初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果a b ，b a ，则( D ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
2、如果n 3，n 5，则15（ A ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
3、在整数中正素数的个数（ C ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(mod m bc
D b a ≠
5、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),(
6、整数5874192能被( B )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ 唯一的 ）.
2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( b m a ),( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为
( ][b a ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、求[136,221,391]=?
解 [136,221,391]
=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]
=[1768,391] ------------(4分) = 17391
1768⨯
=104⨯391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程144219=+y x .
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）
化简得4873=+y x ； -------------------（1分）
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）
所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）
因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 -------------------（2分）
3、解同余式)45(mod 01512≡+x .
解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), ---------（2分）
即定理4.1中的100=x . ------（1分）
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , ---------（1分）
)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , -----------------（1分）
)45(mod 40)45(mod 345210≡⨯
+≡x .---------（1分） 4、求
⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 解 把⎪⎭⎫ ⎝
⎛563429看成Jacobi 符号,我们有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---42967)1(429674292429134429563429563)1(56342981
42921563.214292---------------（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167----------------------（2分） 11311327)1(27132113.2127=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数62
33
2n n n ++是整数. 证明 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,-----（3分）
即
6233
2n n n ++是整数. -----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
证明 因为
133)1(233++=-+n n n n , -------------（3分） 所以只需证明1332++n n T )5(mod .
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332++n n 分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 1332++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
所以1332++n n T )5(mod ---------（7分） 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分）
如果 22y x n +=, ---------（1分）
则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,
所以22,y x 只能与0,1同余,
所以
)4(m od 2,1,022≡+y x , ---------（4分） 而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分）
即定理的结论成立. ------（1分）
