课时跟踪检测(四十五) 函数y=Asin(ωx φ)

课时跟踪检测（四十五） 函数y=A sin(ωx +φ)

A 级——学考水平达标练

1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦

⎤－π

2，π上的简图是( )

解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π

6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.

2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π

4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数

解析式是( )

A ．y ＝cos 2x

B ．y ＝1＋cos 2x

C ．y ＝1＋sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1

解析：选B 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .

3．如图所示的图象的函数解析式是( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6 C ．y ＝cos ⎝

⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π

12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．

4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π

8

个单位，所得图象对应的函数是( )

A ．非奇非偶函数

B ．既是奇函数又是偶函数

C ．奇函数

D ．偶函数

解析：选D y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象向右平移π

8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.

5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象( ) A ．向左平移π

2个单位长度

B ．向右平移π

2个单位长度

C ．向左平移π

4个单位长度

D ．向右平移π

4

个单位长度

解析：选C 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π

6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可．

6．将函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．

解析：y ＝sin x ――→横坐标伸长到原来的3倍

纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭

⎫1

3x －1 7．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π

12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)

的图象，则φ的值为________．

解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12

个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3

. 答案：π3

8.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.

解析：由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭

⎫7π

12，－2代入得

2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62

.

答案：

6

2

9．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，其图象向左平移π6

个单位长度后，关于y 轴对称．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．

解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π

6

个单位长度后，所得图象的

函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭

⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )，

所以φ＝k π＋π

6(k ∈Z )，

因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6. 所以f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6. (2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π

6个单位长度，所得图象的函数解析式为

y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1

2(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6的图象． 10．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π

3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．

解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π

3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝

⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫

ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，