两独立样本t检验与两配对样本t检验的异同
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t 检验方法
t 检验方法t检验方法是一种常用的统计方法，用于比较两组样本均值是否有显著差异。
它是由英国统计学家William Sealy Gosset（1876-1937）开发的，因为他在Guinness酒厂工作，所以也被称为“学生t检验”。
t检验方法的应用广泛，可以用于医学、社会科学、商业等领域的研究。
它的基本思想是通过比较两组样本的均值，判断它们之间是否存在显著差异。
在进行t检验之前，我们需要满足以下几个假设：样本数据应该是独立的、正态分布的，且方差相等。
t检验方法可以分为独立样本t检验和配对样本t检验两种。
独立样本t检验适用于两个独立样本之间的比较。
例如，我们想比较男性和女性的平均身高是否有差异，我们可以采集一组男性和一组女性的身高数据，然后使用独立样本t检验来判断两组数据的均值是否显著不同。
配对样本t检验适用于同一组样本在不同条件下的比较。
例如，我们想研究一种新药物对患者血压的影响，我们可以在给患者使用新药物之前和之后分别测量他们的血压，并使用配对样本t检验来判断新药物是否对血压产生显著影响。
进行t检验时，我们首先计算两组样本的均值和标准差，然后计算t值。
t值可以用来判断两组样本均值是否有显著差异。
在t检验中，我们还需要设置显著性水平，一般为0.05，即我们认为当p值小于0.05时，结果具有统计学意义。
除了独立样本t检验和配对样本t检验，t检验方法还有一些扩展应用，如单样本t检验、多样本t检验等。
单样本t检验适用于只有一个样本的情况，例如我们想知道某个产品的平均销售量是否达到预期值；多样本t检验适用于比较多个样本之间的差异，例如我们想比较不同品牌手机的平均续航时间是否有显著差异。
虽然t检验方法在统计学中被广泛应用，但也有一些限制。
首先，t 检验方法要求样本数据满足一些假设，如独立性、正态分布和方差相等，如果这些假设不满足，t检验的结果可能不可靠。
其次，t检验只能用于比较两组样本的均值差异，无法比较其他统计指标的差异。
T-Test T-检验
d 2 7370000, Sd
8 546.25 81
t 812.50 4.207, 8 1 7
546.25 / 8
医学统计学
确定 P 值，做出统计推断：
查t 临界值表：t 0.05/2,7= 1.895 t > t0.05/2,7 , 得 P<0.05
按α=0.05水准拒绝H0，接受H1。可认为两种饲 料有差异。
同源配对 配对设计的类型：
异源配对 同源配对：
同一受试对象分别接受两种不同处理。 例如 对高血压患者治疗前后某一生理指标。 异源配对：
不同的受试对象按某些重要的特征相近的 原则配对，分别给以两种不同的处理。 例如：把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对
医学统计学
（二）检验目的 检验两相关样本均数所代表的未知总体均数
是否有差别。 （三）应用条件
适用于配对设计的计量资料均数的比较。 1、配对设计的数据一一对应。
2、差值 d 变量服从正态分布。
医学统计学
（四）检验统计量 t 的公式
t d d d 0 d
n1
Sd
Sd n Sd n
（五）检验的步骤
d 2 ( d )2
Sd
n n1
1、建立假设检验，确定检验水平；
s n 5.08 36
n 1 36 1 35 3. 确定P 值，做出统计决策
查 t 值表： t0.05 2(35) 2.030 2
2
P P(t 0.236)
反查 t 值表：
P 0.5
t 2( ) 0 t 2( )
t0 0.236
t 2( ) 2.030
医学统计学
按0.05水准，不拒绝H0，差别无统计学意义， 故还不能认为该县儿童前囟门闭合月龄的均数大于 一般儿童。
两独立样本t检验与两配对样本t检验的异同
•
n与m不太大
这是 xy
x
~
~ N 1，n12
N 1
，，12
2n
y
~ N
2 2
m
2，m22 ，且两者独立，从而
，故在 1 2 时
xy ~ N
2 1
2 2
(0,1)
nm
当
2 1
与
2 2
分别用其无偏估计
s
2 X
,
sY2
代替后，记
t
取
l
(
s
2 X
n
sY2 )2 m
/(
n2
s
4 X
(n
1)
m2
sY4 (m
还不能认为该道工序对提高参数值有用
三、两种t检验的对比
• 独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来自 具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的均 值是否相等，即检验假设 H0 : 1 2 是否成立，此检 验以t分布为理论基础。
• 配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有 相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d 0 ，实质就 是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
为两台机床加工的轴的平均直径一致。
二、两配对样本t检验
• 1、什么是两配对样本t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均值 是否有显著性差异进行判断。具体分为两种：
①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果； ②对同一研究对象处理结果前后进行比较。 • 2、前提： ①两个样本应是配对的； ②样本来自的两个总体应服从正态分布。
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 检验统计量
SPSS独立样本与配对样本检验
SPSS独立样本与配对样本检验
在SPSS中独立样本T检验所检验的是独立样本，配对样本T检验检验的是相关样本。 如何判断是独立样本还是相关样本呢? 举例说明: (独立样本)“已知人们一般状况下的脉搏。考察焦虑状况下人的脉搏与一般状况下的有无差别”CDA数据分析师能够 熟练运用Excel、SPSS、SAS等一门专业分析软件，有良好的商业理解能力，能够根据业务问题指标利用常用数据分析方法进行数 据的处理与分析，并得出逻辑清晰的业务报告。
（相关样本）“考察家庭中夫妻之间收入的差异性”相关样本有一 一对应关系. 我觉得一般情况下，比较两个（类）人之间的差异就是独立样本【除了丈夫妻子(以家庭为两者的联系对应）、同卵双生子研 究（当成一个人)等特殊情况】一个人对两种不同事物的反应就是相关样本。 前测后测的情况属于相关样本，因为会对同一个人测两次，前测和后测的结果都有一个人对应；实验组控制组的情况属于独立样本 ，因为是把人分成两类，每类人之接受一种实验处理，如一部分人A处理一部分人B处理，A处理和B处理中间找不到一个人连接 起来，因为没有人接受了两种处理.
文章来源：/view/8128.html
二 如何对SPSS结果进行分析 首先,对两个样本进行方差检验,使用F检验. (若为小样本,则使用T检验对两个样本的均值差进行检验的前提是两个总体分布的方
差必须相等.大样本则不作要求 . — 书) 图பைடு நூலகம்F值的Sig为0.013<0.05，拒绝方差相等的原假设。看下面一行方差不相等的T值。
其次，对T检验值进行分析。 图中t=-0.0287，检验值=0.007<0.05，拒绝原假设。即,两组数据得分均值方面存在差异。
1. 假如人造纤维缩水后能够复原。那么，如果同一根人造纤维，在60度测试后再在80度中测试，使用配对检验。如果同一批人 造纤维的样品，一半测试60度，一半测试80度，则使用独立检验。
在SPSS中独立样本T检验所检验的是独立样本，配对样本T检验检验的是相关样本。 如何判断是独立样本还是相关样本呢? 举例说明: (独立样本)“已知人们一般状况下的脉搏。考察焦虑状况下人的脉搏与一般状况下的有无差别”CDA数据分析师能够 熟练运用Excel、SPSS、SAS等一门专业分析软件，有良好的商业理解能力，能够根据业务问题指标利用常用数据分析方法进行数 据的处理与分析，并得出逻辑清晰的业务报告。
（相关样本）“考察家庭中夫妻之间收入的差异性”相关样本有一 一对应关系. 我觉得一般情况下，比较两个（类）人之间的差异就是独立样本【除了丈夫妻子(以家庭为两者的联系对应）、同卵双生子研 究（当成一个人)等特殊情况】一个人对两种不同事物的反应就是相关样本。 前测后测的情况属于相关样本，因为会对同一个人测两次，前测和后测的结果都有一个人对应；实验组控制组的情况属于独立样本 ，因为是把人分成两类，每类人之接受一种实验处理，如一部分人A处理一部分人B处理，A处理和B处理中间找不到一个人连接 起来，因为没有人接受了两种处理.
文章来源：/view/8128.html
二 如何对SPSS结果进行分析 首先,对两个样本进行方差检验,使用F检验. (若为小样本,则使用T检验对两个样本的均值差进行检验的前提是两个总体分布的方
差必须相等.大样本则不作要求 . — 书) 图பைடு நூலகம்F值的Sig为0.013<0.05，拒绝方差相等的原假设。看下面一行方差不相等的T值。
其次，对T检验值进行分析。 图中t=-0.0287，检验值=0.007<0.05，拒绝原假设。即,两组数据得分均值方面存在差异。
1. 假如人造纤维缩水后能够复原。那么，如果同一根人造纤维，在60度测试后再在80度中测试，使用配对检验。如果同一批人 造纤维的样品，一半测试60度，一半测试80度，则使用独立检验。
stata均值差异检验命令
stata均值差异检验命令Stata均值差异检验命令是进行统计分析常用的一种方法，用于比较两组或多组数据之间的均值差异。
本文将介绍Stata中常用的均值差异检验命令，包括独立样本t检验、配对样本t检验和方差分析。
1. 独立样本t检验独立样本t检验适用于比较两组独立样本之间的均值差异。
假设我们有一个医学实验，想要比较两种治疗方法对患者血压的影响。
我们有两组患者，一组接受A治疗，另一组接受B治疗。
我们可以使用Stata中的ttest命令进行独立样本t检验。
语法如下：ttest 变量名, by(分类变量)其中，变量名是我们要比较的变量，by(分类变量)是用于将数据按照某个分类变量进行分组，比较各组之间的均值差异。
2. 配对样本t检验配对样本t检验适用于比较同一组样本在不同条件下的均值差异。
例如，我们想要比较某种药物对患者血压的影响，我们可以使用Stata中的paired ttest命令进行配对样本t检验。
语法如下：paired ttest 变量名1 变量名2其中，变量名1和变量名2是同一组样本在不同条件下的两个变量。
3. 方差分析方差分析适用于比较三组或三组以上样本之间的均值差异。
假设我们有一个实验，想要比较三种不同药物对患者血压的影响。
我们可以使用Stata中的oneway命令进行方差分析。
语法如下：oneway 变量名, by(分类变量)其中，变量名是我们要比较的变量，by(分类变量)是用于将数据按照某个分类变量进行分组，比较各组之间的均值差异。
通过以上三种命令，我们可以方便地进行均值差异检验，并得到相应的统计结果。
Stata提供了丰富的统计分析命令，可以满足各种不同数据分析的需求。
需要注意的是，在进行均值差异检验前，需要对数据进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验。
可以使用Stata中的normality命令和variance命令进行相应的检验。
总结：Stata均值差异检验命令是进行统计分析的重要工具，能够帮助我们比较不同组别之间的均值差异。
生物统计学t检验的试题及答案
生物统计学t检验的试题及答案生物统计学T检验的试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. T检验中，当总体方差未知且样本量较小时，应使用以下哪种检验方法？A. Z检验B. T检验C. U检验D. F检验答案：B2. 在进行独立样本T检验时，以下哪个条件是必须满足的？A. 两个样本的方差必须相等B. 两个样本的均值必须相等C. 两个样本的样本量必须相等D. 两个样本必须独立答案：D3. 配对样本T检验适用于以下哪种情况？A. 两个独立样本的比较B. 同一样本在不同时间点的比较C. 两个样本的方差比较D. 三个以上样本的比较答案：B4. 在T检验中，如果自由度为10，且T统计量的值为2.5，查表得知相应的P值为0.02，那么我们可以得出以下哪种结论？A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法判断D. 需要更多的数据答案：A5. 以下哪个选项不是T检验的前提条件？A. 数据应呈正态分布B. 样本应独立C. 数据应呈均匀分布D. 总体方差未知答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）6. T检验可以分为哪几种类型？A. 单样本T检验B. 独立样本T检验C. 配对样本T检验D. 方差分析答案：ABC7. 在进行T检验时，以下哪些因素会影响自由度的计算？A. 样本量B. 组别数量C. 总体方差D. 样本均值答案：AB8. 以下哪些情况下，我们不能使用T检验？A. 数据不呈正态分布B. 样本量非常大C. 样本不独立D. 总体方差已知答案：AC9. T检验的结果通常包括哪些统计量？A. T统计量B. 自由度C. P值D. 置信区间答案：ABC10. 配对样本T检验中，以下哪些因素是必须满足的？A. 样本必须是配对的B. 样本量必须相等C. 样本必须独立D. 配对样本的差值应呈正态分布答案：ABD三、填空题（每题2分，共10分）11. 在独立样本T检验中，如果两个样本的方差不相等，我们可以使用________检验。
完整版T检验分为三种方法
T 检验分为三种方法：1. 单一样本t 检验( One-sample t test )，是用来比较一组数据的平均值和一个数值有无差异。
例如，你选取了 5 个人，测定了他们的身高，要看这五个人的身高平均值是否高于、低于还是等于1.70m ，就需要用这个检验方法。
2. 配对样本t 检验( paired-samples t test )，是用来看一组样本在处理前后的平均值有无差异。
比如，你选取了 5 个人，分别在饭前和饭后测量了他们的体重，想检测吃饭对他们的体重有无影响，就需要用这个t 检验。
注意，配对样本t 检验要求严格配对，也就是说，每一个人的饭前体重和饭后体重构成一对。
3. 独立样本t 检验( independent t test )，是用来看两组数据的平均值有无差异。
比如，你选取了5 男5 女，想看男女之间身高有无差异，这样，男的一组，女的一组，这两个组之间的身高平均值的大小比较可用这种方法。
总之，选取哪种t 检验方法是由你的数据特点和你的结果要求来决定的。
t 检验会计算出一个统计量来，这个统计量就是t 值，spss 根据这个t 值来计算sig 值。
因此，你可以认为t 值是一个中间过程产生的数据，不必理他，你只需要看sig 值就可以了。
sig 值是一个最终值，也是t 检验的最重要的值。
sig 值的意思就是显著性(significance )，它的意思是说，平均值是在百分之几的几率上相等的。
一般将这个sig 值与0.05 相比较，如果它大于0.05 ，说明平均值在大于5%的几率上是相等的，而在小于95% 的几率上不相等。
我们认为平均值相等的几率还是比较大的，说明差异是不显著的，从而认为两组数据之间平均值是相等的。
如果它小于0.05 ，说明平均值在小于5% 的几率上是相等的，而在大于95%的几率上不相等。
我们认为平均值相等的几率还是比较小的，说明差异是显著的，从而认为两组数据之间平均值是不相等的。
t检验方法(一)
t检验方法(一)t检验t检验是统计学中一项重要的检验方法，常用于判断样本统计量与总体参数之间的差异，进而得出总体参数的估计值。
这里介绍几种t 检验的方法。
独立样本t检验独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值是否显著不同。
它的原假设是两个样本的均值相等，备择假设是两个样本的均值不相等。
进行独立样本t检验的步骤如下：1.计算两个样本的均值和标准差；2.计算两个样本的t值；3.比较t值和自由度（n1 + n2 - 2）的t分布值，得出显著性水平。
如果计算得出的t值大于临界值，则拒绝原假设，否则则接受原假设。
配对样本t检验配对样本t检验用于比较同一样本在两个不同条件下的均值是否显著不同。
它的原假设是两个条件下样本的均值相等，备择假设是样本的均值不相等。
进行配对样本t检验的步骤如下：1.计算每对样本数据的差值；2.计算差值的均值和标准差；3.计算t值；4.比较t值和自由度（n - 1）的t分布值，得出显著性水平。
同样，如果计算得出的t值大于临界值，则拒绝原假设，否则则接受原假设。
单样本t检验单样本t检验用于比较一个样本的均值与已知总体均值是否显著不同。
它的原假设是样本的均值等于总体均值，备择假设是样本的均值不等于总体均值。
进行单样本t检验的步骤如下：1.计算样本的均值和标准差；2.计算t值；3.比较t值和自由度（n - 1）的t分布值，得出显著性水平。
同样，如果计算得出的t值大于临界值，则拒绝原假设，否则则接受原假设。
方差齐性检验在进行t检验之前，需要进行方差齐性检验，以确认两个总体的方差是否相等，从而选择恰当的假设检验方法。
方差齐性检验主要有：1.F检验：计算两个总体的标准差的比值，并进行F检验；2.Levene检验：计算两个样本的中位数，以中位数为基准进行差异性检验。
在进行t检验时，如果通过方差齐性检验发现两个总体的方差不相等，则需要使用进行调整的t检验方法。
以上是t检验的一些常用方法及步骤，需要根据具体数据和研究问题选择合适的方法进行分析。
两独立样本和配对样本T检验
两独立样本T检验目的：利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。
检验前提：样本来自的总体应服从或近似服从正态分布；两样本相互独立，样本数可以不等。
两独立样本T检验的基本步骤：提出假设原假设H_0：μ_1-μ_2=0备择假设H_1：μ_1-μ_2≠0建立检验统计量如果两样本来自的总体分别服从N(μ_1,σ_1^2 )和N(μ_2,σ_2^2 )，则两样本均值差(x_1 ) ?-x ?_2应服从均值为μ_1-μ_2、方差为σ_12^2的正态分布。
第一种情况：当两总体方差未知且相等时，采用合并的方差作为两个总体方差的估计，为：s^2=((n_1-1) s_1^2+(n_2-1) s_2^2)/(n_1+n_2-2)则两样本均值差的估计方差为：σ_12^2=s^2 (1/n_1 +1/n_2 )构建的两独立样本T检验的统计量为：t= ((x_1 ) ?-x ?_2)/√(s^2 (1/n_1 +1/n_2 ) )此时，T统计量服从自由度为n_1+n_2-2个自由度的t分布。
第二种情况：当两总体方差未知且不相等时，两样本均值差的估计方差为：σ_12^2=(s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2构建的两独立样本T检验的统计量为：t= ((x_1 ) ?-x ?_2)/√((s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2 )此时，T统计量服从修正自由度的t分布，自由度为：f= ((s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2 )^2/(((s_1^2)/n_1 )^2/n_1 +((s_2^2)/n_2 )^2/n_2 )可见，两总体方差是否相等是决定t统计量的关键。
所以在进行T检验之前，要先检验两总体方差是否相等。
SPSS中使用方差齐性检验（Levene F检验）判断两样本方差是否相等近而间接推断两总体方差是否有显著差异。
三、计算检验统计量的观测值和p值将样本数据代入，计算出t统计量的观测值和对应的概率p值。
假设检验与样本数量分析②——双样本Z、双样本T、配对T检验
1.23
)
双侧检验示意图（显著水平α与拒绝域 ）
1 – α = 0.95
拒绝零假设 不拒绝零假设 拒绝零假设
= [1 – Φ( Z 1.23 )] ×2
= [1 – 0.8907] ×2 = 0.1093 ×2 = 0.2186
ZValue
2
=0.025
2
Z= -1.23 Z = -1.96
噢！这么多健身球， 都应该不会被压爆吧
建立检验假设
H0：断裂韧性为□□□ （原假设μ = μ 0）
H1：断裂韧性不是□□□（备择假设μ ≠ μ 0）
或
H0：断裂韧性≥ □□□ 我们通过样本来了解总体 由样本信息作为总体信息估计值 <2> （原假设μ ≥ μ 0） H1：断裂韧性< □□□（备择假设μ <μ 0）
z
| x1 x2 |
2 2 s1 s2 n1 n2
50.77 49.49 4.582 6.182 55 55
给定显著水平 α = 0.05
假设检验类别 双样本Z 检验
= 1.23
3
查正态分布表 Z临界值为：Z1- α/2= Z1- 0.025=Z 0.975=1.96
ZValue 0.0 0.1 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
犯这种错误的概率用α来表示，也称为α错误或弃真错误。
第II类错误 当H0为伪时我们接受H0
犯这种错误的概率用β来表示，也称为β错误或取伪错误。 <4>
双样本 Z检验
双样本 T检验
配对 T 检验
预备知识
接上页
假设检验的两类错误
四种可能结果的概率
)
双侧检验示意图（显著水平α与拒绝域 ）
1 – α = 0.95
拒绝零假设 不拒绝零假设 拒绝零假设
= [1 – Φ( Z 1.23 )] ×2
= [1 – 0.8907] ×2 = 0.1093 ×2 = 0.2186
ZValue
2
=0.025
2
Z= -1.23 Z = -1.96
噢！这么多健身球， 都应该不会被压爆吧
建立检验假设
H0：断裂韧性为□□□ （原假设μ = μ 0）
H1：断裂韧性不是□□□（备择假设μ ≠ μ 0）
或
H0：断裂韧性≥ □□□ 我们通过样本来了解总体 由样本信息作为总体信息估计值 <2> （原假设μ ≥ μ 0） H1：断裂韧性< □□□（备择假设μ <μ 0）
z
| x1 x2 |
2 2 s1 s2 n1 n2
50.77 49.49 4.582 6.182 55 55
给定显著水平 α = 0.05
假设检验类别 双样本Z 检验
= 1.23
3
查正态分布表 Z临界值为：Z1- α/2= Z1- 0.025=Z 0.975=1.96
ZValue 0.0 0.1 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
犯这种错误的概率用α来表示，也称为α错误或弃真错误。
第II类错误 当H0为伪时我们接受H0
犯这种错误的概率用β来表示，也称为β错误或取伪错误。 <4>
双样本 Z检验
双样本 T检验
配对 T 检验
预备知识
接上页
假设检验的两类错误
四种可能结果的概率
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? 2、前提： ①两个样本应是配对的； ②样本来自的两个总体应服从正态分布。
? 3.基本实现思路
设两总体 X ,Y 分别服从正态分布，为实现我们的目的， 最好的方法是去考察成对数据的差di ? xi ? yi , i ? 1,2,? , n 。由于两测量值之差可认为服从正态分布，故di ~ N (? ,? 2 ) ，检验两样本差异转化为检验如下假设H：0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0
sw2
?
?n
?
1?s
2 x
n?
? ?m ? 1?sY2
m? 2
采用如下统计量
t?
x? y
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水平上，不能拒绝原假设，因而认
为两台机床加工的轴的平均直径一致。
? 1、什么是两配对样本 t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均值 是否有显著性差异进行判断。具体分为两种：
①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果；
②对同一研究对象处理结果前后进行比较。
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2，?m22 ???? ，且两者独立，从而
，故在?1 ? ?2
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m2(smY4 ?1))
，总体X 2
服从
正态分布N
??
2
,?
2 2
?
，分别从这两个总体中抽取样
? ? ? ? 本x11 , x12 ,? x1n1
x21 , x22 ,? x2n2
? 1 和? 2
，且两样本相互独
立。要求检验 和 是否有显著差异。
建立假设 ：H0
:?
2 1
?
?
2 2
，H1 :?
2 1
?
?
2 2
两个正态方差
这是单个正态总体均值是否为0的检验问题。
由于? 未知，因此对此问题用t检验，检验统计连变成 ， t? d
sd / n
其中，d , sd 分别为 d1, d2 ,? , dn 样本均值与样本标准差
。在? ? 0.05
水平上拒绝域{为| t |?
t
1?
?
(n
2
?
1)}
? 例：某企业员工在开展质量管理活动中，为提高产品的 一个关键参数，有人提出需要增加一道工序。为验证这 道工序是否有用，从所生产的产品中随机抽取7件产品，
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 d ? ? 3 .586 , s d ? 5 .271 检验统计量
d ? 3.586
t ? sd ? 5.271 ? ? 1.80
n
7
? 拒绝域为
? ? t ? ? ? t 0.975 6 ? 2 .4469
平均直径是否一致（取? ? 0.05 ），从各自加工的轴中分别 抽取若干根轴测直径，结果如下：
总体 X（甲） Y（乙）
样本容量 8 7
直径 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
解： ， H 0 : ?1 ? ? 2
2 1
s
2 y
/?
2 2
~
F
n ? 1, m ? 1
即可选用 拒绝域为
F统计量
W ? {F ? F?
/
2
F
(n ?
?
1,
s
2 x
s
2 y
m?
1)}
作为检验统计量。 或{F ? F1?? / 2 (n ? 1, m ? 1)}
?
2 1
?
?
2 2
当两个正态方差相等时，可把两个样本方
差
s
2 x
与
sY2
合并起来估计同一方差
x? y
s
2 X
?
sY2
nm
若 l 非整数时取最接近的整数，则 t* 近似服从自由度是 的
t分布，即t * ~ t ?l ?
拒绝域为：
W
?
? ?
t
*
?
?
t
1?
?
2
?l
???
?
? 例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴的直径分别服
从正态分布N ??1,? 2 ? 与N?? 2,? 2 ? ，为检验两台机床加工的轴的
?
2 1
和?
2 2
常用各自的样本无偏方差
s
2 x
和去
Байду номын сангаас
? ? ? ? ? ? s
2 y
估计：
s
2 x
?
1n n ? 1 i?1
xi ? x 2 , sy2 ?
1m m ? 1 i?1
2
yi ? y
由于其差
sx2
?
s
2 y
的分布很难获得，而其商
可由 F分布提供，即
sx2
/
s
2 y
的分布
? ? sx2
/?
样本未落入拒绝域中，所以在 ? ? 0.05 水平上
还不能认为该道工序对提高参数值有用
? 独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来 自具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的 均值是否相等，即检验假设H 0 : ? 1 ? ? 2 是否成立，此 检验以t分布为理论基础。
? 配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有 相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d ? 0 ，实质 就是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
两独立样本t检验与 两配对样本t检验的异同
? 1.什么是两独立样本t检验？ ——根据样本数据对两个样本来自的两个 独立总体的均值是否有显著差异进行判断 。
? 2.前提： ①两样本应该是相互独立的；
②样本来自的两个总体应该服从正态分布。
? 3.基本实现思路
? ? 设总体
X1
服从正态分布
N
?1,?
2 1
H1 : ?1 ? ? 2
t ? x? y 11
由于两总体方差一致但未知，故用统计量
sw
? nm
在n ? 8, m ? 7,? ? 0.05 时， t0.975 (13) ? 2.1604 ，从而拒绝域{为| t |? 2.1604}
现由样本求得x ? 19.925, y ? 20.143, sw2 ? 0.2425, sw ? 0.4924 ，则t ? ?0.8554 ，
首先测得其参数值，然后通过增加的工序加工后再次测
定其参数值，结果如下表。试问在 ? ? 0.05 水平上能否
认为该道工序对提高参数值有用？
序号 加工前 加工后
1 25.6 28.7
2 20.8 30.6
3 19.4 25.5
4 26.2 24.8
5 24.7 19.5
6 18.1 25.9
7 22.9 27.8
? 3.基本实现思路
设两总体 X ,Y 分别服从正态分布，为实现我们的目的， 最好的方法是去考察成对数据的差di ? xi ? yi , i ? 1,2,? , n 。由于两测量值之差可认为服从正态分布，故di ~ N (? ,? 2 ) ，检验两样本差异转化为检验如下假设H：0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0
sw2
?
?n
?
1?s
2 x
n?
? ?m ? 1?sY2
m? 2
采用如下统计量
t?
x? y
sw
1? 1 nm
拒绝与形式为
W1 ?
? ?t ?
?
? t 1
?
?
n?
2
m
?
2 ???
?
?1 ?2
?
n与m不太大
这是
x
~
N
? ?? ?
?
1，?n12
?
x ? y ~ N ??? 1 ? ?
?
? ??
，y
2?，?n12 ?
| t |?由2.1604
? ? 0.05
于 ，故在
水平上，不能拒绝原假设，因而认
为两台机床加工的轴的平均直径一致。
? 1、什么是两配对样本 t检验？ ——根据样本数据对样本来自两配对总体的均值 是否有显著性差异进行判断。具体分为两种：
①用于同一研究对象分别给予两种不同处理结果；
②对同一研究对象处理结果前后进行比较。
~ N ????
?
?
2 2
m
????
2，?m22 ???? ，且两者独立，从而
，故在?1 ? ?2
x? y
时?
2 1
?
?
2 2
~ N (0,1)
nm
当
?
2 1
与?
2 2
分别用其无偏估计s
2 X
,
sY2
代替后，记t? ?
取
l
?
(s2X n
?
sY2 )2 m
/(n2(snX4?1)
?
m2(smY4 ?1))
，总体X 2
服从
正态分布N
??
2
,?
2 2
?
，分别从这两个总体中抽取样
? ? ? ? 本x11 , x12 ,? x1n1
x21 , x22 ,? x2n2
? 1 和? 2
，且两样本相互独
立。要求检验 和 是否有显著差异。
建立假设 ：H0
:?
2 1
?
?
2 2
，H1 :?
2 1
?
?
2 2
两个正态方差
这是单个正态总体均值是否为0的检验问题。
由于? 未知，因此对此问题用t检验，检验统计连变成 ， t? d
sd / n
其中，d , sd 分别为 d1, d2 ,? , dn 样本均值与样本标准差
。在? ? 0.05
水平上拒绝域{为| t |?
t
1?
?
(n
2
?
1)}
? 例：某企业员工在开展质量管理活动中，为提高产品的 一个关键参数，有人提出需要增加一道工序。为验证这 道工序是否有用，从所生产的产品中随机抽取7件产品，
解：数据之差为：-3.1 -9.8 -6.1 1.4 5.2 -7.8 -4.9
均值与标准差分别为 d ? ? 3 .586 , s d ? 5 .271 检验统计量
d ? 3.586
t ? sd ? 5.271 ? ? 1.80
n
7
? 拒绝域为
? ? t ? ? ? t 0.975 6 ? 2 .4469
平均直径是否一致（取? ? 0.05 ），从各自加工的轴中分别 抽取若干根轴测直径，结果如下：
总体 X（甲） Y（乙）
样本容量 8 7
直径 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
解： ， H 0 : ?1 ? ? 2
2 1
s
2 y
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2 2
~
F
n ? 1, m ? 1
即可选用 拒绝域为
F统计量
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/
2
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?
1,
s
2 x
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2 y
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1)}
作为检验统计量。 或{F ? F1?? / 2 (n ? 1, m ? 1)}
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2 1
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当两个正态方差相等时，可把两个样本方
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合并起来估计同一方差
x? y
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若 l 非整数时取最接近的整数，则 t* 近似服从自由度是 的
t分布，即t * ~ t ?l ?
拒绝域为：
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t
*
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1?
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? 例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴的直径分别服
从正态分布N ??1,? 2 ? 与N?? 2,? 2 ? ，为检验两台机床加工的轴的
?
2 1
和?
2 2
常用各自的样本无偏方差
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估计：
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1n n ? 1 i?1
xi ? x 2 , sy2 ?
1m m ? 1 i?1
2
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的分布很难获得，而其商
可由 F分布提供，即
sx2
/
s
2 y
的分布
? ? sx2
/?
样本未落入拒绝域中，所以在 ? ? 0.05 水平上
还不能认为该道工序对提高参数值有用
? 独立样本的t检验过程用于检验两个独立样本是否来 自具有相同均值的总体，相当于两个正态分布总体的 均值是否相等，即检验假设H 0 : ? 1 ? ? 2 是否成立，此 检验以t分布为理论基础。
? 配对样本检验用于检验两个相关的样本是否来自具有 相同均值的正态总体。即检验假设 H0 : d ? 0 ，实质 就是检验差值的均值和零均值之间的显著性。
两独立样本t检验与 两配对样本t检验的异同
? 1.什么是两独立样本t检验？ ——根据样本数据对两个样本来自的两个 独立总体的均值是否有显著差异进行判断 。
? 2.前提： ①两样本应该是相互独立的；
②样本来自的两个总体应该服从正态分布。
? 3.基本实现思路
? ? 设总体
X1
服从正态分布
N
?1,?
2 1
H1 : ?1 ? ? 2
t ? x? y 11
由于两总体方差一致但未知，故用统计量
sw
? nm
在n ? 8, m ? 7,? ? 0.05 时， t0.975 (13) ? 2.1604 ，从而拒绝域{为| t |? 2.1604}
现由样本求得x ? 19.925, y ? 20.143, sw2 ? 0.2425, sw ? 0.4924 ，则t ? ?0.8554 ，
首先测得其参数值，然后通过增加的工序加工后再次测
定其参数值，结果如下表。试问在 ? ? 0.05 水平上能否
认为该道工序对提高参数值有用？
序号 加工前 加工后
1 25.6 28.7
2 20.8 30.6
3 19.4 25.5
4 26.2 24.8
5 24.7 19.5
6 18.1 25.9
7 22.9 27.8