x 25+y 2=1 在点 M(x 0,y 0) 处的切线方程为x 0x 5+y 0y =1 .在直线 MN 的方程中，令 x =0 ，可得 y =1y 0，由题意可知 y 0>0 ，即点 N(0,1y 0) ，直线 BF 的斜率为 k BF =−b c =−12 ，所以，直线 PN 的方程为 y =2x +1y 0，在直线 PN 的方程中，令 y =0 ，可得 x =−12y 0，即点 P(−12y 0,0) ，因为 MP //BF ，则 k MP =k BF ，即 y 0x 0+12y=2y 022x 0y 0+1=−12，整理可得 (x 0+5y 0)2=0 ，所以， x 0=−5y 0 ，因为x 025+y 02=6y 02=1 ， ∴y 0>0 ，故 y 0=√66， x 0=−5√66，所以，直线 l 的方程为 −√66x +√66y =1 ，即 x −y +√6=0 . 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）先求出a 值，结合a,b,c 的关系求得b ，从而求得椭圆的方程； （2）设M(x 0,y 0)，可得直线l 的方程x 0x 5+y 0y =1 ， 求出点P 的坐标，再根据MP//BF 得K MP =K BF ， 求得x 0,y 0的值，即可得出直线l 的方程19.已知 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． {b n } 是公比大于0的等比数列， b 1=4,b 3−b 2=48 ．（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （2）记 c n =b 2n +1b n,n ∈N ∗ .（i ）证明 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）证明 ∑√a k ak+1c k2−c 2k nk=1<2√2(n ∈N ∗) 【答案】 （1）因为 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 8=8a 1+8×72×2=64 ，所以 a 1=1 ，所以 a n =a 1+2(n −1)=2n −1,n ∈N ∗ ； 设等比数列 {b n } 的公比为 q,(q >0) ，所以 b 3−b 2=b 1q 2−b 1q =4(q 2−q)=48 ，解得 q =4 （负值舍去）， 所以 b n =b 1q n−1=4n ,n ∈N ∗ ；（2）（i ）由题意， c n =b 2n +1b n =42n +14n ， 所以 c n2−c 2n =(42n +14n )2−(44n +142n )=2⋅4n ， 所以 c n 2−c 2n ≠0 ，且 c n+12−c 2n+2c n 2−c 2n =2⋅4n+12⋅4n =4 ，所以数列 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）由题意知，a n a n+1c n 2−c 2n =(2n−1)(2n+1)2⋅4n =4n 2−12⋅22n <4n 22⋅22n ， 所以 √a n a n+1c n 2−c 2n <√4n 22⋅22n =√2⋅2n =√2n 2n−1 ， 所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1 ， 设 T n =∑k 2k−1n k=1=120+221+322+⋅⋅⋅+n 2n−1 ， 则 12T n =121+222+323+⋅⋅⋅+n 2n ，两式相减得 12T n =1+12+122+⋅⋅⋅+12n−1−n 2n =1⋅(1−12n )1−12−n 2n =2−n+22n ，所以 T n =4−n+22n−1 ，所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1=√2−n+22n−1)<2√2 . 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，数列的求和【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可；（2）（ⅰ）运算可得C n 2−C 2n =2·4n ， 结合等比数列的定义即可得证；（ⅱ）利用放缩法得a n a n+1C n 2−C 2n <4n 22·22n ， 进而可得∑n k=1√a k a k+1C k 2−C 2k <√2n k=1k 2k−1 ， 结合错位相减法即可得证.20.已知 a >0 ， 函数 f(x)=ax −xe x ．（1）求曲线 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程：（2）证明 f(x) 存在唯一的极值点（3）若存在a ， 使得 f(x)≤a +b 对任意 x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】 （1）f ′(x)=a −(x +1)e x ，则 f ′(0)=a −1 ，又 f(0)=0 ，则切线方程为 y =(a −1)x,(a >0) ；（2）令 f ′(x)=a −(x +1)e x =0 ，则 a =(x +1)e x ，令 g(x)=(x +1)e x ，则 g ′(x)=(x +2)e x ，当x∈(−∞,−2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x→−∞时，g(x)<0，g(−1)=0，当x→+∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图像如下：所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a，则m>−1，且f′(m)=a−g(m)=0，当x∈(−∞,m)时，a>g(x)，则f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(m,+∞)时，a<g(x)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，x=m为f(x)的极大值点，故f(x)存在唯一的极值点；（3）由（II）知f(x)max=f(m)，此时a=(1+m)e m,m>−1，所以{f(x)−a}max=f(m)−a=(m2−m−1)e m,(m>−1)，令ℎ(x)=(x2−x−1)e x,(x>−1)，若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(−1,+∞)，使得ℎ(x)≤b，即b≥ℎ(x)min，ℎ′(x)=(x2+x−2)e x=(x−1)(x+2)e x，x>−1，当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=−e，故b≥−e，所以实数b的取值范围[−e,+∞).【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)e x，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；（3）令h(x)=(x2-x-1)e x，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1,+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=A ．0B ．1CD ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = A ．–4B ．–2C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．124．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6， 则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（ ）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（ ） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)， 则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136； 对于C ，P(BC)=16×6=136； 对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。

2020年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P ＝{x|1＜x ＜4}，Q ＝{x|2＜x ＜3}，则P∩Q ＝（ ） A. {x|1＜x≤2} B. {x|2＜x ＜3} C. {x|3≤x ＜4} D. {x|1＜x ＜4}2.已知a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，则a ＝（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣23.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +1≤0x +y −3≥0 ，则z ＝x+2y 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，4]B. [4，+∞）C. [5，+∞）D. （﹣∞，+∞） 4.函数y ＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 73B. 143 C. 3 D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ， 公差d≠0， a 1d≤1．记b 1＝S 2 ， b n+1＝S n+2﹣S 2n ， n ∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）A. 2a 4＝a 2+a 6B. 2b 4＝b 2+b 6C. a 42＝a 2a 8D. b 42＝b 2b 88.已知点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，则|OP|＝（ ）A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a ，b ∈R 且ab≠0，若（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣2a ﹣b ）≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a ＜0 B. a ＞0 C. b ＜0 D. b ＞0 10.设集合S ，T ，S ⊆N*，T ⊆N*，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意x ，y ∈T ，若x ＜y ，则 yx ∈S ；下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素二、填空题：本大题共7小题，共36分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，则（）{33}U x x =-<<{21}A x x =-<≤U A =ðA. B. C. D.(2,1]-(3,2)[1,3)-- [2,1)-(3,2](1,3)-- 【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：或，即{|32U A x x =-<≤-ð13}x <<，(3,2](1,3)U A =-- ð故选：D ．2. 若复数z 满足，则（）i 34i z ⋅=-z =A. 1B. 5C. 7D. 25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．z 【详解】由题意有，故()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-．|5|z ==故选：B ．3. 若直线是圆的一条对称轴，则（）210x y +-=22()1x a y -+==a A.B. C. 1 D. 1212-1-【答案】A 【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得2010a +-=．12a =故选：A ．4. 己知函数，则对任意实数x ，有（）1()12xf x =+A. B. ()()0f x f x -+=()()0f x f x --=C. D.()()1f x f x -+=1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x x f x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．5. 已知函数，则（）22()cos sin f x x x =-A. 在上单调递减 B. 在()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C.在上单调递减D. 在()f x 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 7,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【解析】【分析】化简得出()cos 2f x x=，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.()22cos sin cos 2f x x x x=-=对于A 选项，当时，，则在26x ππ-<<-23x ππ-<<-()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当时，，则在412x ππ-<<226x ππ-<<()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当时，，则在03x π<<2023x π<<()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当时，，则在7412x ππ<<7226x ππ<<()f x 7,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，D 错.故选：C.6. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a{}n a为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）0N 0n N >0n a >A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列的公差为，则{}n ad 0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过{}n a d 0d ≠[]xx的最大整数.若为单调递增数列，则，{}n a0d >若，则当时，；若，则，10a ≥2n ≥10n a a >≥10a <()11n a a n d+-=由可得，取，则当时，()110n a a n d =+->11a n d >-1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦0n N >，n a >所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；{}n a⇒0N 0n N >0n a >若存在正整数，当时，，取且，，0N 0n N >0n a >N k *∈0k N >0k a >假设，令可得，且，0d <()0n k a a n k d =+-<k a n k d >-k ak kd ->当时，，与题设矛盾，假设不成立，则1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦0n a <0d >，即数列是递增数列.{}n a所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.{}n a ⇐0N 0n N >0n a >所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，{}n a0N 0n N >0n a >”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A. 当，时，二氧化碳处于液态220T =1026P =B. 当，时，二氧化碳处于气态270T =128P =C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态300T =9987P =D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态360T =729P =【答案】D 【解析】【分析】根据与的关系图可得正确的选项.T lg P 【详解】当，时，220T =1026P =lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当，时，270T =128P =2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当，时，300T =9987P =lg P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，时对应的是非超临界状态，故C 错误.300T =当，时，因, 360T =729P =2lg 3P <<故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8. 若，则（）443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++024a a a ++=A. 40 B. 41C. D. 40-41-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法可求的值.024a a a ++【详解】令，则，1x =432101a a a a a ++++=令，则，1x =-()443210381a a a a a -+-+=-=故，420181412a a a +++==故选：B.9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S 是P ABC -ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A. B. C. D. 34ππ2π3π【答案】B 【解析】【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面P ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形P O BO O ABC 的中心，且，故263BO =⨯=PO ==因为，故，5PQ =1OQ =故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，S O 而三角形内切圆的圆心为，ABCO 1=>故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为S ABC π故选：B10. 在中，．P 为ABC 3,4,90AC BC C ==∠=︒ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）1PC =PA PB ⋅A. B. C. D.[5,3]-[3,5]-[6,4]-[4,6]-【答案】D 【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，()cos ,sin P θθPAPB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，()0,0C ()3,0A ，()0,4B因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，1PC =P C 1设，，()cos ,sin P θθ[]0,2θπ∈所以，，()3cos ,sin PA θθ=--()cos ,4sin PB θθ=--所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--，其中，，()15sin θϕ=-+3sin 5ϕ=4cos 5ϕ=因为，所以，即；()1sin 1θϕ-≤+≤()415sin 6θϕ-≤-+≤[]4,6PA PB ⋅∈-故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 函数的定义域是_________．1()f x x =+【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，解得且，()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩1x ≤0x ≠故函数的定义域为；()(],00,1-∞⋃故答案为：()(],00,1-∞⋃12. 已知双曲线的渐近线方程为，则221x y m +=y x=m =__________．【答案】3-【解析】【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到0m <a 、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；b 【详解】解：对于双曲线，所以221x y m +=0m <，即双曲线的标准方程为，221x y m -=-则，的渐近线方程为，1a =b =221x y m +=y x=所以，解得；a b ==3m =-故答案为：3-13. 若函数的一个零点为，则________；()sin f x A x x =-3πA =________．12f π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】 ①. 1 ②. 【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin(3f x x =-，代入自变量，计算即可.π12x =【详解】∵，∴π(03f A ==1A =∴π()sin 2sin()3f x x x x =-=-ππππ()2sin()2sin 121234f =-=-=故答案为：1，14. 设函数若()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 ①.0（答案不唯一） ②. 1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，0a =0a <时函数没有最小值，故的最小值只能取0a >1y ax =-+()f x 2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得210a -+≥()2212a a -+≥-.01a <≤【详解】解：若时，，∴；0a =21,0(){(2),0x f x x x <=-≥min ()0f x =若时，当时，单调递增，当时，0a <x a <()1f x ax =-+x →-∞，故没有最小值，不符合题目要求；()f x →-∞()f x 若时，0a >当时，单调递减，，x a <()1f x ax =-+2()()1f x f a a >=-+当时，x a >min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴或，210a -+≥2212a a -+≥-（）解得，01a <≤综上可得；01a ≤≤故答案为：0（答案不唯一），115. 己知数列各项均为正数，其前n 项和满足{}n an S 9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；{}n a{}n a③为递减数列；④中存在小于的项．{}n a {}n a1100其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出，求出、199n n n a a a -=-1a 2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，，，N n *∀∈0n a >当时，，可得；1n =219a =13a =当时，由可得，两式作差可得，2n ≥9n n S a =119n n S a --=199n n n a a a -=-所以，，则，整理可得，199n n n a a a -=-2293a a -=222390a a +-=因为，解得，①对；20a >23a =<假设数列为等比数列，设其公比为，则，即{}n a q 2213a a a =2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，，可得，解得2213S S S =()()22221111a q a q q +=++0q =，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；{}n a当时，，可得，所以，数列2n ≥()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>1n n a a -<为递减数列，③对；{}n a 假设对任意的，，则，N n *∈1100n a ≥10000011000001000100S ≥⨯=所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.1000001000009911000100a S =≤<故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 在中，．ABC sin 2C C =（1）求；C ∠（2）若，且的面积为，求的周长．6b =ABC ABC 【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角cos C C 的取值范围可求得角的值；C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得a c 的值，即可求得的周长.ABC 【小问1详解】解：因为，则，()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =可得，因此，.cos C =6C π=【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得13sin 22ABC S ab C a ===.a =由余弦定理可得，2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=c ∴=所以，的周长为.ABC 6a b c ++=17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面111ABC A B C -11BCC B 平面，，M ，N 分别为，AC 的中点．11BCC B ⊥11ABB A 2AB BC ==11A B（1）求证：平面；MN ∥11BCC B （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A B 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：；AB MN ⊥条件②：．BM MN =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面AB K ,MK NK //MKN ，从而可证平面.11CBB C //MN 11CBB C （2）选①②均可证明平面1BB ⊥ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问1详解】取的中点为，连接，AB K ,MK NK 由三棱柱可得四边形为平行四边形，111ABC A B C -11ABB A 而，则，11,B M MA BK KA ==1//MK BB而平面，平面，故平面，MK ⊄11CBB C 1BB ⊂11CBB C //MK 11CBB C 而，则，同理可得平面，,CN NA BK KA ==//NK BC //NK 11CBB C 而平面，,,NK MK K NK MK =⊂ MKN 故平面平面，而平面，故平面，//MKN 11CBB C MN ⊂MKN //MN 11CBB C 【小问2详解】因为侧面为正方形，故，11CBB C 1CB BB ⊥而平面，平面平面，CB ⊂11CBB C 11CBB C ⊥11ABB A 平面平面，故平面，11CBB C ⋂111ABB A BB =CB ⊥11ABB A 因为，故平面，//NK BC NK ⊥11ABB A 因为平面，故，AB Ì11ABB A NK AB ⊥若选①，则，而，，AB MN ⊥NK AB ⊥NK MN N = 故平面，而平面，故，AB ⊥MNK MK ⊂MNK AB MK ⊥所以，而，，故平面，1AB BB ⊥1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故，()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z =则，从而，取，则，00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯ 若选②，因为，故平面，而平面，//NK BC NK ⊥11ABB A KM ⊂MKN故，而，故，NK KM ⊥11,1B M BK NK ===1B M NK =而，，故，12B B MK ==MB MN =1BB M MKN ≅ 所以，故，190BB M MKN ∠=∠=︒111A B BB ⊥而，，故平面，1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故，()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z =则，从而，取，则，00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含950m ．950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）7 5（3）丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 3，1233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++，80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=123123123(2)(()()P X P A A A P A A A P A A A ==++，70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=∴X 的分布列为X 0123P320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为1411016.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】（1）2214x y +=（2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设、()11,B x y ()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、AB AC 的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；M x N x N MMN x x =-【小问1详解】解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=【小问2详解】解：依题意过点的直线为，设、()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y ，不妨令，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k k x x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦即()()22221616216841414k k k k k k k⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k =4k =-20. 已知函数．()e ln(1)x f x x =+（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(0,(0))f （2）设，讨论函数在上的单调性；()()g x f x '=()g x [0,)+∞（3）证明：对任意的，有．,(0,)s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+【答案】（1）y x=（2）在上单调递增.()g x [0,)+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.()m x 【小问1详解】解：因为，所以，()e ln(1)x f x x =+()00=f 即切点坐标为，()0,0又，1()e (ln(1))1x f x x x =+++'∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x=【小问2详解】解：因为， 1()()e (ln(1)1x g x f x x x =++'=+所以，221()e (ln(1)1(1)x g x x x x =++-++'令，221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++则，22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'∴在上单调递增，()h x [0,)+∞∴()(0)10h x h ≥=>∴在上恒成立，()0g x '>[0,)+∞∴在上单调递增.()g x [0,)+∞【小问3详解】解：原不等式等价于，()()()(0)f s t f s f t f +->-令，，()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >即证，()(0)m x m >∵，()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x t x m x x t x g x t g x x t x ++=+++-+-=+-++'+由（2）知在上单调递增，1()()e (ln(1))1x g x f x x x =++'=+[)0,+∞∴，()()g x t g x +>∴()0m x '>∴在上单调递增，又因为，()m x ()0,+∞,0x t >∴，所以命题得证.()(0)m x m >21. 已知为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的12:,,,k Q a a a ，在Q 中存在，使得{1,2,,}n m ∈ 12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，则称Q 为连续可表数列．12i i i i j a a a a n +++++++= m -（1）判断是否为连续可表数列？是否为:2,1,4Q 5-6-连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k 的最小值为4；12:,,,k Q a a a 8-（3）若为连续可表数列，且12:,,,k Q a a a 20-1220k a a a +++< ，求证：．7k ≥【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．5-6-（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；3k ≤4k =（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由5k ≤6k =可知里面必然有负数，再确定负数只能是12620a a a +++< 1-，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】，，，，，所以是21a =12a =123a a +=34a =235a a +=Q 5-连续可表数列；易知，不存在使得，所以,i j 16i i i j a a a +++++= Q 不是连续可表数列．6-【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有3k ≤:Q ,,a b c ,,,,,a b b c a b c a b c ++++8个，矛盾；当时,数列，满足，，，，4k =:1,4,1,2Q 11a =42a =343a a +=24a =，，，，．125a a +=1236a a a ++=2347a a a ++=12348a a a a +++=min 4k ∴=【小问3详解】，若最多有种，若，最多有12:,,,k Q a a a i j =k i j ≠2C k种，所以最多有种，()21C 2k k k k ++=若，则至多可表个数，矛盾,5k ≤12,,,k a a a …()551152+=从而若,则，至多可表个数，7k <6k =,,,,,a b c d e f 6(61)212+=而，所以其中有负的，从而20a b c d e f +++++<,,,,,a b c d e f可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时~a f ~a f 中没有两数相同,设那个负数为，(1)m m -≥则所有数之和，，125415m m m m m ≥++++++-=+ 415191m m +≤⇒={,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，20（仅一种方式），112=-+ 与2相邻，1∴-若不在两端,则形式，1-",1,2,__,__,__"x -若，则（有2种结果相同，方式矛盾），6x =56(1)=+-，同理，故在一端，不妨为形式，6x ∴≠5,4,3x ≠1-"1,2,,,"A B C D -若,则（有2种结果相同，矛盾），同理不行，3A =523=+4A =。

2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共8题；共40分）1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A∩(\complement_U B)=（）$A。

$\{3\}$ B。

$\{1,6\}$ C。

$\{5,6\}$ D。

$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（）A。

1 B。

2 C。

$2\sqrt{2}$ D。

44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径$r$ 为6400km的球，其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$（单位：$km^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（）A。

26% B。

34% C。

42% D。

50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A。

$20+12\sqrt{3}$ B。

$28\sqrt{2}$ C。

$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。

$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$，下列结论中不正确的是（）A。