二次函数题型分类总结
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二次函数题型总结【回顾与思考】
一、二次函数的定义
定义:一般地,如果
c
b
a
c
bx
ax
y,
,
(
2+
+
=是常数,)0
≠
a,那么y叫做x的二次函数.
(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)
精典例题:
例1:在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是()
A.2xy+x2=1 B.y2-ax+2=0 C.y+x2-2=0 D.x2-y2+4=0 考点:二次函数的定义.
分析:根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可,即一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
解答:解:A、2xy+x2=1当x≠0时,可化为的形式的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误;
B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误;
C、y+x2-2=0可化为y=x2+2,符合一元二次方程的一般形式,故本选项正确;
D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误.
故选C.
点评:本题考查的是二此函数的一般形式,即一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a 是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
例2:函数y=(m+3)x m2+m-4,当m= 时,它的图象是抛物线.
考点:二次函数的定义.
分析:二次函数的图象是抛物线的,由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可.
解答:解:∵它的图象是抛物线,
∴该函数是二次函数,
∴,解得m=2或-3,m≠-3,∴m=2.
点评:用到的知识点为:二次函数的图象是抛物线;二次函数中自变量的最高次数是2,二次项的系数不为0.
例3:若y=x m-2是二次函数,则m=
考点:二次函数的定义.
分析:根据二次函数的定义列出关于m的方程,求出m的值即可.
解答:解:∵函数y=x m-2是二次函数,
∴m-2=2,
∴m=4.
故答案为4.
点评:本题考查了二次函数的定义,比较简单,属于基础题.
学以致用:
1、下列函数中,是二次函数的是 .
①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x;
⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4秒时,该物体所经过的路程为。
3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。
4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值
考点连接:如果解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k,则对称轴为:,最值为:;
如果解析式为一般式:y=ax2+bx+c,则对称轴为:,最值为:;
如果解析式为交点式:y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为:,最值为:。
精典例题:
例1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。
考点:二次函数图象与几何变换. 分析:利用二次函数图象的性质.
解答:解:经过原点,说明(0,0)适合这个解析式.那么m 2+2m-3=0,(m+3)(m-1)=0.解
得:m 1=-3,m 2=1.
点评:本题应用的知识点为:在函数图象上的点一定适合这个函数解析式.
例2.若抛物线y =ax 2
-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
分析:由抛物线y=ax 2-6x 经过点(2,0),求得a 的值,再求出函数顶点坐标,求得顶点到坐
标原点的距离.
解答:解:由于抛物线y=ax 2-6x 经过点(2,0),则4a-12=0,a=3,
抛物线y=3x 2
-6x ,变形,得:y=3(x-1)2
-3,则顶点坐标M (1,-3), 抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=
故选B .
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,先求解析式,再求顶点坐标,最后求距离.
学以致用:
1.若直线y =ax +b 不经过二、四象限,则抛物线y =ax 2
+bx +c( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴
2.当n =______,m =______时,函数y =(m +n)x n
+(m -n)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
3.已知二次函数y=mx 2
+(m -1)x+m -1有最小值为0,则m = ______ 。
三、函数y=ax 2
+bx+c 的图象和性质
知识点:(1)①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;